精品解析：吉林省白城市第一中学2024-2025学年高三上学期10月期中考试数学试题

白城市第一中学2024-2025学年度高三上学期期中考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 函数则函数的零点个数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数（），若时，在处取得最大值，则a取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 7. 若，（）试比较的大小关系（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9. 已知不等式解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 10. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于对称 D. 11. 已知偶函数的定义域为，对任意两个不相等的正数，都有，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的单调递增区间是 B. 值域为 C. D. 若，，，则 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 已知定义域为的函数满足：（c为常数），，则的单调递增区间是______；若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是______. 14. 已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是_____________. 15. 设函数存在最小值，则的取值范围是______． 16. 已知是函数的一个零点，且，则的最大值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数对于任意的且都满足． （1）求，的值； （2）判断函数的奇偶性． 18. 已知函数为对数函数，并且它的图象经过点，，其 中. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最小值. 19. 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 20. 已知是一次函数，且满足，求 _____． 21. 定义在上的函数，满足对任意x，，有，且. （1）求，值； （2）判断的奇偶性，并证明你的结论； （3）当时，，解不等式. 22. 给定函数，若点是的两条互相垂直的切线的交点，则称点为函数的“正交点”.记函数所有“正交点”所组成的集合为. （1）若，判断集合是否为空集，并说明理由； （2）若，证明：的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线； （3）若，记图像上的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白城市第一中学2024-2025学年度高三上学期期中考试 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 函数则函数的零点个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过对式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】函数的零点 即方程和的根， 函数的图象如图所示： 由图可得方程和共有个根， 即函数有个零点, 故选A. 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准． 2. 已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用导数分段求导，设两点坐标结合导数的几何意义求切线方程，分类讨论得出切线重合的条件等式，消元转化为方程有根问题，利用导数研究单调性计算参数范围即可. 【详解】当时，的导数为， 当时，的导数为， 设，为该函数图象上的两点，且， 当，或时，，故， 当时，函数在点处的切线方程为； 当时，函数在点处的切线方程为． 两直线重合的充要条件是①，②， 由①及，得， 由①②，令，则， 且，记， 则其导数为，易知在恒成立， 则函数在为减函数， ∴，. ∴实数a的取值范围是． 故选：B． 3. 已知函数（），若时，在处取得最大值，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用多次求导及分类讨论判定函数的单调性及最值即可. 【详解】∵，令， ∴， 当时，此时在上单调递增； 当时，此时在上单调递减. 由，故可大致作出的图象如下， ∴， ∴当时，，，在R上单调递增，不成立； 当时，，在上单调递减，成立； 当时，有两个根（）， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴在，上单调递增，在上单调递减，显然不成立. 综上. 故选：A． 4. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 5. 已知函数，则函数的零点个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 对分两种情况求方程的根的个数即得解. 【详解】当时，或，都满足； 当时，， 所以方程没有实数根. 综合得函数的零点个数是2. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的零点的个数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6. 设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值. 【详解】求解二次不等式可得：， 求解一次不等式可得：. 由于，故：，解得：. 故选：B. 【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7. 若，（）试比较的大小关系（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先估算出，进而求出的范围，再由求出的范围，最后构造函数估算出即可求解. 【详解】由得，故，又，故， 由常用数据得，下面说明，令，， 当时，，单增，当时，，单减，则， 则，则，， 令，则，， ，则，综上，. 故选：D. 【点睛】本题主要考查指数对数大小比较，关键点在于通过构造函数求出的范围，放缩得到，再由和结合即可求解. 8. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项. 【详解】由不等式和解集的形式可知，，且方程的实数根为或， 那么，所以， 所以，且，故A、C正确，B错误； 不等式， 即，解得:, 所以不等式的解集为，故D正确. 故选：ACD 10. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于对称 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和题设条件，推得是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，利用单调性比较大小，逐项判定即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以，即函数关于对称， 故函数不是奇函数，故选项A错误，选项C正确； 由函数关于对称知， 又因为为偶函数，所以，即函数关于对称， 则，所以，即， 所以，所以是周期为4的周期函数， 所以，又，所以， 所以，所以，故选项B正确； 对任意的，且，都有， 所以函数在上单调递增， 又，所以， 所以，故选项D正确. 故选：BCD 11. 已知偶函数的定义域为，对任意两个不相等的正数，都有，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，确定其单调性，再由偶函数定义把自变量是负数的函数值化为正数的函数值，然后由单调性得结论． 【详解】对任意两个不相等的正数，都有， 设，则， 当时，，即，函数在上单调递减， 函数为偶函数，，，，， 在上单调递减，则，，，， 由此可判断A错误，B，C，D正确， 故选：BCD. 12. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的单调递增区间是 B. 的值域为 C. D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于，求出导函数，由导函数的正负即可判断单调性；对于，由的单调性即可求解值域；对于，计算，即可计算；对于，变形，由，的范围即可证. 【详解】的定义域为， 在定义域上恒成立， 所以的单调递增区间为，，故错误； 当趋近于0时，趋于， 当趋近于1，且在1的左侧时，趋于， 所以的值域为，故正确； ， 所以， 又， 所以，故错误； ， 因为，所以，又， 所以，即，故正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：函数的单调区间不能用并集符号，要用“和”或“，”连接. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 已知定义域为的函数满足：（c为常数），，则的单调递增区间是______；若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合导数与单调性关系即可求得函数的单调递增区间；设，作出，的大致图象，确定的解集中恰有两个整数为0，-1，列出相应不等式组，即可求得a的取值范围. 【详解】由题意，得， 所以，， 令，，所以的单调递增区间是． 令，，所以的单调递减区间是． 且当时，； 设，可知该函数恒过点， 画出，的大致图象，如图所示， 设过的切线的切点为， 则，故， 而， 不等式（其中）的解集中恰有两个整数， 则这两个整数0，或， 所以，或 即或，解得或 故答案为：，. 14. 已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的性质，讨论参数a分析在上的零点情况，进而利用导数研究上的零点，求符合题设恰有两个零点条件下的取值范围即可. 【详解】在上，开口向上且对称轴为， ∴1、当时，在上无零点， 此时上，递增，故最多有一个零点，不合题意； 2、当时，，在上无零点； 此时上，则上，递增，上，递减，且，；，， ∴只需即可，则，符合题设； 3、当时，，在上有一个零点； 此时上，则上，递增，上，递减，且，；，，而，不合题设； 4、当时，，在上有两个零点； 此时只需即可，则， ∴上恒成立. 综上，的取值范围为 15. 设函数存在最小值，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分四种情况，结合二次函数的性质讨论即可． 【详解】①当时，， 当时，单调递增，且， 当时，， 因此不存在最小值； ②当时，， 当时，，故函数存在最小值； ③当时，， 当时，单调递减，， 当时，， 而，故函数存在最小值； ④当时，， 当时，单调递减，， 当时，， 因为， 所以，因此不存在最小值． 综上，的取值范围是． 故答案为：． 16. 已知是函数的一个零点，且，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由是函数的一个零点得到，再由原点到直线的距离，原点到直线的距离,前者不小于后者求解. 【详解】因为是函数的一个零点，所以，将看作直线上一个点的坐标，则为直线上的点到坐标原点的距离．设坐标原点到直线的距离为，则，所以．令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以当时，，所以，所以，故的最大值为． 故答案为： 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数对于任意的且都满足． （1）求，的值； （2）判断函数的奇偶性． 【答案】（1），； （2）偶函数. 【解析】 【分析】（1）分别令和-1，代入原式中即可求和； （2）利用偶函数的定义判断即可. 【小问1详解】 因为对于任意的，且都满足， 所以令，得到，所以， 令，得到，所以. 【小问2详解】 由题意可知，函数的定义域为，关于原点对称， 令，得， 因为， 所以， 所以为偶函数． 18. 已知函数为对数函数，并且它的图象经过点，，其 中. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）设，将点代入解析式有：，所以转化成指数式，所以，函数；（2）根据第（1）问求得的函数解析式可得，设，则，所以我们将问题转化为求二次函数在区间上的最小值，对配方得，然后分三种情况进行讨论，分别为，，，根据不同区间上的单调性，就可以求出函数的最小值，将最小值用分段函数表示出来即可. 试题解析：（1）设（且） ∵的图象经过点，∴，即 ∴，即 ∴. （2）设，∵，∴ ∴，即 则，，对称轴为 ①当时，在上是增函数， ②当时，在上是减函数，在上是增函数， ③当时，在上是减函数， 综上所述，. 考点：1、对数函数；2、复合函数；3、二次函数动轴定区间问题. 【方法点睛】本题以对数函数为切入点，考查学生对复合函数的掌握，对于复合函数，要求能准确的分清内层函数及外层函数，同时还要掌握换元法的思想在解题中的使用，换元过程中要准确的给定新元的取值范围.另外，本题还着重考查二次函数中动轴定区间的最值问题，考查学生的分类讨论能力，考查学生的数形结合思想. 19. 已知函数． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（Ⅱ）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值. 试题解析：（Ⅰ）因为，所以. 又因为，所以曲线在点处的切线方程为. （Ⅱ）设，则. 当时，， 所以在区间上单调递减. 所以对任意有，即. 所以函数在区间上单调递减. 因此在区间上的最大值为，最小值为. 【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是()恒成立，这样就能知道函数的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断的单调性，最后求得结果. 20. 已知是一次函数，且满足，求 _____． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据已知条件列方程，由对应系数相等求出和的值即可求解. 【详解】因为是一次函数，设， 因为， 所以， 整理可得， 所以，可得， 所以， 故答案为：. 21. 定义在上的函数，满足对任意x，，有，且. （1）求，的值； （2）判断的奇偶性，并证明你的结论； （3）当时，，解不等式. 【答案】（1）， （2）奇函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，即可求得答案； （2）利用赋值法结合奇偶函数的定义即可得结论，进而证明； （3）判断出函数的单调性，利用单调性可得不等式，求得答案. 【小问1详解】 令，得，所以 令，，得， 所以. 【小问2详解】 为奇函数，证明如下： 由题意，任意x，， 令得，，即， 所以函数为奇函数. 【小问3详解】 设，，且，则， 所以， 所以， 故在上为增函数. 等价于， 所以，解得， 故原不等式的解集为. 22. 给定函数，若点是的两条互相垂直的切线的交点，则称点为函数的“正交点”.记函数所有“正交点”所组成的集合为. （1）若，判断集合是否为空集，并说明理由； （2）若，证明：的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线； （3）若，记图像上所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）不存在，理由见解析 （2）证明见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）假设存在，求出导函数，利用导数的几何意义推出矛盾，即可判断； （2）设“正交点”是在和处的切线的交点，求出切线方程，即可求出交点坐标，由切线互相垂直求出，即可得解； （3）依题意不存在图像上的点，使得该点是“正交点”，先利用反证法证明：对任意的实数，若图像上的点是“正交点”，则该点本身一定是切点，假设，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，即可得到方程对无解，结合二次函数的性质计算可得. 【小问1详解】 假设存在“正交点”，则存在两条相互垂直的切线， 设为和处的切线， 因为，所以，所以， 所以不存在“正交点”，所以. 【小问2详解】 设“正交点”是在和处的切线的交点， 因为，所以， 所以在和处的切线方程为：，， 联立，解得，即， 因为两条切线互相垂直，所以， 所以，所以的所有“正交点”在一定直线上. 【小问3详解】 因为，所以不存在图像上的点，使得该点是“正交点”. 先证明：对任意的实数，若图像上的点是“正交点”，则该点本身一定是切点. 反证法：假设该点不是切点，则存在切线， 它与函数图像交于点，所以， 化简得，因为，所以， 同理可得，所以，所以两条切线重合，矛盾！所以该点本身一定是切点. 假设，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点， 则由前文可知，所以 ， 因为，所以， 即， 设， 则有， 由题意可知图像上的点都不是“正交点”，也即不存在这样的点， 所以方程对无解. 设，其对称轴为， 所以当时，取得最小值， 要使得无解，只要，解得. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是理解定义，利用导数、反证法相关知识进行解答，以达到转化的目的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $