专题01 全等三角形（考题猜想，易错必刷48题16种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题01 全等三角形（易错必刷48题16种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 全等图形 题型二 全等三角形的性质 题型三 用SSS证明三角形全等 题型四 全等的性质和SSS综合 题型五 用SAS证明三角形全等 题型六 全等的性质和SAS综合 题型七 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型八 全等的性质和ASA（AAS）综合 题型九 用HL证明三角形全等 题型十 全等的性质和HL综合 题型十一 尺规作图 题型十二 添加条件使三角形全等 题型十三 倍长中线模型 题型十四 一线三等角模型 题型十五 旋转模型 题型十六 全等三角形综合问题 一．全等图形（共3小题） 1．下列说法：①全等图形的面积相等；②全等图形的形状相同；③全等图形的对应边相等；④全等图形的对应角相等．其中正确的说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，四边形与四边形是全等四边形，若，，，则 ． 3．如图，请沿图中的虚线，用三种不同的方法将下列图形分割为两个全等图形． 二．全等三角形的性质（共3小题） 1．如图，，若，，，与交于点F，则的度数为（   ）度 A．75 B．80 C．60 D．70 2．如果，，，，则 ． 3．如图，已知． (1)若，则______°； (2)若的周长为20，，则的长为______； (3)若的面积为6，则的面积为______． 三．用SSS证明三角形全等（共3小题） 1．如图，以点为圆心，画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，连接，则，判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，要使，还需添加一个条件，你添加的条件是 （只需写一个，不添加辅助线）． 3．如图，点E，C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 四．全等的性质和SSS综合（共3小题） 1．如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，平面上有与，其中与相交于点P，若，，，，，则的度数为 ． 3．如图，是的边上的中线，是上一点，延长到点，使．连接．是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 五．用SAS证明三角形全等（共3小题） 1．如图，在与中，，则可判定的根据是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ． 3．如图所示，已知，请你添加一个条件，证明：． (1)你添加的条件是______； (2)请写出证明过程． 六．全等的性质和SAS综合（共3小题） 1．如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．18 2．如图，中，是延长线上一点，，过点作且，连接并延长，分别交，点，．若，，则的度数为 ° 3．如图，，，． (1)试说明； (2)若，，求的度数及的长． 七．用ASA（AAS）证明三角形全等（共3小题） 1．如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（    ）      A．8 B．6 C．4 D．2 2．如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点再画出的垂线，使点与A，C在一条直线上，若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m． 3．如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为O． (1)若为的中点，求证：； (2)若平分，求的度数． 八．全等的性质和ASA（AAS）综合（共3小题） 1．如图，四边形是长方形，，垂足为，且，交于点，连接．若，，则的面积为（   ） A．24 B．20 C．16 D．12 2．在中，，是边的中点，是边上一点，过点作，交的延长线于点，若，，则的长 ． 3．如图，在和中，，点E是的中点，于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 九．用HL证明三角形全等（共3小题） 1．如图，用三角尺可以画角平分线：在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，画射线．可以得到，所以，那么射线就是的平分线．的依据是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，，，，，点和点同时从点出发，分别在线段和射线上运动，且，当 时，以点，，为顶点的三角形与全等． 3．【阅读材料】学习了三角形全等的判定方法后， 聪聪同学继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 聪聪将命题用符号语言表示为 在和中， ， ， ． 【分类讨论】聪聪想： 要想解决问题，应该对进行分类研究．将分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【解决问题】 (1)如图1， 当是直角时，在和中，，，， 则 (依据∶ ) ； AI   (2)如图2， 当是锐角时，， ，在射线上有点， 使 ，画出符合条件的点 ，则和的关系是（    ） AI   A．全等                   B．不全等               C．不一定全等 (3)如图， 当是钝角时， 在和中，，， ；我们可以过点作交的延长线于点 ， 过点作交 的延长线于点 ，如图，可以证得，请你证明． 一十．全等的性质和HL综合（共3小题） 1．如图，在中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知于点A，于点B，且，，，则 ． 3．如图，平分，，交的延长线于点F，在上有一点M，且， (1)若，，求的长． (2)试说明与的关系． 一十一．尺规作图（共3小题） 1．已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是( ) A．， B．， C．，， D．，， 2．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出的依据是 ．（填） 3．【教材呈现】如图是华师版八年级上册65页的部分内容. 做一做 如图13.2.7，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形. 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? 【探究问题】如图，，请你用圆规在 的另一边找到点 ，使，这样的点 有______个，说明符合条件的三角形有______种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形________全等． 【拓展思考】如图，已知 ，若且 ，，那么 一定是______三角形（从“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”三个答案选择）． 一十二．添加条件使三角形全等（共3小题） 1．如图，已知于点 D，E 为线段上一点，现有四个条件：①； ②；③；④，那么不能得出的条件组合是（    ） A．①③ B．②④ C．③④ D．②③ 2．如图，线段与相交于点O，连接，且，要使，应添加一个条件是 （只填一个即可）． 3．如图，中，，垂足分别为． (1)能证明和全等吗？为什么？ (2)若不能证明和全等，在不增加辅助线的情况下，请添加一个适当的条件，使这两个三角形全等，这个条件是______，写出证明过程． 一十三．倍长中线模型（共3小题） 1．在中，，中线，则边的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．如图，是的中线，，，则的取值范围是 ． 3．佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)为什么？写出推理过程； (2)求出的取值范围； (3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：． 一十四．一线三等角模型（共3小题） 1．如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 2．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 3．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 一十五．旋转模型（共3小题） 1．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是（  ） A． B． C． D． 2．如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有 ．并写出3对全等三角形 ．    3．综合与实践 特例研究： 将矩形和按如图1放置，已知，连接．    如图1，当点在上时，线段与之间的数量关系是__ ；直线与直线之间的位置关系是_ ； 拓广探索： 图2是由图1中的矩形绕点顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由．    一十六．全等三角形综合问题（共3小题） 1．如图，已知在四边形内，，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，，平分，，交延长线于点F，且垂足为点 E，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．(填写序号) 3．（1）【旧题重现】《学习与评价》有这样一道习题： 如图①，、分别是和的、边上的中线，，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）【深入研究】 如图②，、分别是和的、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题01 全等三角形（易错必刷48题16种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 全等图形 题型二 全等三角形的性质 题型三 用SSS证明三角形全等 题型四 全等的性质和SSS综合 题型五 用SAS证明三角形全等 题型六 全等的性质和SAS综合 题型七 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型八 全等的性质和ASA（AAS）综合 题型九 用HL证明三角形全等 题型十 全等的性质和HL综合 题型十一 尺规作图 题型十二 添加条件使三角形全等 题型十三 倍长中线模型 题型十四 一线三等角模型 题型十五 旋转模型 题型十六 全等三角形综合问题 一．全等图形（共3小题） 1．下列说法：①全等图形的面积相等；②全等图形的形状相同；③全等图形的对应边相等；④全等图形的对应角相等．其中正确的说法的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的性质，熟练掌握全等图形的性质是解答本题的关键．全等图形的对应角相等，对应边相等．对应边的对角是对应角，对应角的对边是对应边． 【详解】解：①全等图形的面积相等，说法正确； ②全等图形的形状相同，说法正确； ③全等图形的对应边相等，说法正确； ④全等图形的对应角相等，说法正确； 综上分析可知，正确的说法的个数是4个． 故选：D． 2．如图，四边形与四边形是全等四边形，若，，，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了全等多边形的性质和四边形的内角和，先根据全等图形的性质求得和，再由四边形的内角和求得即可． 【详解】解：∵全等多边形的对应边和对应角相等， ∴，， 又∵四边形的内角和为， ∴， 故答案为：； 3．如图，请沿图中的虚线，用三种不同的方法将下列图形分割为两个全等图形． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的定义是解题关键．直接利用图形形状分成全等的两部分即可． 【详解】如图所示： 二．全等三角形的性质（共3小题） 1．如图，，若，，，与交于点F，则的度数为（   ）度 A．75 B．80 C．60 D．70 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理．利用全等三角形的性质结合三角形的内角和定理求得，根据比例分配求得，再根据三角形的内角和定理结合对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 故选：B． 2．如果，，，，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：7． 3．如图，已知． (1)若，则______°； (2)若的周长为20，，则的长为______； (3)若的面积为6，则的面积为______． 【答案】(1)50； (2)7； (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为全等三角形的对应角相等，所以，再结合，即可作答． （2）因为全等三角形的对应边相等，所以，即可作答． （3）因为全等三角形的面积相等，所以，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ （2）解：∵的周长为20，， ∴ ∵ ∴ （3）解：∵ ∴ 三．用SSS证明三角形全等（共3小题） 1．如图，以点为圆心，画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线，连接，则，判定三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据题意可得和，结合即可利用证明． 【详解】解：∵以点为圆心，画弧，分别交于点， ∴， ∵以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．如图，已知，要使，还需添加一个条件，你添加的条件是 （只需写一个，不添加辅助线）． 【答案】（或） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解此题的关键．熟记全等三角形的判定方法有：，，，．由已知，及公共边，可知要使，已经具备了两个条件了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①，②．所以可添或． 【详解】解：答案不唯一． ①． 在和中， ， ； ②． 在和中， ， ． 故答案为：（或）． 3．如图，点E，C在线段上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理,解题的关键是熟练运用全等三角形的判定． （1）首先根据可得，即可判定； （2）首先根据（1）中两三角形全等，可得，在中根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ． （2）解：，，， ， ． 四．全等的性质和SSS综合（共3小题） 1．如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，基本作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据作图过程可得，，利用证明，即可得出结果． 【详解】解∶由作图过程可得，， ∴， ∴， 故选∶A． 2．如图，平面上有与，其中与相交于点P，若，，，，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．先证明，得出，，证明，根据，，得出，再求出结果即可． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，是的边上的中线，是上一点，延长到点，使．连接．是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）先由中点得出，再运用证明，即可作答． （2）由（1）知．运用线段关系得，再证明，即可作答． 【详解】（1）证明： 是的中线， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知． 在和中， 五．用SAS证明三角形全等（共3小题） 1．如图，在与中，，则可判定的根据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据题目所给条件结合全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：在和中， ∵， ∴． 故选B． 2．如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据“”添加条件即可． 【详解】解：需添加的条件为：；理由如下： 在与中， ， ∴（）； 故答案为：． 3．如图所示，已知，请你添加一个条件，证明：． (1)你添加的条件是______； (2)请写出证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见详解 【分析】本题主要考查了添加条件使三角形全等并证明， （1）根据，这两个条件，结合全等三角形的判定方法写出第三个条件即可． （2）利用证明即可． 【详解】（1）解：添加， （2）证明：在和中， ， ∴ 六．全等的性质和SAS综合（共3小题） 1．如图，已知的面积为32，平分，且于点P，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．延长交于E，根据已知条件证得，根据全等三角形性质得到，得出，推出． 【详解】解：延长交于E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选B． 2．如图，中，是延长线上一点，，过点作且，连接并延长，分别交，点，．若，，则的度数为 ° 【答案】80 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质．根据，可得，再利用证得；根据三角形外角的性质可得，再由，可得，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：80． 3．如图，，，． (1)试说明； (2)若，，求的度数及的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）先证明，再利用即可证明； （2）直接根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵， ∴． 七．用ASA（AAS）证明三角形全等（共3小题） 1．如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（    ）      A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果． 【详解】解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 故选：C． 2．如图，要测量池塘两岸M、N两点间的距离，可以在直线上取A，B两点，再在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，过点再画出的垂线，使点与A，C在一条直线上，若此时测得，，，则池塘两岸M，N两点间的距离为 m． 【答案】14 【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键．由垂线的定义可得出，结合，，即可证出，利用全等三角形的性质可得出． 【详解】解：， ． 在和中， ∴， ， ， ， 故答案为：14． 3．如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为O． (1)若为的中点，求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平移的性质和全等三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，掌握平移性质是解答的关键． （1）根据平移性质得到，从而得到，再根据为的中点，得到，从而证明结论； （2）根据平分，得到，从而证明．再根据三角形内角和定理以及，即可求解． 【详解】（1）证明：∵由沿射线的方向平移所得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴． ∵， ∴． 八．全等的性质和ASA（AAS）综合（共3小题） 1．如图，四边形是长方形，，垂足为，且，交于点，连接．若，，则的面积为（   ） A．24 B．20 C．16 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线构造全等三角形．过点作，交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如下图， ∵四边形是长方形，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴． 故选：D． 2．在中，，是边的中点，是边上一点，过点作，交的延长线于点，若，，则的长 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．根据可证明，得出，则可求出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，在和中，，点E是的中点，于点F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、余角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明，再根据全等三角形的判定定理可得结论； （2）根据全等三角形的性质得得，，结合线段中点定义可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中， , ∴； （2）解：由（1）得：， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 九．用HL证明三角形全等（共3小题） 1．如图，用三角尺可以画角平分线：在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，画射线．可以得到，所以，那么射线就是的平分线．的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，根据直角三角形全等的判定定理，可证，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【详解】由题意知，，， 在和中， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，，，，，点和点同时从点出发，分别在线段和射线上运动，且，当 时，以点，，为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法，分两种情况：①当时；②当时；由证明即可得出结果，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 分两种情况：①当时， 在和中， ， ∴； ②当时， 在和中， ， ∴； 综上，当点运动到或时，与全等， 故答案为：或． 3．【阅读材料】学习了三角形全等的判定方法后， 聪聪同学继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 聪聪将命题用符号语言表示为 在和中， ， ， ． 【分类讨论】聪聪想： 要想解决问题，应该对进行分类研究．将分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【解决问题】 (1)如图1， 当是直角时，在和中，，，， 则 (依据∶ ) ； AI   (2)如图2， 当是锐角时，， ，在射线上有点， 使 ，画出符合条件的点 ，则和的关系是（    ） AI   A．全等                   B．不全等               C．不一定全等 (3)如图， 当是钝角时， 在和中，，， ；我们可以过点作交的延长线于点 ， 过点作交 的延长线于点 ，如图，可以证得，请你证明． 【答案】(1) (2)C (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质； （1）通过即可证明. （2）以为圆心，长为半径画弧，交射线于、；则，，和不全等；所以不一定全等. （3）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，先证明，得出，再证明，得出，再由即可证出． 【详解】（1）解：（依据：HL） （2）选择C 理由：以为圆心，长为半径画弧，交射线于、；则，，和不全等；所以不一定全等. （3）证明：如图，过点作交的延长线于点， 过点作交的延长线于点， 于点，于点， ， ， ， 即， 在和中，， ， 在和中，， ， 在和中，， ． 一十．全等的性质和HL综合（共3小题） 1．如图，在中，，，平分，交于点，于点，且，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的性质与判定，熟记性质并准确识图是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出的周长． 【详解】解：平分，，， ， 在和中， ， ， ， 的周长， ， ， ， ， ， ， 的周长为． 故选：B 2．如图，已知于点A，于点B，且，，，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键．由“”可证，可得，由外角可求解． 【详解】解：于，于， ， ，， ， ， ， 故答案为： 3．如图，平分，，交的延长线于点F，在上有一点M，且， (1)若，，求的长． (2)试说明与的关系． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，全等三角形对应角相等，对应边相等． （1）根据角平分线的性质得出，通过证明，得出，通过证明，得出，再进行分类讨论：当点M在点E左边时，当点M在点E右边时； （2）根据全等的性质得出，，再进行分类讨论即可：当点M在点E右边时，当点M在点E左边时，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 当点M在点E左边时，， 当点M在点E右边时，， 综上：或． （2）解：由（1）可得， ∴，， 当点M在点E右边时，∵， ∴，即； 当点M在点E左边时，∵，， ∴， 综上：或． 一十一．尺规作图（共3小题） 1．已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是( ) A．， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据证明三角形全等即可． 本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 【详解】解：由作图可知，，，， 在和中， ， 故选：D． 2．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出的依据是 ．（填） 【答案】 【分析】由作法得，，，得到三角形全等，由全等三角形的对应角相等可知．本题主要考查了全等三角形的判定和基本作图，关键是掌握全等三角形的判定定理． 【详解】解：连接， 由作法得，，， 依据可判定， ∴． 故答案为：． 3．【教材呈现】如图是华师版八年级上册65页的部分内容. 做一做 如图13.2.7，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形. 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? 【探究问题】如图，，请你用圆规在 的另一边找到点 ，使，这样的点 有______个，说明符合条件的三角形有______种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形________全等． 【拓展思考】如图，已知 ，若且 ，，那么 一定是______三角形（从“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”三个答案选择）． 【答案】2；2；不一定；钝角 【分析】本题考查全等三角形的判定方法； （1）根据全等三角形的几种判定方法解答即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】这样的点C有2个，说明符合条件的三角形有2种：我们可以发现，此时（即“边边角"对应相等）两个三角形不一定全等 【拓展思考】∵是钝角三角形， ∴一定是钝角三角形 一十二．添加条件使三角形全等（共3小题） 1．如图，已知于点 D，E 为线段上一点，现有四个条件：①； ②；③；④，那么不能得出的条件组合是（    ） A．①③ B．②④ C．③④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 推出根据推出两三角形全等，即可判断A、B，根据即可判断C，根据不能判断两三角形全等． 【详解】解：A、∵， ∴， 在和中， ∴，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， 在和中， ∴，故本选项不符合题意； 在和中， ， 故本选项不符合题意； D、根据三个角对应相等，不能判断两三角形全等， 故本选项符合题意； 故选：D． 2．如图，线段与相交于点O，连接，且，要使，应添加一个条件是 （只填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．观察图形可知：已有一角一边对应相等．根据三角形全等的判定方法解答． 【详解】解：添加条件， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 3．如图，中，，垂足分别为． (1)能证明和全等吗？为什么？ (2)若不能证明和全等，在不增加辅助线的情况下，请添加一个适当的条件，使这两个三角形全等，这个条件是______，写出证明过程． 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定： （1）根据无法得到三角形全等，进行判断即可； （2）添加条件，利用证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：不能证明；利用如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵无法得到三角形全等， 故不能证明； （2）添加条件为：， 在和中： ， ∴． 一十三．倍长中线模型（共3小题） 1．在中，，中线，则边的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．延长至点E，使，证明，推出，利用三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：如图，延长至点E，使． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在中， ，即． 故选：C． 2．如图，是的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型—倍长中线模型及三角形三边关系的应用　，熟记模型的构成及结论是解题关键． 【详解】解：如图，延长至H，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．佳佳同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围．她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： (1)为什么？写出推理过程； (2)求出的取值范围； (3)如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3）延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，可得． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使，且， ∴． （2）解：由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴． （3）证明：如图，延长至，使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中线的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 一十四．一线三等角模型（共3小题） 1．如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 2．如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可． 【详解】解：过点作交延长线于点， 则∠DMC=90°=∠ABC， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故填． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键． 3．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到； （2）同（1）利用可证明，根据即可得到； （3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度； 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得： ∴，， 即：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键． 一十五．旋转模型（共3小题） 1．如图，在等边中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出OC=6，根据等边三角形的性质得∠A=∠C=60°，再根据旋转的性质得OD=OP，∠POD=60°，根据三角形内角和和平角定义得∠1＋∠2＋∠A=180°，∠1＋∠3＋∠POD=180°，利用等量代换可得∠2=∠3，然后根据“AAS”判断△AOP≌△CDO，则AP=CO=6． 【详解】解:如图， 为等边三角形， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段，要使点恰好落在上， ， ， ， ， 在和中 故选： 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质． 2．如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有 ．并写出3对全等三角形 ．    【答案】 ①②③⑤ △ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ 【分析】①可证明△ACD≌△BCE,从而得出AD=BE； ②可通过证明△BCQ≌△ACP，从而可证明△PCQ为等边三角形，再根据内错角相等两直线平行可证明PQ∥AE． ③由②中△BCQ≌△ACP，可证AP=BQ； ④通过证明△CDP≌△CEQ可得DP=EQ，又由图可知DE＞QE，从而④错误； ⑤通过三角形外角定理和前面△ACD≌△BCE可得该结论． 由前面的证明过程可得出三个全等三角形． 【详解】解：①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上， ∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120° ∴△ACD≌△BCE ∴AD=BE，故本选项正确； ②∵△ACD≌△BCE， ∴∠CBQ=∠CAP， 又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC， ∴△BCQ≌△ACP， ∴CQ=CP，又∠PCQ=60°， ∴△PCQ为等边三角形， ∴∠QPC=60°=∠ACB， ∴PQ∥AE，故本选项正确； ③由②△BCQ≌△ACP可得AP=BQ，故本选项正确； ④∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC=∠BEC， ∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°， ∴△CDP≌△CEQ（ASA）． ∴DP=EQ， ∵DE＞QE ∴DE＞DP，故本选项错误； ⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，故本选项正确； ∴正确的有：①②③⑤． 由上面证明过程可知△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ． 故答案为：①②③⑤；△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定定理，并能依据等边三角形三边相等，三角相等都是60°的特征判断三角形全等是解题关键． 3．综合与实践 特例研究： 将矩形和按如图1放置，已知，连接．    如图1，当点在上时，线段与之间的数量关系是__ ；直线与直线之间的位置关系是_ ； 拓广探索： 图2是由图1中的矩形绕点顺时针旋转一定角度得到的，请探索线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由．    【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】，延长交于点G先证△FBC≌△EDC（SAS），可知，由∠DCE=90º，可得∠DEC+∠CDE=90º，可推出∠FDG+∠GFD=90º即可， 先下结论，，再证明，证法与（1）类似，延长交于点交于点．由四边形为矩形且AD=CD可得，可推出．由知 ．由可用等量代换得由三角形内角和得即可． 【详解】解：， 延长交于点G， ∵四边形为矩形，且AD=DC， ∴BC=CD， =90º， 由旋转的FC=EC， ∴△FBC≌△EDC（SAS）， ， ∵∠DCE=90º， ∴∠DEC+∠CDE=90º， ∴∠FDG+∠GFD=90º ∠FGD=90º   ， ， 理由如下： 如答图，延长交于点交于点．   ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 矩形为正方形． ， 在和中， ． ． ． ． 【点睛】本题考查旋转中两线段的数量与位置关系问题，关键是把两线段置于两个三角形中利用全等解决问题，会利用旋转找全等条件，会计算角的和差，和证垂直的方法． 一十六．全等三角形综合问题（共3小题） 1．如图，已知在四边形内，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延长到点，使，连接，证明，即可得到，可得为等边三角形，再得到的角度，利用等腰三角形的性质得到，即可得到，作出正确的辅助线，构造全等三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，，平分，，交延长线于点F，且垂足为点 E，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ．(填写序号) 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先证明，进而可证明得到，则可判断①；根据角平分线的定义得到，则，据此可判断②；过点D作于H，证明，得到，根据，得到，据此可判断③；证明，得到，据此可判断④． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确． ∵平分， ∴． ∵， ∴，故②正确． 如图所示，过点D作于H，则， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 3．（1）【旧题重现】《学习与评价》有这样一道习题： 如图①，、分别是和的、边上的中线，，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）【深入研究】 如图②，、分别是和的、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等． 【答案】（1）见解析（2）和仍然全等，理由见解析 【分析】（1）根据中点可得，运用“边边边”可证，可得，在运用“边角边”可证； （2）延长至，使，连接，延长至，使，连接， 可得，，可证，同理可证，由此即可求证． 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握中点的运用，倍长中线的运用，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：（1）证明：是的中线， ， 分别是的中线， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：①；②；③；④； （2）解：和仍然全等，理由如下： 延长至，使，连接，延长至，使，连接， 和分别是和的和边上的中线， ，． 在和中， ， ， ，， 同理，， ， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， 又，， ∴． $$