专题1.14 三角形的初步知识全章专项复习【4大考点20种题型】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）

专题1.14 三角形的初步知识全章专项复习【4大考点20种题型】 【浙教版】 【考点1 与三角形有关的线段】 2 【题型1 三角形的三边关系的应用】 3 【题型2 与等腰三角形的边长的有关的问题】 5 【题型3 三角形的高的有关的问题】 7 【题型4 利用中线解决三角形的面积问题】 10 【题型5 利用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】 14 【考点2 与三角形有关的角】 17 【题型6 利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度计算】 17 【题型7 直角三角形的性质的应用】 20 【题型8 三角形外角的应用】 25 【题型9 三角形的内角和与外角的性质的综合】 30 【题型10 与三角形的内、外角性质及角等分线相关的规律性问题】 38 【考点3 全等三角形】 51 【题型11 利用全等三角形的性质求角】 52 【题型12 利用全等三角形的性质求两线段的位置关系】 55 【题型13 利用全等三角形的性质求线段的长】 58 【题型14 利用全等三角形的性质解决图形变换中的问题】 61 【考点4 三角形全等的判定】 64 【题型15 添加条件判断三角形全等】 65 【题型16 全等三角形的判定与性质的综合应用】 67 【题型17 “倍长中线法”构造全等三角形】 73 【题型18 “截长补短法”证明线段和差问题】 80 【题型19 应用全等三角形的性质解决实际问题】 86 【题型20全等三角形在探究性问题中的应用】 90 【考点1 与三角形有关的线段】 【知识点1 三角形三边的关系】 定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 【知识点2 三角形的分类】 【知识点3 三角形的重要线段】 （1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 【要点】三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线， 【要点】一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 【要点】一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心. 【知识点4 三角形的稳定性】 如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性． 【题型1 三角形的三边关系的应用】 【例1】（23-24八年级·河北石家庄·期末）一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架（连接处的长度忽略计），则点，之间的距离可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意一边小于其它两边之和是解题的关键．先根据三角形的三边关系确定线段的取值范围，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴A选项符合题意． 故选：A． 【变式1-1】（23-24八年级·四川眉山·期中）若，，是的三边，试化简： ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，绝对值的代数意义，不等式的性质．根据三角形三边关系得到，，然后再根据绝对值的代数意义进行化简即可．解题的关键是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边． 【详解】解：∵，，是的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【变式1-2】（23-24八年级·湖北黄冈·阶段练习）长为9、6、4、3的四根木条，选其中三根组成三角形，共有（　　）种选法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】根据任意两边之和大于第三边判断能否构成三角形． 【详解】选其中3根组成一个三角形，不同的选法有9、6、4；9、6、3；9、4、3；6、4、3； 能够组成三角形的只有：9、6、4；6、4、3；共2种． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去． 【变式1-3】（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，用、、、四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若、、、，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（    ） A．14 B．16 C．13 D．11 【答案】C 【分析】本题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形铁框的组合方法是解答的关键．若两个顶点的距离最大，则此时这个铁框的形状变化为三角形，可根据三条钢条的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可． 【详解】解：已知、、、， 选、、作为三角形，则三边长为、、，，不能构成三角形，此种情况不成立； 选、、作为三角形，则三边长为、、，，能构成三角形，此时两个顶点的距离最大为； 选、、作为三角形，则三边长为、、，，不能构成三角形，此种情况不成立； 选、、作为三角形，则三边长为、、，，构成三角形，此时两个顶点的距离最大为； 故选：C． 【题型2 与等腰三角形的边长的有关的问题】 【例2】（23-24八年级·江西吉安·期末）用12根等长的火柴棒拼成一个等腰三角形，火柴棒不允许剩余、重叠、折断，则能摆出不同的等腰三角形的个数为 个． 【答案】2 【分析】本题根据三角形的三边关系定理，得到不等式组，从而求出三边满足的条件，再根据三边长是整数，进而求解． 【详解】设摆出的三角形中相等的两边是x根，则第三边是（）根， 根据三角形的三边关系定理得到：， 则， ， 又因为是整数， ∴可以取4或5， 因而三边的值可能是：4，4，4或5，5，2；共二种情况， 则能摆出不同的等腰三角形的个数为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系：在组合三角形的时候，注意较小的两边之和应大于最大的边，三角形三边之和等于12． 【变式2-1】（23-24八年级·辽宁丹东·期末）等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为x和，则这个等腰三角形的腰长为（    ） A．4或7 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三条边的关系和一元一次方程的应用的问题． 根据三角形的两边之和大于第三边，可得判断出底边是x，腰长是，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：若x是腰，则底边长是，应该满足两腰之和大于底，但是， 所以只能x是底边，则腰长是， 由题意得， 解得， ， 故答案为：D． 【变式2-2】（23-24八年级·浙江衢州·阶段练习）周长为12，各边长均为整数的等腰三角形的三边长分别为 ． 【答案】2、5、5或4、4、4. 【分析】已知等腰三角形的周长，求三边，则需要列出所有的组合形式，然后根据三角形的构造条件判断哪些符合． 【详解】等腰三角形的三边均为整数且它的周长为12cm，那三边的组合方式有以下几种： ①1，1，10；②2，2，8；③3，3，6；④4，4，4；⑤5，5，2；又因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则④⑤符合． 它的三边长为或4，4，4，或2，5，5． 故答案为 2，5，5或4，4，4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键；其中三边为整数也是非常重要的条件． 【变式2-3】（23-24八年级·全国·单元测试）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 ． 【答案】16或8 【分析】本题由题意可知有两种情况，AB+AD=15或AB+AD=21．从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系可求出底边为8或16． 【详解】解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD=CD=x，则AB=AC=2x 又知BD将三角形周长分为15和21两部分 ∴可知分为两种情况 ①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此时BC=21﹣x=21﹣5=16 ②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8 经验证，这两种情况都是成立的 ∴这个三角形的底边长为8或16 故答案为：16或8 【点睛】本题主要考查来了等边三角形的性质以及三角形的三边关系（两边之和大于第三边，两边只差小于第三边），注意求出的结果燕验证三角形的三边关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． 【题型3 三角形的高的有关的问题】 【例3】（24-25八年级·重庆铜梁·开学考试）如图，中，，于E，，点D在上移动，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形高有关的计算，垂线段最短，根据题意，当时，有最小值，利用即可解答． 【详解】解：根据题意得：当时，有最小值， 中，，于E，， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-1】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，直接根据等面积法求解即可． 【详解】解：∵， ∴都是的高， ∴， ∴， 故答案为： 【变式3-2】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点连接并延长交于点.若，，，则：：的值为 . ‍ 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的高，由题意得：，再根据三角形的面积公式，可得，进而即可得到答案． 【详解】解：在中，，，垂足分别为点和点，与交于点， ， ，，， ， ， ：： ， 故答案是：． 【变式3-3】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以的速度沿运动．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积等于10？ 【答案】或或 【分析】本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．分为两种情况讨论：当点在上时：当点在上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】解：如图1，当点在上， 中，，，，点是的中点， ，． 的面积等于10， ， ， 即， ． 如图2，当点在上， 是的中点， ． ， ， 当点Ｐ在点Ｅ的左边时，， 当点Ｐ在点Ｅ的右边时，． 综上所述，当或或时，的面积会等于10， 故答案为或或． 【题型4 利用中线解决三角形的面积问题】 【例4】（23-24八年级·四川资阳·期末）如图，已知的面积为12，D、E、F分别是的边、、的中点，、、交于点G，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】此题考查三角形的面积，涉及中线平分三角形的面积，得，，结合，得，即可作答． 【详解】解：∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， 同理， ∴图中阴影部分的面积为， 故选B． 【变式4-1】（23-24八年级·江苏常州·期末）如图，是的中线，是的中点．若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查三角形中线的性质和三角形面积，先求出，再求出，，则，根据是的中线即可得到答案． 【详解】解：∵F是的中点．， ∴， ∵是的中线， ∴是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵是的中线， ∴ 故答案为： 【变式4-2】（23-24八年级·四川巴中·期末）如图，已知，，分别是，，的中点，，，分别是，，的中点，若的面积为4，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中线性质、数字类规律探究，先根据三角形的中线性质和三角形的面积公式求得前几个三角形的面积，然后找到变化规律，进而可求解． 【详解】解：由题意，， ， ， ……， 依次类推，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【变式4-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为4，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，根据三角形面积等高模型得到是解题的关键．连接，根据中点可得，根据可得，设，可得，进而可得，求出的值，进而可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 是的中点，， ，， 又， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：12． 【题型5 利用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】 【例5】（23-24八年级·安徽安庆·期中）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：    (1)BD＋CD＜AB＋AC； (2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）延长BD交AC于E，从而找到BD＋CD与AB＋AC的中间量BE+CE，再利用不等式的传递性(若a<b，b<c，则a<c．)得出BD＋CD＜AB＋AC ； （2）同理可得AD+CD<AB+BC，BD+AD<BC+AC，与（1）结论左边加左边，右边加右边，再两边除以2即可． 【详解】（1）证明：延长BD交AC于E，    在△ABE中，有AB+AE＞BE， ∴AB＋AC=AB+AE+CE＞BE+CE， 在△EDC中，有DE+CE＞CD， ∴BE+CE= BD+DE+CE＞BD+CD， ∴AB＋AC＞BE+CE＞BD+CD， ∴BD＋CD＜AB＋AC； （2）解：由（1）同理可得： BD＋CD＜AB＋AC①， AD＋CD＜AB＋BC②， BD＋AD＜BC＋AC③， ①+②+③得：2（AD+BD+CD）<2（AB+BC+AC）， ∴AD+BD+CD<AB+BC+AC． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，不等式的性质，能否根据题意添加辅助线和利用不等式的性质是解题的关键． 【变式5-1】（2024八年级·全国·专题练习）如图，已知点是内一点， 连接并延长交于点，求证：．    【答案】见解析 【分析】在中运用三角形三边关系可得，再根据线段的和差可得，可得：；同理可得：，最后运用等量代换即可证明结论． 【详解】证明：∵在中，可得，， ∴可得：． ∵在中，可得③，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，找准三角形并灵活运用三角形的三边关系是解答本题的关键． 【变式5-2】（23-24八年级·山东青岛·单元测试）如图，设为内一点，且，求证：．    【答案】见解析 【分析】延长交于点D，根据三角形三边关系得出，，整理得出，根据，得出． 【详解】证明：延长交于点D，如图所示：    ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【变式5-3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，，是四边形的对角线，且，相交于点O．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在和中，利用三角形三边关系即可求证结论． （2）由（1）得，，在和中，利用三角形三边关系可得，利用等量关系即可求证结论． 【详解】（1）证明：∵在和中，，， ∴，即． （2）由（1）得，， 同理可得，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 【考点2 与三角形有关的角】 【知识点1 三角形的内角】 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 推论： （1）直角三角形的两个锐角互余 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形 【知识点2 三角形的外角】 三角形外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 【题型6 利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度计算】 【例6】（23-24八年级·广西柳州·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/112度 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线是解答本题的关键，属于中考常考题型．连接，根据折叠的性质及三角形外角的性质求出，再由角平分线及三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 沿折叠， ，， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：． 【变式6-1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点 D、E分别在边上，将沿着折叠压平使A与重合， 若， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，先由三角形内角和定理得到，再由折叠的性质得到，接着根据平角的定义可得． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式6-2】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质和折叠的性质，由折叠性质可得，根据三角形内角和求出的度数，利用平行线性质求出，等量代换可得即可求出结果． 【详解】解：根据折叠的性质可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：120． 【变式6-3】（2024八年级·全国·专题练习）如图，把沿折叠，使点A落在点D处， (1)若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，等量代换思想解答即可； （2）根据，，得到，根据，得到，计算的度数． 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型7 直角三角形的性质的应用】 【例7】（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，点为上一点，过点作于点． (1)当平分，且时，求的度数； (2)当点是中点，，且的面积为，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据角平分线的定义及直角三角形的性质求解即可； （）由点是中点得，又，从而求解； 此题考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，直角三角形的性质，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵点是中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-1】（23-24八年级·贵州贵阳·期末）如图，直线，于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，先根据平行线的性质得，则有，再根据垂直的定义得，然后利用，计算的度数即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式7-2】（23-24八年级·浙江温州·期末）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，杠杆与上臂重合；使用时，B刚好至点，当时，恰好'平分，若，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余等知识．延长CB′交OE于点H，先根据平行线的性质求出，进而求出，根据直角三角形两锐角互余求出，进而求出，即可求出． 【详解】解：延长交于点H，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵'平分， ∴， ∴． 故答案为：12 【变式7-3】（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数； (2)【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数； (3)【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，又根据，可得，由此可求得； （2）根据三角形内角和定理，可求得，由平分，得到，由三角形内角和定理求得，再根据，利用直角三角形两锐角互余，即可求得； （3）同理，根据三角形内角和定理和平分，得到，，再结合，利用直角三角形两锐角互余，即可求得． 【详解】（1）解：在中，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． （2）解：在中，， ， 平分.， ， 在中，， ， ， ， ． （3）解：在中，， 平分， ， 在中 ， ， . 【题型8 三角形外角的应用】 【例8】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）在中，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，下列结论： ①； ②； ③， ④； 其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①根据，，由直角三角形锐角互余可证明；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；③根据三角形的内角和和角平分线的定义，进行等量代换，即可证明结论正确；④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【详解】解：有题意可知 ， ①正确； 是角平分线， ②正确； ③正确； ， ④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键． 【变式8-1】（23-24八年级·甘肃酒泉·期末）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点． (1)试确定与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线，三角形外角的性质等知识．熟练掌握角平分线，三角形外角的性质是解题的关键． （1）由是的平分线，是的平分线可得，，由，可得，进而可得； （2）同理（1）可得，进而可求的度数． 【详解】（1）解：，理由如下； ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：同理（1）可得， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式8-2】（23-24八年级·福建厦门·期末）如图，，，点E是边上一点，连接交的延长线于点H．点F是边上一点．使得，作的角平分线交于点G，若，则的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查的是平行线的性质和判定，三角形外角的性质以及三角形内角和定理，本题的关键是根据三角形内角和进行列式计算． 由平行线的判定和性质求出，并表示出，由三角形外角的性质求出，然后根据三角形内角和定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式8-3】（23-24八年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，为的高，，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点G为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为或 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）先求出，，则， 进而推出，再得出，即可解答． 根据，求出即可解决问题． （2）分两种情况：①当时．②当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：分两种情况： ①当时，则， ∴； ②当时，则， ∴； 综上所述：的度数为或． 【题型9 三角形的内角和与外角的性质的综合】 【例9】（23-24八年级·福建福州·期中）已知在中，点D在上，且． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，平分交于点F，交于点E． ①求证：； ②的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据垂直定义，得到，根据三角形内角和定理，结合即可得证； （2）①根据角平分线的定义，得到，在和中，根据三角形外角性质，结合，可得结论；②根据角平分线的定义，证明,得到，得到，根据，得到，即得． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，且， ∴； （2）①∵平分， ∴， ∵，，且， ∴； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由①知，． 【点睛】本题主要考查了三角形角平分线．熟练掌握三角形角平分线的定义，垂直定义，三角形的内角和定理，平角性质，直角三角形的两个锐角性质，三角形的外角性质，是解题的关键． 【变式9-1】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，在中，平分，于点D，的角平分线所在直线与射线相交于点G，若，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意推出，设，设，用含x和y的代数式表示和即可解决． 【详解】解：如图： ∵平分，平分， ∴， 设， 由外角的性质得：，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 【变式9-2】（23-24八年级·天津东丽·期中）如图，已知，平分，平分，的延长线交于点F，设，，则下列关系正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，设的度数为，的度数为，通过角平分线的定义和三角形外角的性质得到之间的关系，在根据三角形内角和得到，将代入，即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点，    设的度数为，的度数为， 平分，平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， 将代入可得， 整理得， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，考虑延长得到三角形，进行角度的转换，用表示同一个三角形中的内角得到等量关系是解题的关键． 【变式9-3】（23-24八年级·江苏盐城·期中） 已知：如图①，在中，是角平分线，点E、F分别在边、上，，将绕点C以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为t．当所在直线与线段，有交点时，交点分别为点M、点N． (1)当时，如图②，此时直线与的位置关系是 ， °； (2)是否存在某个时刻t，使得？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)试探究：在旋转过程中，当t为何值时，中有两个角相等，请直接写出t的值． 【答案】(1)，60 (2)33或69 (3)t的值为9或18或54或63 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． （1）根据题中条件，求得，由此可求得，即，同时可求得； （2）分两种情况讨论：当在点C的左边时，当在点C的右边时，分别画出图形，求出结果即可； （3）分情况进行讨论，①，求得CE旋转45°或315°，②，可求得CE旋转90°或270°． 【详解】（1）解：如图所示，与交于点O， ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， 当时，根据由旋转可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴直线与的位置关系是：垂直， ∵， ∴． （2）解：如图，当在点C的左边时，延长交于点G， ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当在点C的右边时， ∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴根据旋转可知，旋转角为：， ∴； 综上分析可知：或时，使得； （3）解：由题意可知，， ①当， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当旋转时，中有两个角相等，如图所示， ∴此时； ②时， 则： ， ∴，即，如图， 则旋转的度数为：， 即当旋转时，中有两个角相等； 此时； ③当时， ∵， ∴， 则， 即， ∵， ∴， 即当旋转时，中有两个角相等，如图所示， 此时； ④由③可知，如图，当时， ∵， 此时旋转， 即当旋转时，中有两个角相等， 此时； 综上所述：当t的值为9或18或54或63时，中有两个角相等． 【题型10 与三角形的内、外角性质及角等分线相关的规律性问题】 【例10】（23-24八年级·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105 【分析】本题考查三角形的内角和定理，n等分线的定义． （1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线得到，，从而； （2）由三等分线可得，，从而； （3）同（2）思路即可求解； （4）同（2）（3）思路即可，，两式相加即可解答； （5）同（4）思路可得，又，即可求得，同理有，即可解答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ． （2）∵、是的三等分线，、是的三等分线， ∴，， ∴ ． 故答案为： （3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线， ∴，， ∴ ． 故答案为： （4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线， ∴，， ，， ∴ ， ， ∴． 故答案为： （5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线， ∴，， ，， ∴ ， ， ∴， ∵ ∴， ∴， 同理可得． 故答案为：105 【变式10-1】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图将沿线段翻折至处，延长、（点F在内部）． 请尝试探究： (1)请直接写出、与的数量关系为__________； (2)若平分，平分．点F在内部（如图②），证明：． (3)若射线、分别是，的n等分线（n为大于2的正整数），即，，射线和射线相交于点O．请直接写出与的数量关系：__________． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据三角形内角和定理及平角的定义得到，再根据，即可得出结论； （2）根据角平分线的定义及（1）中的结论得出，再根据平行线的性质与判定证明即可； （3）由三角形的内角和定理可得，，可得，再结合（1）的结论可得答案． 【详解】（1）解：在中，， 在中，， ， ，， ， ， 由对折可得：， ， （2）证明：如图，    过点作， ， 平分，平分， ，， 由（1）知， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，轴对称的性质，平行线的判定及角平分线的定义，熟记三角形内角和是是解题的关键，同时应熟练掌握平行线的判定及角平分线的定义． 【变式10-2】（23-24八年级·陕西西安·期中）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点，连接，得到“8”字图形． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索与、间的关系； (3)如图3，点为延长线上一点，、分别是、的四等分线，且，，的延长线与交于点，请探索与、的关系．（直接写结论） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键； （1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得； （3）运用（1）和（2）的结论即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1， ，， ． （2）解：如图2， 和的平分线相交于点， ，， 由（1）可得：，， ， ． （3）由（1）得：， ， ， 设与的交点为点，则， 两式相减可得：， ， ， ， ， 即． 【变式10-3】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）直线与直线垂直相交于，点在射线上运动，点在射线上运动．    (1)如图，已知、分别是和角的平分线，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值； (2)如图，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及其延长线相交于、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，试求的度数． (3)如图，延长至，已知、的等分线（、）与的等分线（）及其延长线相交于、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，直接写出的度数．（结果可用含的代数式表示） 【答案】(1)大小不发生变化，且． (2)或． (3)或或或或． 【分析】（1）综合三角形内角和定理和角平分线定义即可求出； （2）结合三角形外角性质判断的范围后，利用三角形内角和定理和角平分线定义，分、、、四种情况进行讨论，从而求解； （3）先根据题意分别用含的代数式表示出、、、、、，再利用三角形内角和定理和三角形外角性质，分、、、、、六种情况进行讨论，最后利用求解． 【详解】（1）解：大小不发生变化， ， ， 中，， ， 、分别是和的角平分线， ，， ， 中，， 故大小不发生变化，且． （2）解：， ， 、、分别为、、的角平分线， 且是的反向延长线， ， ， ， ， 是的延长线， ， ， 即角度固定， 是外角， ， ， ①当时， 即，符合题意， 中，， ， 中，； ②当时， 即， 中，，不符合题意，舍去； ③当时， 此时，不符合题意，舍去； ④当时， ，符合题意， 中，， ． 综上，或． （3）解：依题得：， ， ， ， ， 中，， ①当时， ， ， 中，， ， ， 又， 即， ； ②当时， ， ， 中，， ， ， 又， 即， ； ③当时， ， ， ， ， 该情况舍去； ④当时， 则， 即， ， ， ， ， ， 即， ； ⑤当时， ， ， ， ， ， ， 即， ； ⑥当时， 则， 即， ， ， ， ， ， 即， ． 综上，或或或或． 【点睛】本题考查的知识点是三角形内角和定理、角平分线的相关运算、角等分线的相关运算、三角形外角性质，解题关键是综合运用角平分线定义和三角形内角和定理并注意分情况讨论． 【考点3 全等三角形】 1．全等形的概念 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等． （2） 两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． （3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 2．全等三角形的概念和表示方法 （1）全等三角形的概念： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角． （3）全等三角形的表示方法： “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 3．全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 【拓展】由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等， 对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【总结】寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法： （1）图形特征法： 最长边对最长边，最短边对最短边； 最大角对最大角，最小角对最小角． （2）位置关系法： ①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边． ②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角． （3）字母顺序法： 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角． 【题型11 利用全等三角形的性质求角】 【例11】（23-24八年级·河北邯郸·期中）如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（    ）    A．105° B．100° C．110° D．115° 【答案】B 【分析】延长C′D交AB′于H．利用全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC=∠C′+∠AHC′+∠CAD，再求出∠C′+∠AHC′即可解决问题． 【详解】解：延长C′D交AB′于H．    ∵△AEB≌△AEB′， ∴∠ABE=∠B′，∠EAB=∠EAB′=40°， ∵C′H∥EB′， ∴∠AHC′=∠B′， ∵△ADC≌△ADC′， ∴∠C′=∠ACD，∠DAC=∠DAC′=40°， ∵∠BFC=∠DBF+∠BDF，∠BDF=∠CAD+∠ACD， ∴∠BFC=∠AHC′+∠C′+∠CAD， ∵∠DAC=∠DAC′=∠CAB′=40°， ∴∠C′AH=120°， ∴∠C′+∠AHC′=60°， ∴∠BFC=60°+40°=100°， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握基本性质是解题的关键． 【变式11-1】（23-24八年级·浙江金华·期末）在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为， 或， 当， ∵， ∴这种情况不存在， 当， ∴． 故答案为：10． 故选B． 【变式11-2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，＝ °． 【答案】45 【分析】连接，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图所示： 由图可知与与全等， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了全等图形，主要利用了网格结构以及全等三角形的判定与性质，准确识图并确定出全等三角形是解题的关键． 【变式11-3】（23-24八年级·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，D，E分别是的边上的点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是求出． 根据全等三角形对应角相等，得到，根据，求出，在利用直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故选D． 【题型12 利用全等三角形的性质求两线段的位置关系】 【例12】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，CA⊥BE，且△ABC≌△ADE，则BC与DE的关系是 ． 【答案】相等且垂直 【分析】根据全等三角形对应边相等可得BC=DE，全等三角形对应角相等可得∠C=∠E，根据垂直的定义求出∠BAC=90°，然后求出∠B+∠E=90°，从而得到∠BFE=90°，即BC⊥DE． 【详解】延长ED交BC于F, ∵△ABC≌△ADE， ∴BC=DE，∠C=∠E， ∵CA⊥BE， ∴∠BAC=90°， ∵∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-90°=90°， ∴∠B+∠E=90°， ∴∠BFE=180°-（∠B+∠E）=180°-90°=90°， ∴BC⊥DE， 故BC与DE的关系是相等且垂直． 故答案为相等且垂直 【点睛】本题考核知识点：全等三角形的判定和性质. 解题关键点：熟记全等三角形的判定和性质. 【变式12-1】（23-24八年级·河北承德·期末）如图，ABC≌EFD，则BC与DF的关系是（    ） A．平行但不相等 B．相等但不平行 C．不平行也不相等 D．平行且相等 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质可得BC＝FD，∠BCA＝∠FDE，再由平行线的判定可推出BC∥FD，即可得出结论． 【详解】解：∵△ABC≌△EFD， ∴BC＝FD，∠BCA＝∠FDE， ∴BC∥FD， 即BC与DF的关系是：平行且相等； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【变式12-2】（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，已知，点是上一点，交于点． （1）与CF的位置关系是 ； （2）若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）由，得到，即可得出； （2）由，得到，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式12-3】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图所示，已知于点，．    (1)若，，求的长． (2)试判断和的关系，并说明理由 【答案】(1)3 (2)，，理由见解析 【分析】（1）根据，得出， ，根据即可求解； （2）根据全等的性质得出，，然后由即可得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∵，， ∴， ∴； （2）∵ ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴，且． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等． 【题型13 利用全等三角形的性质求线段的长】 【方法总结】利用全等三角形的性质求线段长的方法:(1)先确定两个三角形中边 的对应关系,再由这种对应关系实现已知线段与所求线段的转换; (2)若所求的线段不是全等三角形的对应边,则需要用等式的 性质进行转换求解. 【例13】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）边长都为整数的△ABC和△DEF全等,AB与DE是对应边,AB=2,BC=4,若△DEF的周长为奇数,则DF的值为 . 【答案】3或4或5 【分析】根据三角形的三边关系求得AC的范围，然后根据全等三角形的对应边相等即可求解. 【详解】AC的取值范围是2＜AC＜6，则AC的奇数值是3或5， △ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边,AB=2,BC=4, 当DF=AC时，DF=3或5 当DF=BC时，DF=4 故答案为3或4或5 【点睛】本题考点涉及全等三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 【变式13-1】（23-24八年级·山西临汾·期末）如图，已知，点在同一条直线上，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据得到，得到，从而解答． 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【变式13-2】（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）如图，，点在上，与交于点，．    （1）若，则的长为 ； （2）连接，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据全等三角形的性质分析求解； （2）结合三角形中线的性质求得的面积，从而利用全等三角形的性质分析求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， （2）又（1）可得， ∴， ∵， ∴    故答案为：；． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形中线的性质，理解全等三角形的性质及三角形中线的概念是解题关键． 【变式13-3】（23-24八年级下·河南郑州·期末）在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝20 cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为 cm． 【答案】8或15/15或8 【分析】设，则，使△ACM与△BMN全等，由可知，分两种情况讨论：当BM=AC，BN=AM时，列方程解得t的值即可得到AC的长；当BM=AM，BN=AC时，列方程解得t的值，可解得AC的长． 【详解】解：设cm，则cm， ，要使得△ACM与△BMN全等，可分两种情况讨论： 当BM=AC，BN=AM时， 解得 cm； 当BM=AM，BN=AC时， 解得 cm 故答案为：8或15． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，涉及分类讨论法、列一元一次方程、解一元一次方程等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【题型14 利用全等三角形的性质解决图形变换中的问题】 【方法总结】三角形经过平移、旋转或翻折变换后,形状、大小没有发生变化,故变换前后两三角形全等. 【例14】（23-24八年级下·江苏连云港·期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，三角形外角的性质，折叠变换等知识，关键在于能够正确添加辅助线，灵活运用所学知识．根据折叠可知，，，再利用平角为，三角形内角和，推出，再利用三角形内角和定理、角平分线性质求出，再求出结果即可． 【详解】解：纸片沿折叠， ， ，， ， 平分，平分，， ，， ， ， ， ， 故选：C 【变式14-1】（2024八年级·江苏·专题练习）一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全是三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：，对应边是， 对应角是； （2），对应边是， 对应角是； （3），对应边是， 对应角是； （4），对应边是， 对应角是． 【变式14-2】（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图，中，，将沿方向平移的长度得到，且，，，则图中阴影部分的面积是 ．    【答案】15 【分析】本题主要考查了平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．先根据平移的性质得到即，，可求出，最后根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵将沿方向平移的长度得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：15． 【变式14-3】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，和是分别沿着，边翻折形成的．若．则的度数（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据三角形内角之比得出三个内角的度数，然后根据翻折的两个三角形是全等三角形，由对应角相等得出，的度数；再根据三角形外角的性质得出答案即可． 【详解】解：根据题意设，则，， 则， 解得， 则，，， 由折叠的性质可知：， ，， ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查图形的翻折，涉及三角形的内角和定理和外角性质，解题的关键是掌握经过翻折的两个三角形是全等三角形． 【考点4 三角形全等的判定】 1．判定两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS） （1）基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”． （2）这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因． 2．判定两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS） （1）基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”． （2）此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系． 【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等． （2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件． 3．判定两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA） （1）基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”． （2）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识． 4．判定两个三角形全等的基本事实：角角边（AAS） （1）基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”． （2）这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等． 5．直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL） （1）基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”． （2）“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立． 【归纳】判定两个三角形全等常用的思路方法如下： 【题型15 添加条件判断三角形全等】 【例15】（23-24八年级下·山东日照·开学考试）如图，已知，，增加下列条件，其中不能使的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，正确理解全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，即可判断答案． 【详解】， ， A、添加条件，根据“边角边”即可判断，不符合题意； B、添加条件，无法判断，符合题意； C、添加条件，根据“角边角”即可判断，不符合题意； D、添加条件，根据“角角边”即可判断，不符合题意． 故选B． 【变式15-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，已知的六个元素，则根据甲、乙、丙3个三角形中的条件能和全等的图形是（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 分别利用全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：因为所对的边是b不是a，故图乙中的三角形和不全等． 如图甲、丙根据全等三角形的判定定理和可以证得它们全等、丙中的三角形和全等． 故选：B． 【变式15-2】（23-24八年级·山东泰安·期末）给出下列四组条件：①，，；②，，；③，，；④，，．其中，能使的条件共有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据全等三角形的判定方法结合选项进行判定即可． 【详解】解：①，，，可根据判定； ②，，，可根据判定； ③，，，可根据判定； ④，，，不能判定； 故选：C． 【变式15-3】（2024八年级·全国·专题练习）如图，B是中点，，请添加一个条件，使得，可以添加的条件是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意可知已有一组对应角和一组对应边相等，再确定一组对应角相等即可判定． 【详解】解：∵B是中点， ∴， ∵， ∴当时，依据可得，， 故答案为：（答案不唯一） 【题型16 全等三角形的判定与性质的综合应用】 【例16】（23-24八年级·山西吕梁·期末）（1）已知，，O为中点，过O点的直线分别与相交于点M，N，如图1，那么与有什么关系？请说明理由． （2）若将过O点的直线旋转至图2、3的情况时，其它条件不变，那么图1中的与的关系还成立吗？请说明理由． 【答案】（1），，理由见解析 （2）成立，见解析 【分析】（1）由平行线的性质可得，证明，根据全等三角形的对应边相等，即可证得； （2）当图2、3的情况时，证明方法和图1情况完全一样． 【详解】（1）， 理由如下： ∵， ∴， 又O是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，； （2）成立， 图2中：∵， ∴， 又O是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，； 图3中：∵， ∴， 又O是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定与性质，根据全等三角形得出角相等是解题的关键． 【变式16-1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．    (1)与全等吗？请说明你的理由； (2)若，，的面积为3，请直接写出的面积． 【答案】(1)，见解析 (2)6 【分析】（1）根据中线的性质可得，根据平行线的性质可得，根据全等三角形的判定即可证明； （2）过点作交于点，根据全等三角形的性质可得，的面积为3，根据三角形的面积公式求得，即可求解． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵是的中线，∴， ∵，∴， 在和中， ， ∴． （2）解：过点作交于点，如图：    ∵，的面积为3， ∴，的面积为3， ∴， 则的面积为． 【点睛】本题考查了中线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式16-2】（23-24八年级·山东日照·期末）在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边的边上，且，，交于点Q．求证：．同学们利用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题： (1)若将题中“”与“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你给出答案并说明理由． (2)若将题中的点M，N分别移动到的延长线上，是否仍能得到？请你画出图形，给出答案并说明理由． 【答案】(1)仍是真命题，证明见解析 (2)仍能得到，作图和证明见解析 【分析】（1）由角边角得出和全等，对应边相等即可． （2）由（1）问可知BM=CN，故可由边角边得出和全等，对应角相等，即可得出． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ 在和中有 ∴ ∴ 故结论仍为真命题． （2）∵BM=CN ∴CM=AN ∵AB=AC，， 在和中有 ∴ ∴ ∴ 故仍能得到，如图所示 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角，有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路． 【变式16-3】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)与全等吗？为什么？ (2)试说明点是线段的中点． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)说明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点定义等知识，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，，再利用即可证明； （2）利用证明，根据全等三角形的性质及线段中点定义即可得解． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ，即， 在与中， ， ， ，， 在和中 ， ； （2）解：由（1）知，， 与相交于点， ， 在和中， ， ， ， 点是线段的中点． 【题型17 “倍长中线法”构造全等三角形】 【方法总结】所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 【例17】（23-24八年级·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出； ②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， 和是兄弟三角形； （2）证明：①延长至，使， 为的中点， ， 在和中， ， ， ； ②， ， ∴， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 【变式17-1】（16-17八年级·浙江杭州·期中）在△ABC中，AB=3，AC=4，延长BC至D，使CD=BC，连接AD，则AD的长的取值范围为（　　） A．1＜AD＜7 B．2＜AD＜14 C．2.5＜AD＜5.5 D．5＜AD＜11 【答案】D 【分析】利用倍长中线法构造全等三角形后，再利用三角形的三边关系确定范围即可． 【详解】如图，延长AC到E使CE=AC，连接ED. ∵BC=CD，AC=CE，∠ACB=∠ECD， ∴△ACB≌△ECD， ∴DE=AB=3，AC=CE=4， ∴AE=2AC=8， 在△AED中，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 由AE+DE=11，AE−DE=5. ∴5<AD<11. 故选：D. 【点睛】本题考查了倍长中线法构造全等三角形和三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解题关键是构造全等三角形． 【变式17-2】（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，延长到使，连接，通过，根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到，由等腰三角形的性质得到，推出即可得解决问题． 【详解】解：如图，延长到使，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ，即， ， 故答案为：． 【变式17-3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容（请填写横线中的依据）： 例4、如图，在中，D是边的中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E，求证：．    证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点，∴． 在与中， ∵， ∴（ 　　 ） ∴（ 　 　）     （2）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是 　 　． （3）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．    【答案】（1），全等三角形的对应边相等；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题是“倍长中线”模型综合应用，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点； （1）根据前后逻辑关系填空即可； （2）延长到，使，连接，证，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． （3）结论：．延长，交于点，证明，推出，再证明即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点，∴． 在与中， ∵， ∴ ∴（全等三角形的对应边相等）; 故答案为：，全等三角形的对应边相等； （2）延长到，使，连接，   是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图②中，延长，交于点，   ， ， 在和中， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ． 【题型18 “截长补短法”证明线段和差问题】 【方法总结】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长,指在长线段中截取一段等于已知线段;补短,指将短线段延长,延长后的线段等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程. 【例18】（23-24八年级·黑龙江大庆·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD． 【答案】证明见解析． 【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答． 【详解】延长EB到G，使BG=DF，连接AG． ∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴AG=AF，∠1=∠2．   ∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD． ∴∠GAE=∠EAF． 又∵AE=AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG=EF． ∵EG=BE+BG． ∴EF=BE+FD 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，做出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 【变式18-1】（23-24八年级·上海静安·期末）如图，已知在中，平分，，则 . （用含的代数式表示）. 【答案】a-b 【分析】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，根据SAS证明△ADC≌△A′DC，根据△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A，再证明DA′=A′B即可解决问题. 【详解】在CB上截取CA′=CA，连接DA′， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠A′CD， 在△ADC和△A′DC中， ， ∴△ADC≌△A′DC（SAS）， ∴DA′=DA，∠CA′D=∠A， ∵∠A=2∠B，∠CA′D=∠B+∠A′DB， ∴∠A′DB=∠B， ∴BA′=A′D=AD， ∴BC=CA′+BA′=AC+AD ∴AD=BC-AC=a-b， 故答案为：a-b. 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 【变式18-2】（23-24八年级·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 【变式18-3】（23-24八年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论； （2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数； （3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系． 此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）证明：的高、交于点，如图1所示： ，， ，， ， （2）解：在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）解：、、的数量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图2所示： 是的高，， ，， 在和中， ， ， ，， 由（2）可知：，即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 【题型19 应用全等三角形的性质解决实际问题】 【例19】（23-24八年级下·陕西西安·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到的水平距离、分别为和，，，．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？ 【答案】爸爸是在距离地面的地方接住小丽，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的实际应用，通过证明， 进而利用证明从而得到，再根据线段的和差关系求出的长是解题的关键. 【详解】解：爸爸是在距离地面的地方接住小丽的，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵分别为和， ∴ ∵， ∴， ∴爸爸是在距离地面的地方接住小丽的. 【变式19-1】（23-24八年级·山西阳泉·期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，再证明，即可得到． 【详解】解：∵， ， 即． 在与中， ． ． ∵， ． 【变式19-2】（23-24八年级·山西晋城·期末）如图1，课间，小明与小亮在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高，这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争论，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长!”因为太阳光线是平行的，于是，小聪根据数学老师的解释，画出如图2所示的图形，线段表示小明的身高，线段表示小明的影子，线段表示小亮的身高，线段表示小亮的影子，，太阳光线．请利用全等的原理说明小明与小亮一样高．    【答案】见解析 【分析】先证明，得到，再证明，即可得到，即可得到小明与小亮一样高． 【详解】解：由题知，，， ∴. ∵， ∴. 在和中， ∴ ∴. ∴小明与小亮一样高． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【变式19-3】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了步到达一棵大树C处，接着又向前走了步到达D处，然后他左转直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离． (1)请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图； (2)如果小刚一步大约厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离并简述理由． 【答案】(1)图略 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，正确画出示意图，得到是解答此题的关键． （1）根据题意即可完成作图； （2）结合题意分别求出、、的长，易得：，，，根据全等三角形的判定定理可得，进而得到，据此，可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意画出图形，如图所示． （2）解：A、B两根电线杆之间的距离大约为．理由如下． ∵，，，． ∵点E、C、B在一条直线上， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ， 故A、B两根电线杆之间的距离大约为． 【题型20全等三角形在探究性问题中的应用】 【例20】（23-24八年级下·山东济南·期末）【模型呈现】 （1）如图1，，，于点，于点． 求证：． 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点． ①求证； ②若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析； 【分析】（1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； （3）①过点作于，过点作交的延长线于，易证，，得到，，再证明，即可得出结论； ②根据全等三角形的性质，求出的长，进而利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ． （2）由模型呈现可知，，， ，，，， 则 ． （3）①过点作于，过点作交的延长线于． 图3 由【模型呈现】可知，，， ， ， ， ， 在和中， ， ． ②由①可知，，， ， ， ， ， 由①得 ， ， ， ， ． 【变式20-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）如图所示，是高，点P在的延长线上，，点Q在上，． (1)判断： 　　（用“>”、“<”、“＝”填空）； (2)探究：与之间的关系； (3)若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论． 【答案】(1) (2)结论：，，详见解析 (3)上述结论成立，详见解析 【分析】本题主要考查了垂线的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据垂线的定义和三角形内角和定理即可得出答案； （2）根据垂线的定义和三角形内角和定理可得，证明，可得结论； （3）根据垂线的定义和三角形内角和定理可得，证明，可得结论； 【详解】（1）解：设交于F， 是高， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：结论：，， 证明： 是高，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 而， ， 即， ； 即，； （3）解：上述结论成立，理由如下： 如图所示： 是高，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 【变式20-2】（23-24八年级·广西南宁·期末）综合与实践： 【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：． 【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点． 【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，熟练掌握全等三角形的判定及性质，添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用证得，即可求证结论； （2）过作于，由（1）得，进而可得，再利用可证，则可证，根据数量关系可得，，进而可求证结论； （3）过点作于，由（2）得，，，再根据数量关系即可求解； 【详解】解：（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：过作于，如图： 由（1）得：， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ，， 是的中点； （3），理由如下： 过点作于，如图： 由（2）得：，，， ， ，， ， ， ， ． 【变式20-3】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图1，中，于点D，以A为直角顶点，分别以、为直角边，在外作等腰直角和等腰直角，过点E、F作射线的垂线，垂足分别为H、G． (1)试探究与之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图2，若连接交的延长线于G，由（1）中的结论能否判断与的大小关系？并说明理由． (3)在（2）的条件下，若面积为90，，请直接写出长． 【答案】(1)相等，见解析 (2)能，相等，见解析 (3)18 【分析】（1）根据一线三等角模型，利用证明 ，，推出，推出，即可得出； （2）利用证明，即可得出； （3）利用全等三角形相等，可得，，由此可解． 【详解】（1）解：，证明如下： 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理， 则， ； （2）解：，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ； （3）在（2）的条件下，若面积为90，，请直接写出长 ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴ ∴， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又∵ ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的定义等，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.14 三角形的初步知识全章专项复习【4大考点20种题型】 【浙教版】 【考点1 与三角形有关的线段】 2 【题型1 三角形的三边关系的应用】 3 【题型2 与等腰三角形的边长的有关的问题】 3 【题型3 三角形的高的有关的问题】 4 【题型4 利用中线解决三角形的面积问题】 5 【题型5 利用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】 6 【考点2 与三角形有关的角】 7 【题型6 利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度计算】 8 【题型7 直角三角形的性质的应用】 9 【题型8 三角形外角的应用】 10 【题型9 三角形的内角和与外角的性质的综合】 11 【题型10 与三角形的内、外角性质及角等分线相关的规律性问题】 13 【考点3 全等三角形】 15 【题型11 利用全等三角形的性质求角】 15 【题型12 利用全等三角形的性质求两线段的位置关系】 16 【题型13 利用全等三角形的性质求线段的长】 17 【题型14 利用全等三角形的性质解决图形变换中的问题】 18 【考点4 三角形全等的判定】 20 【题型15 添加条件判断三角形全等】 21 【题型16 全等三角形的判定与性质的综合应用】 22 【题型17 “倍长中线法”构造全等三角形】 23 【题型18 “截长补短法”证明线段和差问题】 25 【题型19 应用全等三角形的性质解决实际问题】 26 【题型20全等三角形在探究性问题中的应用】 28 【考点1 与三角形有关的线段】 【知识点1 三角形三边的关系】 定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 【知识点2 三角形的分类】 【知识点3 三角形的重要线段】 （1）三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 【要点】三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线：三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线， 【要点】一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 【要点】一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心. 【知识点4 三角形的稳定性】 如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性． 【题型1 三角形的三边关系的应用】 【例1】（23-24八年级·河北石家庄·期末）一款可折叠晾衣架的示意图如图所示，支架（连接处的长度忽略计），则点，之间的距离可以是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级·四川眉山·期中）若，，是的三边，试化简： ． 【变式1-2】（23-24八年级·湖北黄冈·阶段练习）长为9、6、4、3的四根木条，选其中三根组成三角形，共有（　　）种选法． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式1-3】（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，用、、、四条钢条固定成一个铁框，相邻两钢条的夹角均可调整，不计螺丝大小，重叠部分．若、、、，则所固定成的铁框中，两个顶点的距离最大值是（    ） A．14 B．16 C．13 D．11 【题型2 与等腰三角形的边长的有关的问题】 【例2】（23-24八年级·江西吉安·期末）用12根等长的火柴棒拼成一个等腰三角形，火柴棒不允许剩余、重叠、折断，则能摆出不同的等腰三角形的个数为 个． 【变式2-1】（23-24八年级·辽宁丹东·期末）等腰三角形周长为17，其中两条边长分别为x和，则这个等腰三角形的腰长为（    ） A．4或7 B．4 C．6 D．7 【变式2-2】（23-24八年级·浙江衢州·阶段练习）周长为12，各边长均为整数的等腰三角形的三边长分别为 ． 【变式2-3】（23-24八年级·全国·单元测试）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为 ． 【题型3 三角形的高的有关的问题】 【例3】（24-25八年级·重庆铜梁·开学考试）如图，中，，于E，，点D在上移动，则的最小值是 ． 【变式3-1】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，在中，，，，，，则的长为 ． 【变式3-2】（23-24八年级·山东德州·阶段练习）如图，在中，，，垂足分别为，，与相交于点连接并延长交于点.若，，，则：：的值为 . ‍ 【变式3-3】（2024八年级·江苏·专题练习）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，先以每秒的速度沿运动，然后以的速度沿运动．若设点运动的时间是秒，那么当取何值时，的面积等于10？ 【题型4 利用中线解决三角形的面积问题】 【例4】（23-24八年级·四川资阳·期末）如图，已知的面积为12，D、E、F分别是的边、、的中点，、、交于点G，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式4-1】（23-24八年级·江苏常州·期末）如图，是的中线，是的中点．若，则 ． 【变式4-2】（23-24八年级·四川巴中·期末）如图，已知，，分别是，，的中点，，，分别是，，的中点，若的面积为4，则的面积为 ． 【变式4-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为4，则的面积为 ． 【题型5 利用三角形的三边关系解决线段的和差比较问题】 【例5】（23-24八年级·安徽安庆·期中）已知：如图，点D是△ABC内一点．求证：    (1)BD＋CD＜AB＋AC； (2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC． 【变式5-1】（2024八年级·全国·专题练习）如图，已知点是内一点， 连接并延长交于点，求证：．    【变式5-2】（23-24八年级·山东青岛·单元测试）如图，设为内一点，且，求证：．    【变式5-3】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，，是四边形的对角线，且，相交于点O．求证： (1)； (2)． 【考点2 与三角形有关的角】 【知识点1 三角形的内角】 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 推论： （1）直角三角形的两个锐角互余 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形 【知识点2 三角形的外角】 三角形外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 【题型6 利用三角形的内角和定理解决折叠中的角度计算】 【例6】（23-24八年级·广西柳州·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为 ． 【变式6-1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点 D、E分别在边上，将沿着折叠压平使A与重合， 若， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，，则 ．    【变式6-3】（2024八年级·全国·专题练习）如图，把沿折叠，使点A落在点D处， (1)若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【题型7 直角三角形的性质的应用】 【例7】（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，点为上一点，过点作于点． (1)当平分，且时，求的度数； (2)当点是中点，，且的面积为，求的长． 【变式7-1】（23-24八年级·贵州贵阳·期末）如图，直线，于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24八年级·浙江温州·期末）图1的指甲剪利用杠杆原理操作，图2是使用指甲剪的侧面示意图，，杠杆与上臂重合；使用时，B刚好至点，当时，恰好'平分，若，则 ． 【变式7-3】（23-24八年级·辽宁盘锦·期末）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【初步探究】在中，，作的平分线交于点D．在图1中，作于E，求的度数； (2)【迁移探究】在中，，作的平分线交于点D．如图2，在上任取点F，作，垂足为点E，直接写出的度数； (3)【拓展应用】如图③，在中，平分，点F在的延长线上，于E，求出与之间的数量关系． 【题型8 三角形外角的应用】 【例8】（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）在中，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，下列结论： ①； ②； ③， ④； 其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-1】（23-24八年级·甘肃酒泉·期末）如图，是的外角，的平分线与的平分线交于点，的平分线与的平分线交于点． (1)试确定与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【变式8-2】（23-24八年级·福建厦门·期末）如图，，，点E是边上一点，连接交的延长线于点H．点F是边上一点．使得，作的角平分线交于点G，若，则的度数为 ． 【变式8-3】（23-24八年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，为的高，，为的角平分线，若，． (1)求的度数； (2)若点G为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 【题型9 三角形的内角和与外角的性质的综合】 【例9】（23-24八年级·福建福州·期中）已知在中，点D在上，且． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，平分交于点F，交于点E． ①求证：； ②的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数． 【变式9-1】（23-24八年级·江苏苏州·期中）如图，在中，平分，于点D，的角平分线所在直线与射线相交于点G，若，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24八年级·天津东丽·期中）如图，已知，平分，平分，的延长线交于点F，设，，则下列关系正确的是（　　）    A． B． C． D． 【变式9-3】（23-24八年级·江苏盐城·期中） 已知：如图①，在中，是角平分线，点E、F分别在边、上，，将绕点C以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为t．当所在直线与线段，有交点时，交点分别为点M、点N． (1)当时，如图②，此时直线与的位置关系是 ， °； (2)是否存在某个时刻t，使得？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； (3)试探究：在旋转过程中，当t为何值时，中有两个角相等，请直接写出t的值． 【题型10 与三角形的内、外角性质及角等分线相关的规律性问题】 【例10】（23-24八年级·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 【变式10-1】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图将沿线段翻折至处，延长、（点F在内部）． 请尝试探究： (1)请直接写出、与的数量关系为__________； (2)若平分，平分．点F在内部（如图②），证明：． (3)若射线、分别是，的n等分线（n为大于2的正整数），即，，射线和射线相交于点O．请直接写出与的数量关系：__________． 【变式10-2】（23-24八年级·陕西西安·期中）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点，连接，得到“8”字图形． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索与、间的关系； (3)如图3，点为延长线上一点，、分别是、的四等分线，且，，的延长线与交于点，请探索与、的关系．（直接写结论） 【变式10-3】（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）直线与直线垂直相交于，点在射线上运动，点在射线上运动．    (1)如图，已知、分别是和角的平分线，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值； (2)如图，延长至，已知、的角平分线与的角平分线及其延长线相交于、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，试求的度数． (3)如图，延长至，已知、的等分线（、）与的等分线（）及其延长线相交于、，在中，如果有一个角是另一个角的倍，直接写出的度数．（结果可用含的代数式表示） 【考点3 全等三角形】 1．全等形的概念 定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 【提示】（1）全等形的形状相同，大小相等． （2） 两个图形是否全等，只与这两个图形的形状和大小有关，而与图形所在的位置无关． （3）判断两个图形是不是全等形的方法：把两个图形叠合在一起，看是否能够完全重合． 2．全等三角形的概念和表示方法 （1）全等三角形的概念： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （2）全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点；②对应边：全等三角形中，能够重合的边；③对应角：全等三角形中，能够重合的角． （3）全等三角形的表示方法： “全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 3．全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 【拓展】由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等， 对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【总结】寻找全等三角形对应边、对应角的三种方法： （1）图形特征法： 最长边对最长边，最短边对最短边； 最大角对最大角，最小角对最小角． （2）位置关系法： ①公共角（对顶角）为对应角、公共边为对应边． ②对应角的对边为对应边，对应边的对角为对应角． （3）字母顺序法： 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角． 【题型11 利用全等三角形的性质求角】 【例11】（23-24八年级·河北邯郸·期中）如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（    ）    A．105° B．100° C．110° D．115° 【变式11-1】（23-24八年级·浙江金华·期末）在两个全等的三角形中，已知一个三角形的三个内角为，，另一个三角形有一个角为，则 ． 【变式11-2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，＝ °． 【变式11-3】（23-24八年级·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，D，E分别是的边上的点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【题型12 利用全等三角形的性质求两线段的位置关系】 【例12】（23-24八年级·全国·单元测试）如图，CA⊥BE，且△ABC≌△ADE，则BC与DE的关系是 ． 【变式12-1】（23-24八年级·河北承德·期末）如图，ABC≌EFD，则BC与DF的关系是（    ） A．平行但不相等 B．相等但不平行 C．不平行也不相等 D．平行且相等 【变式12-2】（23-24八年级下·河北保定·期中）如图，已知，点是上一点，交于点． （1）与CF的位置关系是 ； （2）若，，则的长为 ． 【变式12-3】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图所示，已知于点，．    (1)若，，求的长． (2)试判断和的关系，并说明理由 【题型13 利用全等三角形的性质求线段的长】 【方法总结】利用全等三角形的性质求线段长的方法:(1)先确定两个三角形中边 的对应关系,再由这种对应关系实现已知线段与所求线段的转换; (2)若所求的线段不是全等三角形的对应边,则需要用等式的 性质进行转换求解. 【例13】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）边长都为整数的△ABC和△DEF全等,AB与DE是对应边,AB=2,BC=4,若△DEF的周长为奇数,则DF的值为 . 【变式13-1】（23-24八年级·山西临汾·期末）如图，已知，点在同一条直线上，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式13-2】（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）如图，，点在上，与交于点，．    （1）若，则的长为 ； （2）连接，若，则的值为 ． 【变式13-3】（23-24八年级下·河南郑州·期末）在学习完“探索三角形全等的条件”一节后，小丽总结出很多全等三角形的模型，她设计了以下问题给同桌解决：做一个“U”字形框架PABQ，其中AB＝20 cm，AP，BQ足够长，PA⊥AB于点A，QB⊥AB于点B，点M从B出发向A运动，点N从B出发向Q运动，速度之比为2：3，运动到某一瞬间两点同时停止，在AP上取点C，使△ACM与△BMN全等，则AC的长度为 cm． 【题型14 利用全等三角形的性质解决图形变换中的问题】 【方法总结】三角形经过平移、旋转或翻折变换后,形状、大小没有发生变化,故变换前后两三角形全等. 【例14】（23-24八年级下·江苏连云港·期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】（2024八年级·江苏·专题练习）一个图形经过平移、翻折、旋转前后的图形全等．根据下列全等三角形写出对应的边和角． (1)，对应边是 ，对应角是 ； (2)，对应边是 ，对应角是 ； (3)，对应边是 ，对应角是 ； (4)，对应边是 ，对应角是 ． 【变式14-2】（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图，中，，将沿方向平移的长度得到，且，，，则图中阴影部分的面积是 ．    【变式14-3】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，和是分别沿着，边翻折形成的．若．则的度数（     ） A． B． C． D． 【考点4 三角形全等的判定】 1．判定两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS） （1）基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”． （2）这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因． 2．判定两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS） （1）基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”． （2）此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系． 【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等． （2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件． 3．判定两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA） （1）基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”． （2）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识． 4．判定两个三角形全等的基本事实：角角边（AAS） （1）基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”． （2）这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等． 5．直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL） （1）基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”． （2）“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立． 【归纳】判定两个三角形全等常用的思路方法如下： 【题型15 添加条件判断三角形全等】 【例15】（23-24八年级下·山东日照·开学考试）如图，已知，，增加下列条件，其中不能使的是（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，已知的六个元素，则根据甲、乙、丙3个三角形中的条件能和全等的图形是（    ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．只有乙 D．只有丙 【变式15-2】（23-24八年级·山东泰安·期末）给出下列四组条件：①，，；②，，；③，，；④，，．其中，能使的条件共有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式15-3】（2024八年级·全国·专题练习）如图，B是中点，，请添加一个条件，使得，可以添加的条件是 ．（写出一个即可） 【题型16 全等三角形的判定与性质的综合应用】 【例16】（23-24八年级·山西吕梁·期末）（1）已知，，O为中点，过O点的直线分别与相交于点M，N，如图1，那么与有什么关系？请说明理由． （2）若将过O点的直线旋转至图2、3的情况时，其它条件不变，那么图1中的与的关系还成立吗？请说明理由． 【变式16-1】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且．    (1)与全等吗？请说明你的理由； (2)若，，的面积为3，请直接写出的面积． 【变式16-2】（23-24八年级·山东日照·期末）在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边的边上，且，，交于点Q．求证：．同学们利用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题： (1)若将题中“”与“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你给出答案并说明理由． (2)若将题中的点M，N分别移动到的延长线上，是否仍能得到？请你画出图形，给出答案并说明理由． 【变式16-3】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点． (1)与全等吗？为什么？ (2)试说明点是线段的中点． 【题型17 “倍长中线法”构造全等三角形】 【方法总结】所谓倍长中线法,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 【例17】（23-24八年级·湖北省直辖县级单位·期中）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 【变式17-1】（16-17八年级·浙江杭州·期中）在△ABC中，AB=3，AC=4，延长BC至D，使CD=BC，连接AD，则AD的长的取值范围为（　　） A．1＜AD＜7 B．2＜AD＜14 C．2.5＜AD＜5.5 D．5＜AD＜11 【变式17-2】（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于．若，，，那么的长度为 ． 【变式17-3】（23-24八年级·浙江杭州·期中）（1）【教材呈现】以下是某数学教材某页的部分内容（请填写横线中的依据）： 例4、如图，在中，D是边的中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E，求证：．    证明：∵（已知）， ∴，． ∵D为边中点，∴． 在与中， ∵， ∴（ 　　 ） ∴（ 　 　）     （2）【方法应用】如图①，在中，，，则边上的中线长度的取值范围是 　 　． （3）【猜想证明】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．    【题型18 “截长补短法”证明线段和差问题】 【方法总结】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长,指在长线段中截取一段等于已知线段;补短,指将短线段延长,延长后的线段等于已知线段.该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程. 【例18】（23-24八年级·黑龙江大庆·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD． 【变式18-1】（23-24八年级·上海静安·期末）如图，已知在中，平分，，则 . （用含的代数式表示）. 【变式18-2】（23-24八年级·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式18-3】（23-24八年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【题型19 应用全等三角形的性质解决实际问题】 【例19】（23-24八年级下·陕西西安·期末）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若小丽妈妈和爸爸到的水平距离、分别为和，，，．请求出爸爸在C处接住小丽时，小丽距地面的高度是多少？ 【变式19-1】（23-24八年级·山西阳泉·期末）如图1是小宁制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，，，，，求的度数． 【变式19-2】（23-24八年级·山西晋城·期末）如图1，课间，小明与小亮在操场上突然争论起来，他们都说自己比对方长得高，这时数学老师走过来，笑着对他们说：“你们不要争论，其实你们一样高，瞧瞧地上，你俩的影子一样长!”因为太阳光线是平行的，于是，小聪根据数学老师的解释，画出如图2所示的图形，线段表示小明的身高，线段表示小明的影子，线段表示小亮的身高，线段表示小亮的影子，，太阳光线．请利用全等的原理说明小明与小亮一样高．    【变式19-3】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了步到达一棵大树C处，接着又向前走了步到达D处，然后他左转直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离． (1)请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图； (2)如果小刚一步大约厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离并简述理由． 【题型20全等三角形在探究性问题中的应用】 【例20】（23-24八年级下·山东济南·期末）【模型呈现】 （1）如图1，，，于点，于点． 求证：． 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点． ①求证； ②若，，求的面积． 【变式20-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）如图所示，是高，点P在的延长线上，，点Q在上，． (1)判断： 　　（用“>”、“<”、“＝”填空）； (2)探究：与之间的关系； (3)若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论． 【变式20-2】（23-24八年级·广西南宁·期末）综合与实践： 【问题情境】在综合与实践课上，老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，垂足分别为点．请证明：． 【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，请证明：点为的中点． 【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出与的数量关系． 【变式20-3】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图1，中，于点D，以A为直角顶点，分别以、为直角边，在外作等腰直角和等腰直角，过点E、F作射线的垂线，垂足分别为H、G． (1)试探究与之间的数量关系，并证明你的结论． (2)如图2，若连接交的延长线于G，由（1）中的结论能否判断与的大小关系？并说明理由． (3)在（2）的条件下，若面积为90，，请直接写出长． 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