专题01 全等三角形（5个考点清单+14种题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（苏科版）

专题01 全等三角形（5个考点清单+14种题型解读） 【清单01 全等图形】 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 【清单02 全等三角形】 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 1.对应顶点，对应边，对应角 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【清单03 全等三角形的性质】 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 【清单04 全等三角形的判定】 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.三角形证全等思路 【清单05 尺规作图】 一．作已知角的角平分线 二．过一点作已知线段的垂线 【考点题型一 全等图形】 【例1】下列叙述中错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．平移、翻折、旋转前后的图形全等 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．面积相等的图形叫做全等图形 B．周长相等的图形叫做全等图形 C．能完全重合的图形叫做全等图形 D．形状相同的图形叫做全等图形 【变式1-2】下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是 ． 【变式1-3】如图，四边形与四边形是全等四边形，若，，，则 ． 【变式1-4】把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形． 【考点题型二 全等三角形的性质】 【例2】如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，三点共线，三点共线，且，则长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2-2】如图，，，，，则 ． 【变式2-3】如图，，且，，，则 ． 【变式2-4】如图，已知，点在上，与相交于点．    (1)当，时，求线段的长； (2)已知，，求的度数． 【考点题型三 添加条件使三角形全等】 【例3】如图，和相交于O 点，，用“”证明还需满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，只添加一个条件，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，已知，点，，，在一条直线上，要使得，还要添加一个条件，这个条件可以是 （只需填写一个即可）． 【变式3-3】如下图，点 B，F，C，E 在同一直线上，，，要使，若以“”为 依据，还要添加条件 ． 【变式3-4】问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究与全等． 问题解决： (1)当选择①②作为已知条件时，与全等吗？ _________（填“全等”或“不全等”），依据是_________； (2)当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程． 【考点题型四 用SAS证明三角形全等】 【例4】已知：如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为　　秒时．和全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【变式4-1】如图，在中，为边的中点，，，延长至点，使得，则长度可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-2】如图，D，E是外两点，连接，有，．连接交于点F，则的度数为 ． 【变式4-3】如图，在中，D是边上一点，平分，在上截取，连结，已知，则线段的长是 ． 【变式4-4】如图所示，、是高，点P在的延长线上，，点Q在上，． (1)判断： ______（用“”、“”、“”填空）； (2)探究：与之间的关系； (3)若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论． 【考点题型五 用ASA（AAS）证明三角形全等】 【例5】如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在四边形中，，点在边上，分别平分，，则的长是（    ）      A．2 B．4 C．6 D．8 【变式5-2】如下图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为和，则F、E两点的高度差即的长为 m．    【变式5-3】如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ． 【变式5-4】（1）如图（1），在中，，，直线m经过点A，直线m于点D，直线m于点E．求证：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．    【考点题型六 用SSS证明三角形全等】 【例6】如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在和中，，，，，，与相交于点P，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-2】如图，在的上方有一点，连接，，，则的度数为 ．    【变式6-3】如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，，，，则 °． 【变式6-4】如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【考点题型七 用HL证明三角形全等】 【例7】在中，，是上的一点，且，过点作交于点．若，则（  ）    A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（    ）    A． B．6 C．9 D．12 【变式7-2】如图，中，，，，射线于点，点分别在线段和射线上运动，并始终保持．要使和全等，则的长为 ． 【变式7-3】如图所示，在中，，于点D，交于点E．若，，，，则的周长是 ． 【变式7-4】小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得（图中的点在同一平面内）．    (1)猜想此时与的位置关系，并说明理由； (2)求的长． 【考点题型八 尺规作图】 【例8】请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图（图②），要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】由三边分别相等判定三角形全等的结论，还可以得到用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法． 已知： 求作：，使 作图的步骤： ①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D； ②作射线，以为圆心， 长为半径画弧，交于点； ③以为圆心， 长为半径画弧，交前弧于点； ④过点作射线． 所以就是与相等的角． 在与中， ， ∴( )， ∴( )． 【变式8-3】用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明 （写出全等的简写）． 【变式8-4】人教版初中数学教科书八年级上册第39−40页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． （1）画； （2）在的同旁画，，，相交于； （3）即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在和中， 所以________． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是________．（填序号） ①；②；③；④ 【考点题型九 倍长中线模型】 【例9】如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，中，，，是边上的中线，若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【变式9-2】在中，，，点D是的中点，连接，设的长度为x，则x的取值范围是 ． 【变式9-3】已知三角形的两边长分别为和8，则第三边上中线长m的取值范围是 ． 【变式9-4】某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【考点题型十 垂线模型】 【例10】如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【变式10-1】勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 【变式10-2】如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 【变式10-3】如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为 ．    【变式10-4】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 【考点题型十一 旋转模型】 【例11】如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式11-1】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【变式11-2】如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则 ． 【变式11-3】如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有 ．并写出3对全等三角形 ．    【变式11-4】【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【考点题型十二 全等三角形常见辅助线】 【例12】如图，已知在四边形内，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图，四边形是长方形，，垂足为，且，交于点，连接．若，，则的面积为（   ） A．24 B．20 C．16 D．12 【变式12-2】如图，在四边形中，，，，则四边形的面积 ． 【变式12-3】如图，中，，．过作的角平分线的垂线，垂足为，点为边的中点，连接，，则的最大值为 ． 【变式12-4】【问题背景】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________． 【探索延伸】 如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【考点题型十三 全等三角形的动点问题】 【例13】如图，在中，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段上由C点以的速度向A点运动．设运动的时间为． (1)直接写出：①_________ cm；②_________ cm；③_________ cm．（用含t，a的式子表示） (2)若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 【变式13-1】如图，在中，已知，是的高，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为t秒． 备用图 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________； (2)当t为多少时，的面积为？ (3)探究：当t为多少时，？并简要说明理由． 【变式13-2】如图，在中，，，，点D在线段上，且，动点P从的延长线上距A点的点E出发，以每秒的速度沿射线的方向运动了． (1)直接用含有t的代数式表示______； (2)在运动过程中，是否存在在某个时刻，使与以A，D，P为顶点的三角形全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式13-3】如图，在中，，为高，且，点为上一点，，连接．    (1)求的长； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)有一动点从点出发沿射线以每秒8个单位长度的速度运动，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒，点是射线上一点，且．当与全等时，请直接写出的值． 【变式13-4】在中，， ，，点在上，且，过点作射线（与 在同侧），若动点从点出发， 沿射线匀速运动， 运动速度为，设点运动时间为 秒．连接、． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当于点时，求此时的值． 【考点题型十四 全等三角形综合】 【例14】（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边 、上的点，若．求证：； （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论． 【变式14-1】如图，在四边形中，，，．点从点出发以1的速度沿向点匀速移动，设移动时间为． (1)如图①，若连接、交于点．当时，求出的值； (2)如图②，当点开始运动时，点同时从点出发，点从点出发以1.5的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动．点同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，当为何值时，以为顶点的三角形与全等？并求出相应的的值； (3)如图③，连接交于点，当，时，证明． 【变式14-2】（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段，，之间的数量关系是______． （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长． 【变式14-3】（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是16，求与的面积之和． 【变式14-4】在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动． 【初步探索】 （1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________； 【灵活运用】 （2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【延伸拓展】 （3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 全等三角形（5个考点清单+14种题型解读） 【清单01 全等图形】 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 【清单02 全等三角形】 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 1.对应顶点，对应边，对应角 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【清单03 全等三角形的性质】 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 【清单04 全等三角形的判定】 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.三角形证全等思路 【清单05 尺规作图】 一．作已知角的角平分线 二．过一点作已知线段的垂线 【考点题型一 全等图形】 【例1】下列叙述中错误的是（    ） A．能够完全重合的两个图形称为全等图形 B．全等图形的形状和大小都相同 C．所有正方形都是全等图形 D．平移、翻折、旋转前后的图形全等 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，全等形的性质，由全等图形的性质和平移，折叠，旋转的性质依次判断可求解． 【详解】解：A、能够完全重合的两个图形称为全等形，故A选项不符合题意； B、全等形的形状和大小都相同，故B选项不符合题意； C、所有正方形不一定是全等形，故D选项符合题意； D、平移、翻折、旋转前后的图形全等，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】下列说法正确的是（    ） A．面积相等的图形叫做全等图形 B．周长相等的图形叫做全等图形 C．能完全重合的图形叫做全等图形 D．形状相同的图形叫做全等图形 【答案】C 【分析】本题考查了全等形的概念．全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、周长相等的图形不一定全等，要具体进行验证分析． 【详解】解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误； B、周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误； C、能完全重合的图形叫做全等图形，符合全等形的概念，正确； D、形状相同的两个图形也不一定是全等形，说法错误； 故选：C． 【变式1-2】下列5个说法： ①两个形状相同的图形称为全等图形； ②两个圆是全等图形； ③两个正方形是全等图形； ④全等图形的形状和大小都相同； ④面积相等的两个三角形是全等图形． 其中，说法正确的是 ． 【答案】④ 【分析】此题主要考查了全等形．根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可． 【详解】解：①两个形状相同的图形大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ②两个圆形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ③两个正方形形状相同，大小不一定相等，不一定是全等图形，原说法错误； ④全等图形的形状和大小都相同，说法正确； ⑤面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等图形，原说法错误； 正确的说法只有④， 故答案为：④． 【变式1-3】如图，四边形与四边形是全等四边形，若，，，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了全等多边形的性质和四边形的内角和，先根据全等图形的性质求得和，再由四边形的内角和求得即可． 【详解】解：∵全等多边形的对应边和对应角相等， ∴，， 又∵四边形的内角和为， ∴， 故答案为：； 【变式1-4】把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，结合图形的对称性和互补性，利用面积相等以及图形全等分别分割即可． 【详解】解：分割线如图所示： 【考点题型二 全等三角形的性质】 【例2】如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的性质推出，，求出，即可得到的长． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：C． 【变式2-1】如图，三点共线，三点共线，且，则长为（    ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质求出，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 【变式2-2】如图，，，，，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，有全等三角形的性质可得出，再利用三角形内角和定理可得出，最后再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】如图，，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解答本题的关键．由全等三角形的性质可得，进而可求出，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-4】如图，已知，点在上，与相交于点．    (1)当，时，求线段的长； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)2； (2)的度数为． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【考点题型三 添加条件使三角形全等】 【例3】如图，和相交于O 点，，用“”证明还需满足的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定．利用对顶角相等，则要根据用“”证明，需要添加对应边与相等即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，可利用“”证明， 故选：B 【变式3-1】如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，只添加一个条件，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，根据全等三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， 当时，可以证明；故选项A不符合题意； 当时，不能判定；故选项B符合题意； 当时，可以证明；故选项C不符合题意； 当时，可以证明；故选项D不符合题意； 故选B． 【变式3-2】如图，已知，点，，，在一条直线上，要使得，还要添加一个条件，这个条件可以是 （只需填写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是添加条件判定三角形全等，本题先分析已有条件，，再根据可添加夹角相等或第三边相等即可判定三角形全等；熟记三角形全等的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：增加一个条件：， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3-3】如下图，点 B，F，C，E 在同一直线上，，，要使，若以“”为 依据，还要添加条件 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据进行分析，再确定需要添加的条件即可． 【详解】解：添加：， 理由为： ∵， ∴， ∵， ∴，即， 添加：， ∴， 故答案为：． 【变式3-4】问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及下面三个等式：①，②，③，若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？ 解决方案：探究与全等． 问题解决： (1)当选择①②作为已知条件时，与全等吗？ _________（填“全等”或“不全等”），依据是_________； (2)当选择_________两个等式作为已知条件时，不能说明，但补充一个条件例如_________也可以证明，请写出过程． 【答案】(1)全等； (2)当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定： （1）利用即可证明； （2）当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作已知条件时，不能说明，据此根据全等三角形的判定定理补充条件证明即可． 【详解】（1）解：当选择①②作为已知条件时， 在和中， ， ∴， 故答案为：全等；； （2）解；当选择①③作为已知条件时，可以利用证明；当选择②③作为已知条件时，不能说明，补充条件，证明如下： 在和中， ， ∴； 【考点题型四 用SAS证明三角形全等】 【例4】已知：如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为　　秒时．和全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【答案】C 【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：，，，，． 【详解】解：∵，若，， ∴， 由题意得：， ∴， ∵，若，， ∴， 由题意得：， 解得． ∴，当的值为1或7秒时．和全等． 故选：C． 【变式4-1】如图，在中，为边的中点，，，延长至点，使得，则长度可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系；证明，得，在中由三边不等关系确定的取值范围，根据范围即可完成求解． 【详解】解：为边的中点， ； 在与中， ， ， ； ，， ， 故可以为4, 故选：A． 【变式4-2】如图，D，E是外两点，连接，有，．连接交于点F，则的度数为 ． 【答案】/140度 【分析】设交于点，由已知，推出 ，证明，得，可求得，则，即可得到结论；此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 【详解】解：设交于点， 在和中， ， ， 故答案为：． 【变式4-3】如图，在中，D是边上一点，平分，在上截取，连结，已知，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用角平分线的定义得到，证明，即可得到，即可解答，熟知全等三角形判定的条件是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-4】如图所示，、是高，点P在的延长线上，，点Q在上，． (1)判断： ______（用“”、“”、“”填空）； (2)探究：与之间的关系； (3)若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论． 【答案】(1) (2)，．理由见解析 (3)画图见解析，结论， 【分析】本题主要考查了垂线的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，证明是解此题的关键． （1）根据垂线的定义和三角形内角和定理即可得出答案； （2）根据垂线的定义和三角形内角和定理可得，证明，可得结论； （3）根据垂线的定义和三角形内角和定理可得，证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图，设、交于点， 是的高， ， ∴，， ， ∴， 故答案为：； （2）解：，， 理由如下： 是的高， ， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ，故，； （3）解：，， 理由如下：如图，   是的高， ， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ，故，． 【考点题型五 用ASA（AAS）证明三角形全等】 【例5】如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查同角的余角相等，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由于D，于E，得，而，则，而，即可证明，则，所以． 【详解】解：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长是． 故选A． 【变式5-1】如图，在四边形中，，点在边上，分别平分，，则的长是（    ）      A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确合理添加辅助线是解决本题的关键． 利用角平分线的性质定理可作辅助线：过点E作于点E，证明，即可解决问题． 【详解】解：过点E作于点E，则    ∵， ∴， ∴， ∵平分，∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴， 故选：C． 【变式5-2】如下图，地面上有一根旗杆，小明两次拉住从顶端垂下的绳子到，的位置（，，在同一平面内），测得，且C、D两点到的水平距离、分别为和，则F、E两点的高度差即的长为 m．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．先证明，得出，，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式5-3】如图，在中，，，点为上一点，连接．过点作于点，过点作交的延长线于点．若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，先证明，根据全等三角形的性质可得，，进一步可得的长． 【详解】，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ，， ，， ， 故答案为：． 【变式5-4】（1）如图（1），在中，，，直线m经过点A，直线m于点D，直线m于点E．求证：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）由直角三角形的性质及平角的定义得出，可证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可； （2）与（1）类似，可证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线m，直线m， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴． （2）成立．证明如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴． 【考点题型六 用SSS证明三角形全等】 【例6】如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质：根据题意可得，再证明，可得，进而即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式6-1】如图，在和中，，，，，，与相交于点P，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可证，可求得，再利用三角形内角和求得，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【变式6-2】如图，在的上方有一点，连接，，，则的度数为 ．    【答案】25 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意直接证明，即可得出，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴， 故答案为：25． 【变式6-3】如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，，，，则 °． 【答案】100 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点． 根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角即可得． 【详解】解：在和中， ， ， ， 故答案为：100． 【变式6-4】如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定， （1）根据线段的和差证出，由即可得出； （2）由全等三角形的性质得到，，根据平行线的判定与性质即可得解． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ，， ， ． 【变式6-1】 【变式6-2】 【变式6-3】 【变式6-4】 【考点题型七 用HL证明三角形全等】 【例7】在中，，是上的一点，且，过点作交于点．若，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，得到，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用证明是解题的关键． 【变式7-1】如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（    ）    A． B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的面积，利用全等三角形的性质求出是解此题的关键．可以过D作，交的延长线于F，证明得出，，再证明，得出，求出，求出的面积即可． 【详解】解：过D作，交的延长线于F，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为， 故选：A． 【变式7-2】如图，中，，，，射线于点，点分别在线段和射线上运动，并始终保持．要使和全等，则的长为 ． 【答案】5或12 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法，由判定的三角形全等的方法可知只需再添加一组直角边相等就满足题意，由此写出的长即可，清楚判定全等以及分类讨论是本题的关键． 【详解】解：， 要使和全等，只需再添加一组直角边相等， 或， 或12． 故答案为：5或12． 【变式7-3】如图所示，在中，，于点D，交于点E．若，，，，则的周长是 ． 【答案】/6厘米 【分析】本题考查的是直角三角形全等的判定与性质，三角形的周长公式的应用，熟练的证明是解本题的关键． 如图，连接．证明，可得，再利用三角形的周长公式可得答案． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴的周长． 故答案是：． 【变式7-4】小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，过点作于点，测得（图中的点在同一平面内）．    (1)猜想此时与的位置关系，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)；见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质． （1）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）根据，得出，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵于D，于E， ∴， 又∵根据题意得：，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 答：的长为． 【考点题型八 尺规作图】 【例8】请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图（图②），要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定．由作图得：，即可求解． 【详解】解：由作图得：， ∴． 故选：B 【变式8-1】如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，基本作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据作图过程可得，，利用证明，即可得出结果． 【详解】解∶由作图过程可得，， ∴， ∴， 故选∶A． 【变式8-2】由三边分别相等判定三角形全等的结论，还可以得到用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法． 已知： 求作：，使 作图的步骤： ①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D； ②作射线，以为圆心， 长为半径画弧，交于点； ③以为圆心， 长为半径画弧，交前弧于点； ④过点作射线． 所以就是与相等的角． 在与中， ， ∴( )， ∴( )． 【答案】 全等三角形对应角相等 【分析】本题考查尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，根据尺规作一个角等于已知角的方法，以及全等三角形的判定和性质，进行作答即可． 【详解】作图的步骤： ①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D； ②作射线，以为圆心，的长为半径画弧，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点； ④过点作射线． 所以就是与相等的角． 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 故答案为：，，，全等三角形对应角相等． 【变式8-3】用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明 （写出全等的简写）． 【答案】 【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，根据作出可知：，，，从而得出三角形全等的判定方法． 【详解】解：根据作图可知：，，，从而可以利用判定其全等． 故答案为：． 【变式8-4】人教版初中数学教科书八年级上册第39−40页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． （1）画； （2）在的同旁画，，，相交于； （3）即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在和中， 所以________． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是________．（填序号） ①；②；③；④ 【答案】(1)，， (2)② 【分析】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据证明三角形全等即可； （2）由（1）中证明，可得结论． 【详解】（1）解：由作图可知，在和中， ， ． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是， 故答案为：②． 【考点题型九 倍长中线模型】 【例9】如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接． 则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ， 故选：A． 【变式9-1】如图，中，，，是边上的中线，若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系；先延长到，使，连接，根据，，，可证，于是，再利用三角形三边之间的关系可得，即． 【详解】解：如图所示，延长到，连接，    在与中， ， ∴， ∴， 在中，有， 即， 即， ∴． 故选：D． 【变式9-2】在中，，，点D是的中点，连接，设的长度为x，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】延长，使，连接，证明得到，再根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：如图，延长，使，连接， ∵点D是的中点， ∴， ∴在和中， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴，即， 故答案为：. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 【变式9-3】已知三角形的两边长分别为和8，则第三边上中线长m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题重点考查三角形的中线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，作，使，，中线，延长到点E，使，连接，证明，得，由，得，解不等式求出它的解集即可．正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【详解】解：作，使，，中线，延长到点E，使，连接，如图， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴第三边上中线长x的取值范围是， 故答案为：． 【变式9-4】某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【考点题型十 垂线模型】 【例10】如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 【变式10-1】勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 【变式10-2】如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】过点作交延长线于点，先证明，则，然后根据求即可． 【详解】解：过点作交延长线于点， 则∠DMC=90°=∠ABC， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故填． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的面积，正确作出辅助线、构造全等三角形证得成为解答本题的关键． 【变式10-3】如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为 ．    【答案】4cm. 【分析】过点E作EF⊥AN于F，先利用AAS证出△ABC≌△FCE，从而得出AB=FC=8cm，AC=FE，然后利用AAS证出△DCM≌△EFM,从而求出CM的长. 【详解】解：过点E作EF⊥AN于F，如图所示    ∵AN⊥AB，△BCE和△ACD为等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠BCE=∠ACD=∠CFE =90°，BC=CE，AC=CD ∴∠ABC+∠ACB=90°，∠FCE+∠ACB =90°， ∴∠ABC =∠FCE， 在△ABC和△FCE中 ∴△ABC≌△FCE ∴AB=FC=8cm，AC=FE ∴CD= FE 在△DCM和△EFM中 ∴△DCM≌△EFM ∴CM=FM=FC=4cm. 故答案为：4cm. 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握用AAS证两个三角形全等是解决此题的关键. 【变式10-4】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，则的面积为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，借助前面的结论和思路是解决（4）的关键． （1）根据题意可得，由等量代换证明，证明可得，，等量代换即可证明； （2）证明过程同（1）； （3）设，则，先求出x的值，根据三角形面积公式即可求解； （4）过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F，由（1）可得，，，证明是等腰直角三角形，，求出，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （2）， 证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （3）设，则， ∴ ∵， ∴ ∴； （4）如图，过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F， 由（1）可得 ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵面积为18 ∴ ∴， ∵的长为9， ∴， ∴ 【考点题型十一 旋转模型】 【例11】如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 【变式11-1】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 【变式11-2】如图，在中，，，，且AE=AB，连接交的延长线于点，，则 ． 【答案】 【分析】在CD上截取CG=CF，连接AG，可得，设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x，再证明，进而即可求解． 【详解】解：在CD上截取CG=CF，连接AG， ∵AC=CD，∠ACG=∠DCF=90°， ∴， ∴∠AGC=∠CFD， 设AC=CD=3x，则CF=CG=2x，GD=x， ∵∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°， ∴∠EAF=∠B， ∴∠E=∠CFD-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB， 又∵AE=AB， ∴， ∴AF=BG=5x， ∴BD=BG-GD=4x， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 【变式11-3】如图，正三角形和，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的结论有 ．并写出3对全等三角形 ．    【答案】 ①②③⑤ △ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ 【分析】①可证明△ACD≌△BCE,从而得出AD=BE； ②可通过证明△BCQ≌△ACP，从而可证明△PCQ为等边三角形，再根据内错角相等两直线平行可证明PQ∥AE． ③由②中△BCQ≌△ACP，可证AP=BQ； ④通过证明△CDP≌△CEQ可得DP=EQ，又由图可知DE＞QE，从而④错误； ⑤通过三角形外角定理和前面△ACD≌△BCE可得该结论． 由前面的证明过程可得出三个全等三角形． 【详解】解：①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上， ∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120° ∴△ACD≌△BCE ∴AD=BE，故本选项正确； ②∵△ACD≌△BCE， ∴∠CBQ=∠CAP， 又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC， ∴△BCQ≌△ACP， ∴CQ=CP，又∠PCQ=60°， ∴△PCQ为等边三角形， ∴∠QPC=60°=∠ACB， ∴PQ∥AE，故本选项正确； ③由②△BCQ≌△ACP可得AP=BQ，故本选项正确； ④∵△ACD≌△BCE， ∴∠ADC=∠BEC， ∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°， ∴△CDP≌△CEQ（ASA）． ∴DP=EQ， ∵DE＞QE ∴DE＞DP，故本选项错误； ⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，故本选项正确； ∴正确的有：①②③⑤． 由上面证明过程可知△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ． 故答案为：①②③⑤；△ACD≌△BCE，△BCQ≌△ACP，△CDP≌△CEQ． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质．熟练掌握全等三角形的判定定理，并能依据等边三角形三边相等，三角相等都是60°的特征判断三角形全等是解题关键． 【变式11-4】【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 【考点题型十二 全等三角形常见辅助线】 【例12】如图，已知在四边形内，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，延长到点，使，连接，证明，即可得到，可得为等边三角形，再得到的角度，利用等腰三角形的性质得到，即可得到，作出正确的辅助线，构造全等三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式12-1】如图，四边形是长方形，，垂足为，且，交于点，连接．若，，则的面积为（   ） A．24 B．20 C．16 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线构造全等三角形．过点作，交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，如下图， ∵四边形是长方形，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴． 故选：D． 【变式12-2】如图，在四边形中，，，，则四边形的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形内角和，角度和差等知识，过作，交延长线于点，通过角度和差得，根据四边形的内角和得，从而证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】如图，过作，交延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形的面积的面积， 故答案为：18． 【变式12-3】如图，中，，．过作的角平分线的垂线，垂足为，点为边的中点，连接，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线定义、三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质等知识；延长，交点于，可证，得出，，则，当时，最大面积为30，即最大面积为7.5． 【详解】解：如图：延长，交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，； ， ，即； ， 是的中点， ， 当时，面积最大， 即最大面积． 故选：． 【变式12-4】【问题背景】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________． 【探索延伸】 如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】[初步探索]：；[探索延伸]：结论仍然成立，理由见解析；[结论运用]：210海里． 【分析】（1）根据题意可得，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案； （2）延长到，使，连接，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案； （3）连接，延长、交于点，可得，再得，继而得到本题答案． 【详解】解：[初步探索]：；理由如下： ，， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， 在△和△中， ， ∴， ， ， ， 故答案为：； [探索延伸]：结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到，使，连接， ，，， ， 在和中， ， ∴ ，， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； [结论运用]：如图3，连接，延长、交于点， ，，， ， ，， 符合探索延伸中的条件， 结论成立， 即海里． 答：此时两舰艇之间的距离是210海里． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查全等三角形判定及性质，内角和定理，方向角问题，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意要正确作出辅助线． 【考点题型十三 全等三角形的动点问题】 【例13】如图，在中，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动．同时，点Q在线段上由C点以的速度向A点运动．设运动的时间为． (1)直接写出：①_________ cm；②_________ cm；③_________ cm．（用含t，a的式子表示） (2)若以D，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a，t的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据速度与时间可得路程和，根据边长和中点定义可得和的长； （2）根据，可知：分两种情况：①若，②若，根据全等三角形对应边相等列方程组可得结论． 本题考查了全等三角形的判定的应用及动点运动问题，关键是能根据题意得出方程，注意：全等三角形的判定定理有，，，． 【详解】（1）解：由题意得：∵，，点P在线段上以的速度由B点向C点运动． ∴①；②， ∵点Q在线段上由C点以的速度向A点运动 ∴③， 故答案为： （2）解：，，，， ， 分两种情况： ①若， 则， ， ， ②若， 则， ， ． 综上所述，的值为6、的值为2或的值为4、的值为1． 【变式13-1】如图，在中，已知，是的高，，直线，动点D从点C开始沿射线方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为t秒． 备用图 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）：________，________； (2)当t为多少时，的面积为？ (3)探究：当t为多少时，？并简要说明理由． 【答案】(1)，t (2)当为或时，的面积为 (3)秒或4秒时，．理由见详解 【分析】本题考查了线段的和与差、三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键．需注意的一点是：动点D的位置要分情况讨论，避免漏解． （1）根据“”即可得； （2）根据可求出的长，因为要求t则需要求出的长，由点D的位置可知，需分点D在点B右侧和点D在点B左侧两种情况，根据线段的和与差分别讨论即可； （3）先假设，则有，同（2）分两种情况讨论解出t的值，再检验两种情况下的t值，能否使得即可 【详解】（1）解：由“”得：， 故答案为：； （2）， ， 求的长分以下两种情况： 若在点右侧，，则 若在点左侧，，则 综上所述：当为或时，的面积为； （3）如果，则有 同（2）分两种情况： ①若在点右侧，当E在射线上时，D必在上，如下图： 则 由，即可得： 检验： 因此，由定理可得， ②若在点左侧，当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，如下图： 则，， 由，即可得： 检验： ， ∴由定理可得， 综上，秒或4秒时，． 【变式13-2】如图，在中，，，，点D在线段上，且，动点P从的延长线上距A点的点E出发，以每秒的速度沿射线的方向运动了． (1)直接用含有t的代数式表示______； (2)在运动过程中，是否存在在某个时刻，使与以A，D，P为顶点的三角形全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或时，使与以A，D，P为顶点的三角形全等 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题： （1）根据题意可得； （2）当时，，可得或，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； 故答案为：； （2）解：存在，理由如下： 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴当时，， ∴或， ∴或， ∴或时，使与以A，D，P为顶点的三角形全等 【变式13-3】如图，在中，，为高，且，点为上一点，，连接．    (1)求的长； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)有一动点从点出发沿射线以每秒8个单位长度的速度运动，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒，点是射线上一点，且．当与全等时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)直线垂直于，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）只需要证明，即可得到； （2）根据全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理和对顶角线段可得，即； （3）分当点F在线段延长线上时，当点F在线段上时，两种情况根据全等三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵为高， ∴， ∵，， ∴ ∴； （2）解：直线垂直于，理由如下： 如图所示，延长交于F， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴直线垂直于；    （3）解：如图所示，当点F在延长线上时， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴只存在这种情况， ∴， ∴， 解得；      如图所示，当点F在上时， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴只存在这种情况， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当与全等时，或．      【变式13-4】在中，， ，，点在上，且，过点作射线（与 在同侧），若动点从点出发， 沿射线匀速运动， 运动速度为，设点运动时间为 秒．连接、． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当于点时，求此时的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）本题考查全等三角形的判定，利用等角的余角相等得出，再结合题干的其他条件，即可解题． （2）本题与（1）问的证明类似，证得，再利用全等的性质得出线段的长，最后根据时间等于路程除以速度，即可解题． 【详解】（1）证明：如图①，， ， ， 又， ， 又， ， ， 又，， ， 在和中， ； （2）解：如图②，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， ， 运动速度为， (秒)． 【考点题型十四 全等三角形综合】 【例14】（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边 、上的点，若．求证：； （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，且，试探究线段、、之间的数量关系，证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】（1）延长至M，使得，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （2）通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．可得出，，那么． 【详解】证明：（1）延长至M，使得，连接， ，， 在与中 ， ， ，， ， 在与中 ， ， ， ， 即； （2）线段、、之间的数量关系是， 在上截取，连接， ，，， ， 在与中 ， ， ， ， 又∵， ， 在与中 ， ， ， ∵， ∴． 【点睛】此题考查三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形． 【变式14-1】如图，在四边形中，，，．点从点出发以1的速度沿向点匀速移动，设移动时间为． (1)如图①，若连接、交于点．当时，求出的值； (2)如图②，当点开始运动时，点同时从点出发，点从点出发以1.5的速度沿向点匀速移动，点从点出发以的速度沿向点匀速移动．点同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，当为何值时，以为顶点的三角形与全等？并求出相应的的值； (3)如图③，连接交于点，当，时，证明． 【答案】(1)1 (2)当，或，时，以为顶点的三角形与全等 (3)见详解 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得，然后求得的值，即可获得答案； （2）结合题意，可知，，，然后分和两种情况，结合全等三角形的性质分别求解即可； （3）首先结合题意证明，连接交于，再证明，易得，进而可得，，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意，可知，，， ∴，，， ∵， ∴当时，有， 即①，②， 由①②可得，； 当时，有，， 即③，④， 由③④可得，． 综上所述，当，或，时，以为顶点的三角形与全等； （3）证明：∵当，时，， ∵， ∴， ∴点在点之间， ∵，， ∴， 如图，连接交于， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 【变式14-2】（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，请探究图中线段，，之间的数量关系． 小明探究此问题的方法是：延长线段到点，使，连接．先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段，，之间的数量关系是______． （2）拓展应用： 如图2，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，（1）中的线段，，之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）学以致用： 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3）10 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． （）延长到点，使，连结，由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解题； （）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （）延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得，即可求解． 【详解】解∶（1）延长到点，使，连结， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立，理由如下：如图，延长到，使，连接，      ∵， ∴， 同（）理：， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，延长到，使，连接，      ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式14-3】（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是16，求与的面积之和． 【答案】（1）见解析；（2）结论成立；理由见解析；（3）6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． （1）根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，由证得，则，，即可得出结论； （2）由，则，得出，由证得即可得出答案； （3）由，，可得，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：结论成立；理由如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：，， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， ， ， 与的面积之和为8． 【变式14-4】在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动． 【初步探索】 （1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________； 【灵活运用】 （2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【延伸拓展】 （3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3），证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，则，从而得出，证明得出，证明得出，即可证明； （2）延长到点，使，连接，则，从而得到，证明得出，证明得出，即可证明； （3）延长到点，使，连接，则，证明得出，证明得出，从而得到，即可得解． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）成立， 理由：如图，延长到点，使，连接，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）， 证明：如图，延长到点，使，连接， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线构造三角形全等是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司83 学科网（北京）股份有限公司 $$