串讲01 全等三角形（考点串讲，3个常考点+13种重难点题型+5个易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

八年级苏科版数学上册期中考点大串讲 串讲01 全等三角形 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 3大常考点：知识梳理 十三大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 五大易错易混经典例题+针对训练 精选5道期中真题对应考点练 考点透视 考点一： 全等图形 能完全重合的图形叫做全等图形。 两个图形全等，它们的形状、大小相同。 全等图形可通过平移、翻折、旋转等手段获得。 全等多边形的对应边、对应角、周长、面积相等。 对应边相等的两个多边形不一定是全等多边形； 对应角相等的两个多边形不一定是全等多边形。 周长相等的两个多边形不一定是全等多边形； 面积相等的两个多边形不一定是全等多边形。 考点透视 考点二：全等三角形的概念与性质 B C E F 能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点， 重合的角叫做对应角. 重合的边叫做对应边， 其中点A和 ，点B和 ，点C和_ _是对应顶点. AB和 ，BC和 ，AC和 是对应边. ∠A和 ，∠B和 ， ∠C和 是对应角. A D 点D 点E 点F DE EF DF ∠D ∠E ∠F A B C D E F 性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 如图：∵△ABC≌△DEF， ∴AB=DE，BC=EF，AC=DF （ ）， ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F （ ）. 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 应用格式： 5 考点透视 考点三：三角形全等的判定方法 用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中 ∴△ABC≌△DEF.（SAS） 1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (可以简写成“边角边”或“SAS”). F E D C B A AC=DF， ∠C=∠F， BC=EF， ∠A=∠D ，（已知 ） AB=DE，（已知 ） ∠B=∠E，（已知 ） 在△ABC和△DEF中， ∴ △ABC≌△DEF.（ASA） 2.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）. 用符号语言表达为： F E D C B A 7 3.三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）. A B C D E F 在△ABC和△ DEF中， ∴ △ABC ≌△ DEF.（SSS） AB=DE， BC=EF， CA=FD， 用符号语言表达为： 4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）. 5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”. A B C D E F 注意：①注意对应相等. ②“HL”仅适用直角三角形, ③书写格式应为: ∵在Rt△ ABC 和Rt△ DEF中 ， AB =DE， AC=DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF (HL) 9 题型剖析 题型一：全等图形 【例1】下列叙述中错误的是（　　） A．能够完全重合的图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．形状和大小都相同的两个图形是全等图形 C 【变式1-1】如图是由与四边形ACDB全等的6个四边形拼成的图形，若AB=3cm，CD=2AB，则AF的长为________cm。 【解析】∵图形与四边形ACDB全等的6个四边形拼成的图形， ∴AF=3AB+3CD， ∵AB=3，CD=2AB=6， ∴AF=3×3+3×6=27(cm)。 27 11 【变式1-2】如图，是有一个公共顶点O的两个全等正五边形，若将它们的其中一边都放在直线a上，则∠AOB的度数为________。 【解析】∵两图形为全等的正五边形， ∴∠1=∠2=∠3=∠4=108°， ∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°， ∴∠COD=180°-72°-72°=36°， ∴∠AOB=360°-∠1-∠3-∠COD=360°-108°-108°-36°=108°。 108° 12 题型剖析 题型二：全等三角形的概念 【例2】下列说法正确的是（ ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．全等三角形的周长和面积分别相等 D．所有的等边三角形是全等三角形 C 提示：根据全等三角形的概念即可得到答案． 【变式2-1】如图，与全等，可表示为_________________，与是对应角，AC与BD是对应边，其余的对应角是______________________________，其余的对应边是___________________． C B A D 与，与 AB与BA，BC与AD 14 题型剖析 题型三：全等三角形的性质 【例3】如图已知，且点B、C、E在一条直线上，，求的度数和的长． 解：∵， ∴ ∵B、C、E在一条直线上， ∴∠ACB+∠ECF=180°， ∴∠ACB=∠ECF=90°， ∴∠A= 180° -∠ACB -∠B =38°. A E C B F 【变式3-1】如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，DE=4，BD=13，则AB等于______。 9 【解析】∵△ABC≌△CDE，∴AB=CD，BC=DE=4， ∵BD=13，∴CD=BD-BC=13-4=9， ∴AB=CD=9。 16 【变式3-2】如图，△ABC≌△BAD，如果∠CAB=35°，∠CBD=30°，那么∠DAB度数是________。 65° 【解析】∵△ABC≌△BAD， ∴∠DBA=∠CAB=35°，∠DAB=∠CBA， ∵∠CBA=∠DAB+∠CBD=35°+30°=65°， ∴∠DAB=65°。 17 【变式3-3】如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B=70°，则∠ACD的度数为________。 40° 【解析】∵△ABC≌△DEC， ∴CE=BC，∠ACB=∠DCE， ∴∠CEB=∠B=70°，∠ACD=∠BCE， ∵∠BCE=180°-70°-70°=40°， ∴∠ACD=40°。 18 题型剖析 题型四：全等三角形的判定 【例4】如图，已知∠1＝∠2，AB＝AD，请添加一个条件，使△ABC≌△ADE，并加以证明． (1)你添加的条件是__________________（只需添加一个条件）； A D E B C 1 2 解:(1)添加的条件可以为：∠ACB=∠AED或AE=AC或∠D=∠B（任选一个即可）． (2)写出证明过程． 解:(2)证明：∵ ∠2+∠BAE=∠BAE+∠1 ， 即 又∵AB=AD， ∴添加：∠ACB=∠AED， 则△ABC≌△ADE（AAS）． 【例4】如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF． (1)图中有几对全等的三角形？请一一列出． 解:（1）3对．分别是：△ABD≌△ACD；△ADE≌△ADF；△BDE≌△CDF． A D C B E F (2)选择一对你认为全等的三角形进行证明． 解：（2）△BDE≌△CDF． 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°． 又D是BC的中点， ∴BD＝CD． 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ∴△BDE≌△CDF（HL）． 20 【变式4-1】已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC， 求证：△ABC≌△DCB． ∠ABC＝∠DCB(已知）， BC＝CB（公共边）， ∠ACB＝∠DBC（已知）， 证明： 在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB（ASA ）. B C A D 【分析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定． 21 【变式4-2】如图，AB=BC，∠BAD=∠BCD=90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE=CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF。 ∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F（已知）， ∴∠E=∠F=90°（垂直的定义）， 在Rt△ADE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。 22 【变式4-3】【问题提出】学习了三角形全等的判定方法“SSS” “SAS” “ASA” “AAS”和“HL”后，某小组同学探究了如下问题：当两个三角形满足两边和其中一边的对角分别相等时，这两个三角形是否全等. 【初步思考】他们先用符号语言表示了这个问题：在△ ABC 和△ DEF 中， AB ＝ DE ， AC ＝ DF ，∠ B ＝∠ E . 然后， 对∠ B 进行分类，可分为“∠ B 是直角、钝角、锐角”三 种情况进行探究. 【深入探究】 过程如下，请你将这个小组同学的探究过程补充完整. 23 (1)如图①，在△ ABC 和△ DEF 中， AB ＝ DE ， AC ＝ DF ， ∠ B ＝∠ E ＝90°，根据 ，可以知道Rt△ ABC ≌Rt△ DEF . HL　 第一种情况：当∠ B 是直角时，△ ABC ≌△ DEF . 24 第二种情况：当∠ B 是钝角时，△ ABC ≌△ DEF . (2)如图②，在△ ABC 和△ DEF 中， AB ＝ DE ， AC ＝ DF ， ∠ B ＝∠ E ，且∠ B ，∠ E 都是钝角，求证：△ ABC ≌△ DEF . 25 (2)证明：如图，过点 A 作 AG ⊥ CB 交 CB 的延长线于点 G ，过点 D 作 DH ⊥ FE 交 FE 的延长线于点 H . 则∠ AGB ＝∠ DHE ＝90°， ∵∠ ABC ＝∠ DEF ，∴∠ ABG ＝∠ DEH ， 又∵ AB ＝ DE ，∴△ AGB ≌△ DHE (AAS)， ∴ AG ＝ DH . 又∵ AC ＝ DF ，∴Rt△ ACG ≌Rt△ DFH (HL)， ∴∠ C ＝∠ F . 又∵∠ ABC ＝∠ DEF ， AB ＝ DE ， ∴△ ABC ≌△ DEF (AAS). 26 第三种情况：当∠ B 是锐角时，△ ABC 和△ DEF 不一定全等. (3)在△ ABC 和△ DEF 中， AB ＝ DE ， AC ＝ DF ，∠ B ＝∠ E ，且∠ B ，∠ E 都是锐角，请你用尺规在图③中作出△ DEF ，使△ DEF 和△ ABC 不全等.(不写作法，保留作图痕迹) (3)解：如图，△ DEF 即为所求. 27 (4)在(3)中，∠ B 与∠ C 的大小关系还要满足什么条件，就可以使△ ABC ≌ △ DEF ？请根据以上作图过程直接写出结论. (4)解：∠ B ≥∠ C . 28 题型剖析 题型五：全等三角形的判定与性质综合 【例5】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F, 求证：∠DEC=∠FEC. A B C D F E G 【分析】 欲证∠DEC=∠FEC 由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE 只需要证明△DEG ≌ △DCG. A B C D F E G 证明： ∵CE⊥AD, ∴ ∠AGE=∠AGC=90 °. 在△AGE和△AGC中， ∠AGE=∠AGC， AG=AG， ∠EAG=∠CAG， ∴ △AGE ≌ △AGC(ASA)， ∴ GE =GC. 在△DGE和△DGC中， EG=CG， ∠ EGD= ∠ CGD=90 °， DG=DG. ∴ △DGE ≌ △DGC(SAS). ∴ ∠DEG = ∠ DCG. ∵EF//BC, ∴ ∠FEC= ∠ECD， ∴ ∠DEG = ∠ FEC. 30 【变式5-1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. (1)求证：AD=FC； 解：(1)证明:∵AD∥BC, ∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE. ∵E是CD的中点，∴DE=CE. 在△ADE和△FCE中,           ∴△ADE≌△FCE(AAS). ∴AD=FC. B E A F C D 31 (2)求证：AB=BC+AD； (2)证明：∵△ADE≌△FCE, ∴AE=FE，AD=FC. ∵BE⊥AF， ∴∠AEB=∠FEB=90°. 在△AEB和△FEB中,           ∴△AEB≌△FEB(SAS). ∴AB=FB=BC+FC=BC+AD. B E A F C D 32 (3)若∠ABC=50°，求∠F的度数. (3)∵△AEB≌△FEB, ∴∠BAF=∠BFA. ∴∠F=  =   =65°. B E A F C D 33 题型剖析 题型六：全等模型之平移模型 【例6】如图，点 B ， E ， C ， F 在同一条直线上，已知 AB ＝ DE ，∠ A ＝∠ D ，添加下列条件中的一个：① AC ＝ DF ；② BC ＝ EF ；③∠ ABC ＝∠ DEF ；④∠ ACB ＝∠ F . 其中不能确定△ ABC ≌△ DEF 的是(　B　) A. ① B. ② C. ③ D. ④ B 【变式6-1】 如图，点 A ， D ， B ， E 在一条直线上， AD ＝ BE ， AC ＝ DF ， AC ∥ DF . 求证： BC ＝ EF . 证明：∵ AD ＝ BE ， ∴ AD ＋ DB ＝ BE ＋ DB ，即 AB ＝ DE . ∵ AC ∥ DF ， ∴∠ A ＝∠ EDF . ∵ AC ＝ DF ， ∴△ ABC ≌△ DEF (SAS).∴ BC ＝ EF . 35 题型剖析 题型七：全等模型之对称模型 【例7】如图，点 D ， E 分别是 AB ， AC 的中点， BE ， CD 相交于点 O ，∠ B ＝∠ C ， BD ＝ CE . 求证：(1) OD ＝ OE ； 证明：(1)∵∠ B ＝∠ C ， ∠ DOB ＝∠ EOC ， BD ＝ CE ， ∴△ DOB ≌△ EOC (AAS). ∴ OD ＝ OE . (2)△ ABE ≌△ ACD . 证明：(2)∵ D ， E 分别是 AB ， AC的中点， ∴ AB ＝2 BD ， AC ＝2 CE ， AD ＝ BD ， AE ＝ EC . 又∵ BD ＝ CE ， ∴ AB ＝ AC ， AD ＝ AE . 如图，点 D ， E 分别是 AB ， AC 的中点， BE ， CD 相交 于点 O ，∠ B ＝∠ C ， BD ＝ CE . 求证： ∵∠ A ＝∠ A ，∴△ ABE ≌△ ACD (SAS). 37 题型剖析 题型八：全等模型之旋转模型 【例8】【基本模型】(1)如图①，四边形 ABCD 是正方形，∠ EAF ＝45°，当 E 在 BC 边上， F 在 CD 边上时，请你探究 BE ， DF 与 EF 之间的数量关系，并证明你的结论. 解：(1) EF ＝ BE ＋ DF . 证明：如图①，将△ ADF 绕点 A 顺时针旋转，使 AD 与 AB 重合，得到△ABF'， ∴ AF ＝ AF '，∠ DAF ＝∠ BAF '， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ BAD ＝90°. ∵∠ EAF ＝45°，∴∠ DAF ＋∠ BAE ＝45°. ∴∠BAF'＋∠ BAE ＝45°. ∴∠EAF'＝∠ EAF ＝45°. 又∵ AE ＝ AE ，∴△ AEF ≌△AEF'(SAS). ∴ EF ＝EF'. ∵EF'＝ BE ＋BF'＝ BE ＋ DF ， ∴ EF ＝ BE ＋ DF . 39 【模型运用】(2)如图②，四边形 ABCD 是正方形，∠ EAF ＝45°，当 E 在 BC 的延长线上， F 在 CD 的延长线上时，请你探究 BE ， DF 与 EF 之间的数量关系，并证明你的结论. 40 证明：如图②，将△ ADF 绕点 A 顺时针旋转，使 AD 与 AB 重合， 得到△ABF'， ∴ AF ＝ AF '，∠ DAF ＝∠ BAF '， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ BAD ＝90°. ∵∠ EAF ＝45°，∴∠ DAF ＋∠ DAE ＝45°. ∴∠BAF'＋∠ DAE ＝45°. ∴∠EAF'＝∠ EAF ＝45°. 又∵ AE ＝ AE ，∴△ AEF ≌△AEF'(SAS). ∴ EF ＝EF'. ∵EF'＝ BE －BF'＝ BE － DF ， ∴ EF ＝ BE － DF . 41 题型剖析 题型九：全等模型之倍长中线模型 【例9】(1)方法呈现：如图1，在 中，若，，D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法： 延长AD至点E，使DE=AD，再连接 ，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 （直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为“倍长中线法”． B A C E D 解：(1)由题意，AD=DE，BD=CD，∠ADC=∠EDB， ∴△ACD≌△EBD， ∴BE=AC=6， ∴AB-AC<2AD=AE<AB+AC， 即：4<2AD<16， ∴2<AD<8． 图1 （2）知识运用：如图2，在中，D为的中点，，，且线段的长度为整数．求的长度． 解：（2）如图，延长至点E，使，连接   因为D为的中点，所以 在和中， ， 所以， 因为，且，， 所以， 所以． 因为线段的长度为整数， 所以． C A B E D 图2 43 题型剖析 题型十：全等模型之手拉手模型 【例10】问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为__________；位置关系为_____________． F B E A C D 解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示： ∵， ∴ 又∵, ∴（SAS）， ∴， ∵∠， ∴， ∴ ∴，∴， 拓展探究：如图2，把Rt△ACD绕点C逆时针旋转，线段AE、BD交于点F，则AE与BD之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴△ACE≅△DCB（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴BD⊥AE， 即，依然成立． B E A C D F 45 题型剖析 题型十一：全等模型之一线三等角模型 【例11】已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； A D m B C E 图1 图2 A D m B C E (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； （1）证明：如图2， ∵BD⊥m，CE⊥m ∴∠BDA=∠CEA=90°， ∴∠ABD+∠DAB=90°． ∵∠BAC=90°， ∴∠DAB+∠CAE=90°， ∴∠ABD=∠CAE． 在△ABD和△CAE中，， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴AD=CE，BD=AE ∵DE=AE-AD， ∴DE=BD-CE． 图2 A D m B C E 47 (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 解：(2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，BD、DE、CE存在3种不同的数量关系：DE=BD+CE，DE=BD-CE，DE=CE-BD． 如图1时，DE=BD+CE， 如图2时，DE=BD-CE， 如图3时，DE=CE-BD，（证明同理） A D m B C E 图1 图2 A D m B C E A D m B C E 图3 48 (3)如果“条件中”的“BD⊥直线m，CE⊥直线m , AB⊥AC”改为“∠BDA=∠AEC=∠BAC”, 其他条件不变，请问△BDA与△AEC还全等吗？请说明理由． B A C E m D 解：△BDA≌△AEC；理由如下： ∵∠B+∠BDA+∠DAB=∠DAB+∠BAC+∠CAE=180°， 又∵∠BDA=∠AEC=∠BAC ， ∴∠B=∠CAE， ∵在△ BDA和△ AEC中 ∴△ BDA ≌△ AEC(AAS )． 49 【变式11-1】 如图，点B、C、E在同一条直线上，∠B＝∠E＝60°,∠ACF＝60°,且AB＝CE. 求证：AC＝CF. 证明：∵ 点B、C、E在同一条直线上，∠ACF＝60°， ∴ ∠ACB＋∠ECF＝120°. ∵ △ABC的内角和为180°，∠B＝60°， ∴ ∠ACB＋∠BAC＝120°. ∴ ∠BAC＝∠ECF. 在△ABC和△CEF中， ∴ △ABC≌△CEF(ASA)． ∴ AC＝CF. B A C E F 50 题型剖析 题型十二：全等模型之截长补短法 【例12】已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E. 求证：AB=AC+BD. 方法一：截长法 如图，在AB上截取AF=AC，连接EF. 然后证明△AEC≌ △AEF， △BED≌ △BEF. E C A B D F E C A B D F 方法二：补短法 延长BE，与AC的延长线相交于点F.然后证明△BED≌ △FEC， △AEF≌ △AEB. 【例12】已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E. 求证：AB=AC+BD. 52 【变式12-1】 如图，BA⊥AD，CD⊥AD，垂足分别为A、D，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，交点 E恰好在AD上． (1) BC＝AB＋CD成立吗？为什么？ F 解：成立　 如图，过点E作EF⊥BC，垂足为F. ∴ ∠BFE＝90°. ∵ BA⊥AD， ∴ ∠A＝90°. ∴ ∠A＝∠BFE. ∵ BE平分∠ABC， ∴ ∠ABE＝∠FBE. E C A B D 在△ABE和△FBE中， ∴△ABE≌△FBE(AAS)． ∴ AB＝FB.同理，CD＝CF. ∴ BC＝FB＋CF＝AB＋CD. 53 题型剖析 题型十三：全等三角形的动点问题 【例13】如图，，于点，于点，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，，两点同时出发，运动( )分钟后，与全等. A．2 B．3 C．4 D．8 C A B Q D P 解：当时，， ∴， P的运动时间是：（分钟）， Q的运动时间是：（分钟）， ∴当分钟时，两个三角形全等； 当时，， =6， ∴P运动的时间是：（分钟）， Q运动的时间是：（分钟）， 故不能成立． 综上，运动4分钟后，与全等. C 【变式13-1】 如图，在四边形 ABCD 中，∠ DAB ＝∠ ABC ， AB ＝5 cm， AD ＝ BC ＝3 cm，点 E 在线段 AB 上以1 cm/s的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 F 在线段 BC 上由点 B 向点 C 运动，设运动时间为 t (s)，当△ ADE 与以 B ， E ， F 为顶点的三角形全等时，求点F 的运动速度. 55 解：设点 F 的运动速度为 x cm/s， 由题意可得 AE ＝ t cm， BE ＝(5－ t ) cm， BF ＝ xt cm， ∵∠ DAB ＝∠ ABC ， ∴△ ADE 与以 B ， E ， F 为顶点的三角形全等时可分为两种情况： ①当△ ADE ≌△ BEF 时， AE ＝ BF ， ∴ t ＝ xt ，∴ x ＝1， ∴此时点 F 的运动速度为1 cm/s. ②当△ ADE ≌△ BFE 时， AE ＝ BE ， AD ＝ BF ＝3 cm， ∴ t ＝5－ t ， xt ＝3，∴ t ＝ ， x ＝ ， ∴此时点 F 的运动速度为 cm/s. 综上所述，点 F 的运动速度为1 cm/s或 cm/s. 56 易错易混 易错点一：数全等三角形个数有遗漏 1.如图,CD⊥AB 于点 D,BE ⊥AC 于点E， BE 、CD 交于点 0,且 A0 平分∠BAC, (1)求证:0B=0C(2)图中有哪几对全等三角形? (1)证明: CD⊥AB,BE⊥AC, AO 平分∠BAC,∴OD=OE,∠BDO=∠CEO=90° 在△BOD和△COE中， ∴△BOD≌△COE(ASA) ∴0B=0C 正解:(2)全等三角形有4对,分别是:△AOD≌△AOE.△BOD≌ △COE,△AOB≌ △AOC,△ABE≌ △ACD. 如图,不妨给各小三角形标上号,先看单个的全等的三角形:和②,③和④;再看两个小三角形的组合:①③组合和②4组合;然后看三个小三角形的组合:②③组合和➁④组合 58 易错易混 易错点二：全等三角形的判定条件混乱 2、如图，已知AC⊥BD于点P，AP=CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)． A B C D P (1)若以“SAS”为依据，则可添加条件___________; (2)若以“HL”为依据，则可添加条件___________ ; (3)若以“ASA”为依据，则可添加条件__________ ; (4)若以“AAS”为依据，则可添加条件___________． BP=DP AB=CD ∠A=∠C ∠B=∠D 易错易混 易错点三：忘记添加辅助线，导致证不出全等 3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，若CD=10，则点D到AB的距离是( ____ ) A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】解：如图，作DH⊥AB于H． _____ C ∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D， ∴CD=DH(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)， ∵CD=10，∴DH=10，即点D到AB的距离是10． 故选：C． 易错易混 易错点四：尺规作图 4、如图，已知△ABC. (1)用直尺和圆规作出△ABC的角平分线CD;(不写作法,但保留作图痕迹) (2)过点D画出△ACD的高DE和△BCD的高DF; (3)量出DE、DF的长度,你有怎样的发现? 把你的发现用文字语言表达出来. A B C 解:(1)△ABC的角平分线AD如图所示. (2)线段DE,DF如图所示. (3)测量发现:DE=DF. 用文字语言表述如下:角平分线上的点到角两边的距离相等. A B C D E F 62 易错易混 易错点五：分类讨论时会遗漏情况 5、如图，△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝6 cm， BC ＝8 cm.点 P 从 A 点出发沿 A → C → B 路径向终点运动，终点为 B 点；点 Q 从 B 点出发沿 B → C → A 路径向终点运动，终点为 A 点.点 P 和 Q 分别以每秒1 cm和3 cm的运动速度同时开始运动，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，在某时刻，分别过 P 和 Q 作 PE ⊥ l 于 E ， QF ⊥ l 于 F . 设运动时间为 t s，则当 t ＝ 时，△ PEC 与△ QFC 全等. 1或 　 点拨：分以下情况：①如图①， P 在 AC 上， Q 在 BC 上， ∵ PE ⊥ l ， QF ⊥ l ，∴∠ PEC ＝∠ QFC ＝90°. 又∵∠ ACB ＝90°， ∴∠ EPC ＋∠ PCE ＝∠ PCE ＋∠ QCF ＝90°， ∴∠ EPC ＝∠ QCF . ∴当 PC ＝ CQ 时，△ PEC 与△ QFC 全等， 此时6－ t ＝8－3 t ，解得 t ＝1. ②如图②， P 在 BC 上， Q 在 AC 上， 易知当 PC ＝ CQ 时，△ PEC 与△ QFC 全等. 此时 t －6＝3 t －8，∴ t ＝1. ∵ t －6＜0，∴此种情况不符合题意. 64 ③当 P ， Q 都在 AC 上时，如图③， 易知当 PC ＝ CQ 时，△ PEC 与△ QFC 全等. 此时6－ t ＝3 t －8，∴ t ＝ . ④当 Q 到达 A 点停止时， P 在 AC 上，此时△ PEC 与 △ QFC 不可能全等，故答案为1或 . 65 押题预测 66 67 68 69 70 感谢您的观看 Thank you 71 1．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在 中， ， 是延长线上的点， ， 于 ，交于点 ，若 ， ，则 的长为（    ） A． B． C．1 D． 【详解】解：∵ ，点 是CB延长线上一点，∴ ，∴ ， ∵ ，即 ，∴ ， ∵ ，∴ ，且 ，∴ ， ∴ ， ， ∴ ，故选：A ． 2．（23-24八年级上·江苏南通·期中）如图，在 中， 的平分线交 于点 于点 ，若 与 的周长分别为13和3，则 的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D．5 【详解】解：由题意知， ， ， 又∵ ，∴ ，∴ ， ， 由题意知 ， ， ∴ ，解得 ， 故选：D． 3．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图， ， ，要证 ，只需再补充一个条件： （写一个即可）． 【详解】解：∵ ，∴ ，即 ， ∵ ，∴当 时， ， 当 时， ， 当 时， ． 故答案为： （答案不唯一） 4．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）如图，两根旗杆间相距12米，某人从点B沿 走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为 ，且 ．已知旗杆 的高为9米，该人的运动速度为1米/秒，则这个人运动到点M所用时间是 秒． 【详解】解：∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ，∴ 米， （米）， ∵该人的运动速度 米/秒，他到达点M时，运动时间为 （秒）． 故答案为：3． 5．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，点C在 上， ， ， ， ．    (1)求证： ； (2)请写出线段 、 、 之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）∵ ， ， ，∴ ， ∴ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ． （2） 由（1）可知， ∴ ， ，∴ ． $$