专题3.5 圆的折叠（精选32题）（专项练习）-2024-2025学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题3.5 圆的折叠（精选32题）（专项练习） 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，将⊙O沿弦折叠，点C在弧上，点D在弧上，若，则（    ）    A．70° B．110° C．125° D．140° 2．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图，在圆形纸片中，为直径．把纸片折叠，使点与点重合，折痕为，把纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，将半径为的沿折叠，与垂直的半径交于点且，则折痕的长为(   )    A． B． C． D． 4．（23-24九年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，沿弦折叠后恰好经过圆心O，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）如图，为圆形纸片圆周上的点，为直径，将该纸片沿折叠，使与交于点D，若的度数为，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）已知：如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，连接，则扇形的面积为（　　）    A． B．2π C．π D． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，将半径为的沿折叠，使得折痕垂直半径，当恰好经过的三等分点（靠近端点）时，折痕长为（　　） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在圆心为，半径为的圆形纸片上画圆内接，再分别沿直线和折叠，和都经过圆心，则图中阴影部分的面积是(   ) A． B． C． D． 9．（2023·吉林·二模）如图，将半径为4的圆形纸片折叠使弧经过圆心，过点作直径于点，点是半径上一动点，连接，则的长度不可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点D．若的半径为，，则的面积是（    ）    A．3 B．1.5 C． D． 11．（2024·山东聊城·一模）如图，在扇形中，，半径，点是上一点，连接，沿将扇形折叠，使得点落在的延长线上的点处，连接，则图中阴影部分面积为（结果保留）（   ） A． B． C． D． 12．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 13．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知点A，B，C在上，将圆沿着弦折叠交直径于点D若，则的长（    ） A． B． C． D． 14．（2024·湖北·模拟预测）如图，是的直径，将劣弧沿弦折叠，折叠后的弧恰好与相切于的中点，若，则的半径为（     ） A． B． C． D． 15．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在半圆O中，C是半圆上一点，将沿弦折叠交直径于点D，点E是的中点，连结，若的最小值为，则的长为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知点，，在上，，把劣弧沿着直线折叠交弦于点．若，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 17．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在弧上的点处，折痕交于点，则弧的长是 ． 18．（2024·上海·模拟预测）如图，为圆O直径，且，点P为弧上一点，连接，将半圆沿直线折叠，使折叠后的圆弧恰好经过圆心O，则图中阴影部分的周长为 cm    19．（2024·吉林长春·一模）如图，点是圆形纸片的圆心，将整个圆形纸片按下列顺序折叠，使弧和弧都经过圆心，则阴影面积占圆面积的 （填分数）． 20．（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，扇形纸片的半径为3，沿折叠扇形纸片点O恰好落在弧上的点C处，则图中阴影部分的面积为 ．    21．（2024·安徽·三模）如图，点是斜边的中点，沿着将对折叠得到，再将与叠合，折痕交于点． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，则的面积为 ． 22．（23-24九年级下·重庆·期中）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 23．（2024·河南商丘·三模）如图，矩形中，点M，N分别为的中点，点P为边上一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，点A，B的对应点分别为点F，E，连接．若，，则长度的取值范围为 ．    24．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）如图，在扇形中，，，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则弧的长为 ． 25．（23-24九年级上·广东珠海·期中）如图，是的直径，是的弦，，将沿着折叠后恰好经过点，则的长为 ． 26．（2024·广东清远·三模）如图，在扇形中，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则图中阴影部分的周长是 ． 27．（2023·河南南阳·模拟预测）如图所示，一个扇形纸片的圆心角为，半径为，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为 ． 28．（2024·贵州遵义·一模）如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心．若，则的半径长是 ． 29．（2024·山西太原·三模）如图示，半圆的直径，弦，将半圆沿着过点A的直线折叠，折叠后使得弦恰好落在直径上，则折痕的长为 ． 30．（23-24九年级上·福建厦门·单元测试）如图，在扇形中，，，将扇形沿着过点B的直线折叠，点O恰好落在弧的点D处，折痕交于点C，则弧的长为 （结果保留π）．    31．（23-24九年级上·北京东城·期中）如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 ．    32．（2024·河南商丘·三模）如图，正方形纸片中，，以A为圆心，以的长为半径在正方形内部作，点P为上一个动点，连接，将左侧部分纸片沿折叠，点D落在点E处，连接．当为等边三角形时，则线段，，，围成的阴影部分的周长为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B D B C A A D B 题号 11 12 13 14 15 16 答案 C D C B C C 1．B 【分析】作出弧所对的圆周角，求出即可． 【详解】解：作出弧所对的圆周角    ∵ ∴ ∵⊙O沿弦折叠 ∴ 故选：B 【点拨】本题考查了折叠的对称性、圆的内接四边形互补等知识点．作出弧所对的圆周角是解题关键． 2．B 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了折叠的性质．利用折叠的性质得到，，然后根据圆周角定理得到． 【详解】解：如图所示，设与直线交于点E，    ∵为直径．把纸片折叠，使点A与点B重合， ∴， ∴， ∵折叠纸片，使点A与点C重合，折痕为直线， ∴平分， ∴， ∴． 故选：B． 3．B 【分析】本题考查垂径定理，延长交于点，连接，根据，求出，由折叠可知，从而的求出，再用勾股定理求出，从而利用得解，利用垂径定理作出辅助线是解题的关键． 【详解】延长交于点，连接，    依题意得：，即 为的中点， ∵的半径为， ∴， ， ， 由折叠可知：， ， 在中， ． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查扇形面积的计算、垂径定理、轴对称的性质，直角三角形的性质．根据题意和图形，可以求得弓形的面积，然后即可用圆的面积减去两个弓形的面积，即可得到新月形阴影部分的面积． 【详解】解：作于点，交于点，连接，， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，即， 解得，， ， 弓形的面积是：， 新月形阴影部分的面积为：， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系和折叠的性质．先利用折叠的性质得到和所在圆为等圆，再利用圆周角定理得到，所以的度数为，然后计算得到的度数． 【详解】解：∵纸片沿折叠，使与交于点D， ∴和所在圆为等圆， ∵和所对的圆周角都是， ∴， ∵的度数为， ∴的度数为， ∴的度数为． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，根据翻折的性质以及等边三角形的判定得出是等边三角形，进而求出扇形圆心角度数，再根据扇形面积的计算公式进行计算即可．掌握扇形面积的计算公式以及正三角形的判定和性质是正确解答的前提． 【详解】解：由翻折的性质可知，， ∵， ∴， ∴是正三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查圆的基础知识，垂径定理，勾股定理，折叠的性质．根据点经过的三等分可求出、的长，延长交于点，连接，根据折叠的性质可求出的长，根据垂径定理，勾股定理即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接， ， 为的中点， ，， ，，， ， ， 在中， ， ， ， 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了圆与折叠问题，涉及了垂径定理、勾股定理等知识点，作，连接，可推出是等边三角形，根据图中阴影部分的面积为：即可求解． 【详解】解：作，连接，如图所示： 由折叠可知： ∵， ∴是等边三角形， ∴ 同理可得 ∴ 同理可得 ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ 由对称性可知：图中阴影部分的面积为： 故选：A 9．D 【分析】 本题考查了勾股定理，折叠的性质，正确地求出的长度的取值范围是解题的关键．如图，当点与重合时，求得，当点与重合时，得到，连接，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】 解：如图，当点与重合时， ， 当点与重合时， ， 连接， 将半径为4的圆形纸片折叠使弧经过圆心， ，， ，， ， 的长度的取值范围为， 的长度不可能是7， 故选：D 10．B 【分析】连接、、，过C点作于E点，过O点作于F点，于H点，如图，先根据垂径定理的推论得到，则利用勾股定理可计算出，再根据折叠的性质得到和在等圆中，由于它们所对的圆周角相等得到，则，于是根据等腰三角形的性质得到，接着证明四边形为正方形得到，则可计算出，，所以，然后利用勾股定理计算出，最后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：连接、、，过C点作于E点，过O点作于F点，于H点，如图， ∵点D为的中点， ，， 在中，， ∵沿折叠后刚好经过的中点D， ∴和在等圆中，又， ∴， ， ， ， ，， ∴四边形为正方形， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 在中，， ∴． 故选：B．    【点拨】本题考查了圆周角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质与判定、折叠的性质、垂径定理和勾股定理，熟练掌握圆圆周角、弧、弦的关系是解题的关键． 11．C 【分析】本题考查扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式及勾股定理的巧妙运用是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，即可求出的面积，再将余下的阴影部分的面积转化为右上方弓形的面积即可解决问题． 【详解】：因为，且， 所以． 由折叠可知， ， 则． 设长为， 则， 在中， ， 解得， 所以． 又因为余下的阴影部分的面积与右上方的弓形面积相等， 则， 所以． 故选：C． 12．D 【分析】连接，，，，与交于，由折叠的性质可证，是等边三角形，由扇形面积公式可计算出扇形的面积，再求出的面积，由可求出阴影面积．本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握分割法求阴影面积． 【详解】解：连接，，，，与交于， 由折叠性质可得，，，， ， ，， ∴，是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 故选：D． 13．C 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、割线长定理的应用，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键； 根据题意作线段关于的对称线段，交圆于点，然后利用勾股定理和割线定理解答即可． 【详解】解：如图所示：作线段关于的对称线段，交圆于点 为圆的直径， ， ， 由对称轴的性质可知：，，， ， 由割线定理可知：， 即， 解得：， ， 故选：C． 14．B 【分析】本题考查了对称的性质，圆的相关性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．设实线劣弧所在圆的圆心为，连接，，，，根据题意可得和互相垂直平分，设圆的半径为，即，得到，由勾股定理可得，则，由切线定理和是的中点，可得，，在中，由勾股定理可得，进而得到，求出，即可求解． 【详解】解：如图，设实线劣弧所在圆的圆心为，连接，，，， 、关于对称，垂直平分， ，的半径相等，两圆为等圆， 设圆的半径为，即， 为和的公共弦， 也垂直平分， ， 在中，， ， 为切点，是的中点， ，， 在中，， ， ， 解得：， ， 的半径为， 故选：B． 15．C 【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键．连接，，由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，设的弧度为，求出的弧度为，再设半径为r，列方程求解即可． 【详解】解：连接，，    由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，即， 设的弧度为， 的弧度为：， ， 的弧度为：， 由折叠得，的弧度为， 的弧度为：， 点为弧中点， 的弧度为：， 的弧度为：， 即所对圆心角为， 设半圆的半径为r， ， ， 解得： 半径为2， 故选：C． 16．C 【分析】取点在上的对应点，连接，过点作于点，根据四边形内接于，有，根据折叠的性质有，可证明，即是等腰三角形，则有，进而有，再解直角三角形求得的值，然后利用勾股定理求得的值，易证得是等边三角形，得到，然后利用弧长公式求得即可． 【详解】解：取点在上的对应点，连接，过点作于点，如下图，    ∵四边形内接于， ∴， ∵点在上的对应点为点， ∴根据折叠的性质有， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴的长为：． 故选：C． 【点拨】本题考查了圆中折叠的问题、圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，作出辅助线，根据圆的内接四边形的性质得到是解题的关键． 17． 【分析】本题考查了弧长的计算，折叠的性质，由圆的性质和折叠的性质易得到是等边三角形，即可求出，代入弧长公式即可求出弧的长，利用圆的性质和折叠的性质得到是等边三角形是解题的关键． 【详解】解：连接，则， ∵将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在弧上的点处， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 弧的长， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了弧长的计算，折叠问题，关键是求出，证明． 作半径于N，由折叠的性质得到，得到，由，求出，得到，由弧长公式求出的长，即可求出阴影的周长． 【详解】解：作半径于N，    由折叠的性质得到，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影的周长=++=+=． 故答案为：． 19． 【分析】本题考查的知识点是折叠性质、不规则图形面积的计算，解题关键是理解题意． 先根据折叠性质得出，即可推得、、，对阴影部分重新分割拼接即可求解． 【详解】解：作于点，连接，，，如图所示： 由折叠性质得：， ， ， ， 同理， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 20． 【分析】本题考查求不规则图形的面积，利用分割法求出图形的面积即可，掌握扇形的面积公式，是解题的关键． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴四边形为菱形， 连接，交于点，则：，    ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：． 21． /35度 【分析】本题考查圆内接四边形性质，等腰三角形性质，勾股定理，折叠性质，三角形面积公式等． （1）以为直径作，连接，可得是内接圆，继而得到，再利用等腰三角形性质即可得到本题答案； （2）由折叠可知是直角三角形，在中应用勾股定理可得，再利用勾股定理得，利用三角形面积公式即可得到本题答案． 【详解】解：（1）如图，以为直径作，连接， ， ∴， 四边形是内接圆， ， ， ， ； （2）∵由折叠可知，即是直角三角形， 过点作， ， ∵点是斜边的中点， ∴是的中位线， 在中，由勾股定理，得， ∵，， ∴， 由，得，解得，故， ． 22． 【分析】连接，交于，根据对折得出，，，，易知是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出，求出，再分别求出扇形和的面积即可． 【详解】解：连接，交于， 沿对折点和重合，， ，，，， ，是等边三角形， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：． 【点拨】本题考查了求不规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键． 23．/ 【分析】本题考查矩形与折叠性质、勾股定理、圆有关知识，得到点E的运动路线是解答的关键．根据折叠性质和矩形的性质得到，，，，利用勾股定理求得，，利用圆的定义可得点E在以点M为圆心，EM长为半径的圆上运动，进而得到，当M、N、E共线时取等号；结合图形得到当P在顶点B处时，点E与B重合，此时最大，进而可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵点M，N分别为的中点， ∴，， 由折叠性质得，，，， 连接、，在中，， 在中，， ∴点E在以点M为圆心，长为半径的圆上运动，如图， ∴，当M、N、E共线时取等号； ∵点P是边上的动点，当P在顶点B处时，点E与B重合，此时最大， 综上，长度的取值范围为， 故答案为：． 24． 【分析】本题考查了弧长的计算，翻折变换 (折叠问题)，由折叠的性质推知是等边三角形是解答此题的关键. 如图，连接.根据折叠的性质、圆的性质推知是等边三角形，则易求，然后由弧长公式弧长的公式来求弧的长. 【详解】解：如图, 连接.根据折叠的性质知，. 又∵, ∴, 即是等边三角形， ∴. ∵, ∴, ∴弧的长为， 故答案为: ． 25． 【分析】本题考查翻折变换，垂径定理，勾股定理；正确做出辅助线是解决本题的关键． 过点作，垂足为，由折叠得，再在中利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点， ， 由折叠得：， ， ， 在中，， ， 解得：或（舍去）， ， 故答案为：． 26． 【分析】本题考查折叠性质、等边三角形的判定与性质及弧长公式，连接，由折叠可知，即可证明是等边三角形，可得，根据弧长公式即可求出的长，进而求出即可得答案，根据折叠性质得到是等边三角形并熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，由折叠可知， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵的长为， ∴阴影部分的周长为：． 27． 【分析】本题考查了扇形面积的计算，连接，如图，利用折叠性质得，则，，从而得到，，然后根据，能进而求出答案． 【详解】解：连接、．根据题意可知点是的中点， ， 在中，，即， ∴， ， ，， ， 是等边三角形， 故答案为：． 28． 【分析】本题考查了折叠的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、中位线的定义与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点、作辅助线推理是解题的关键． 过点作于点，交于点，连接，根据折叠的性质，得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，则，证明为等边三角形，得出，由、垂径定理得出，推出，根据含角的直角三角形的性质得出，由，，推出是的中位线，根据中位线的性质得出，由得出答案即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，连接， ∵弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴，即的半径长是． 故答案为：． 29． 【分析】连接、、、记交于点，利用圆周角定理和勾股定理得到，利用等腰三角形性质、对称的性质、以及平行线性质和判定得到于点，利用垂径定理得到，利用勾股定理得到，进而得到，再利用勾股定理得到，进而得到． 【详解】解：连接、、、记交于点， 是的直径， ， ，， ， ， ， 半圆沿着过点A的直线折叠，折叠后使得弦恰好落在直径上， ， ， ， ， 于点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了等腰三角形性质，圆周角定理，平行线性质和判定，轴对称性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 30． 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，弧长公式以及翻折变换的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意证明是等边三角形，求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， 是由翻折得到， ，， 是等边三角形， ， ， ． 弧的长． 故答案为：．    31．/ 【分析】把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，求出，长，的最小值为． 【详解】解：如图，把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，半径为，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， ∵，即， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点拨】此题考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题的关键是通过作辅助线，根据三角形三边关系确定的取值范围． 32． 【分析】首先根据正方形的性质和折叠的性质得到，然后根据等边三角形的性质得到，，然后利用弧长公式求出，进而求解即可． 【详解】∵四边形是正方形 ∴ ∵将左侧部分纸片沿折叠，点D落在点E处， ∴ ∴ ∵为等边三角形 ∴， ∴ ∴阴影部分的周长为． 故答案为： 【点拨】此题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，弧长公式，折叠的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$