专题04 图形的相似（中等类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题04图形的相似思维导图 【类型覆盖】 类型一、平行线分线段求比值 【解惑】如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（    ） A． B． C． D．1 2．如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 3．如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 类型二、相似多边形的性质 【解惑】如图，把一个长方形划分成二个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形长和宽之比为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．我国习惯上对开本的命名是以几何级数来命名的，全张纸对折后的大小为对开，再对折为4开纸，再对折为8开纸，再对折为16开纸，以此类推，如图，全张矩形纸沿对开后，再把矩形纸沿对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（    ） A． B． C． D．2 2．有一张矩形纸片，、分别是，的中点，现沿线段将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么的值为 ． 3．如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形． (1)求的值． (2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长． 类型三、相似三角形的性质 【解惑】如图，已知四边形是平行四边形，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的值是（    ） A．6 B．5 C．8 D．4 【融会贯通】 1．如图，点A的坐标为，点、C是直线上第一象限内的两点，且得到线段．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，分别是的中点，和相交于点与相交于点，若，则的长为 ． 3．【感知】如图①，在中，于点．写出图中与相似的三角形，并用相似符号连接． 【探究】如图②，在中，点为边上一点，连接． 若，求证：． 【应用】如图③，在中，是边的中线．若，则的长为_______． 类型四、在坐标系中求位似图形的比 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点O为位似中心，位似比为，将作位似变换后得到，请在平面直角坐标系中画出． (2)设与，面积分别为和，试求的值． 【融会贯通】 1．如图，的顶点都在网格点上． (1)以点为位似中心，把按放大，在轴的左侧，画出放大后的，其中点的对应点为点，点的对应点为点； (2)点的坐标是________； (3)________． 2．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上，请完成下列问题： (1)画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，为位似比，在网格中画出放大后的对应图形，； (3)求（2）中的面积． 3．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，，请在图1、图2的网格中作图．               图1                               图2 (1)在图1中，画出将绕点逆时针旋转得到的． (2)在图2中轴下方，画出以O为位似中心，将放大为原来2倍的； (3)直接写出的值． 类型五、相似三角形的判定——两角相等 【解惑】如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 【融会贯通】 1．如图，与交于点，，且交于，交于，求证：． 2．如图，在平行四边形中，过点作 垂足为．连接 为线段上一点，且．求证：．   3．如图，在中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 类型六、相似三角形的判定———角相等夹边成比例 【解惑】如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽ 【融会贯通】 1．如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 2．如图，在正方形中，E为边的中点，点F在边上，且，求证：． 3．如图，，且，，求证：．    类型七、相似三角形的判定——三边成比例 【解惑】已知：在和中， ．求证：． 【融会贯通】 1．如图，在边长为1的正方形网格中，和都是格点三角形．求证：． 2．如图，和在边长为1的正方形网格中，点均在格点上，试证这两个三角形相似． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，作轴，垂足为点D，连接，，．求证：． 类型八、相似三角形的应用 【解惑】景区有一口水井，距离井边米处是最深的井底，小明想知道井有多深，于是走进观察，在距离井边米处刚好能看见井底，如果小明眼睛离地面的高度米，你能计算出水井的深度吗？ 【融会贯通】 1．【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 2．如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 3．如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿后退，当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离为1.2米；然后，苏海沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，求雕像的高度．    【一览众山小】 1．如图，一个高为的油筒内有油，一根木棒长，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分的长，则桶内油的高度为（　　） A． B． C． D． 2．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是（    ）m． A．18 B．8 C．8或18 D．10 3．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，，点、、分别在线段、、上，且，则 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角和是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，C在上，则点坐标为 ．    6．已知点D、E分别在的边上，且，若，则 ． 7．如图，、交于点E，，且平分． (1)求证：； (2)若，，，则的长为 ． 8．如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶B在同一直线上，已知纸板的两条边，，延长交于点C，测得边离地面的高度，，求树高． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04图形的相似思维导图 【类型覆盖】 类型一、平行线分线段求比值 【解惑】如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点E，过点D作于点F，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，角平分线的性质，三角形面积，平行线的判定及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握勾股定理、角平分线的性质及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，则． 【详解】解：∵． ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，已知，是的中线，是的中点，则 ． 【答案】 【分析】过点作，交于，根据平行线分线段成比例定理得到，，根据线段中点的性质得到，得到，，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：过点作交于， 则， 是的中线，是的中点， ，， ， ． 故答案为：． 3．如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，注意对应线段是解答的关键．利用平行线分线段成比例得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 解得：， ∴． ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴，． 类型二、相似多边形的性质 【解惑】如图，把一个长方形划分成二个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形长和宽之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质，如图，设，，根据相似图形的性质可得，即得，据此即可求解，掌握相似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设，， ∵每一个小长方形与原长方形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【融会贯通】 1．我国习惯上对开本的命名是以几何级数来命名的，全张纸对折后的大小为对开，再对折为4开纸，再对折为8开纸，再对折为16开纸，以此类推，如图，全张矩形纸沿对开后，再把矩形纸沿对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么等于（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】该题主要考查了相似多边形的性质，解题的关键是掌握相似多边形的性质． 根据矩形与矩形相似，且矩形的面积是矩形面积的2倍，根据相似图形面积比是相似比的平方，即可得； 【详解】解：∵矩形的面积是矩形面积的2倍， ∵各种开本的矩形都相似， ， ， 故选：C． 2．有一张矩形纸片，、分别是，的中点，现沿线段将矩形纸片一分为二，如果所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 设，，则，由所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似，可得矩形和矩形相似，则，即，可求，进而可求的值． 【详解】解：∵矩形， 设，，则， ∴四边形是矩形， ∵所得的两张矩形纸片与原来的矩形纸片相似， ∴矩形和矩形相似， ∴，即， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 3．如图，有一种复印纸，整张称为纸，对折一分为二裁开成为纸，一分为二成为纸…，它们都是相似的矩形． (1)求的值． (2)若纸的周长为286厘米，求纸的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似多边形的性质 （1）由图可知纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为，再由相似四边形的对应边成比例列出比例式，求值即可． （2）由（1）可知四边形相似比进而可得出四边形的周长之比，直接计算即可． 【详解】（1）解：∵纸的长为，宽为，纸的长为AB，宽为， ∴、纸的长与宽对应比成比例，得， ∴； （2）∵纸的周长为286厘米，； ∴纸的周长． 类型三、相似三角形的性质 【解惑】如图，已知四边形是平行四边形，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的值是（    ） A．6 B．5 C．8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，形似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质即可得解，由四边形是平行四边形，得，在证明，，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 解得， 故选：． 【融会贯通】 1．如图，点A的坐标为，点、C是直线上第一象限内的两点，且得到线段．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定与性质等，正确作出辅助线构造相似三角形，进而利用相似三角形的性质求解是解题的关键．过点C作交x轴于点D，先证明，可得，设，得，再代入得，再求解即可． 【详解】过点C作交x轴于点D， C是直线上第一象限内的点， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， 点A的坐标为， ， ， ∵， ∴， ， 得， ， 故选A 2．如图，在中，分别是的中点，和相交于点与相交于点，若，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要查了三角形的相似与判定，三角形中位线定理．连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到，进而得到，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 3．【感知】如图①，在中，于点．写出图中与相似的三角形，并用相似符号连接． 【探究】如图②，在中，点为边上一点，连接． 若，求证：． 【应用】如图③，在中，是边的中线．若，则的长为_______． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质： （1）根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可； （2）证明，即可得证； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，再证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∵， ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴； （3）延长至点，使，连接， ∵为边的中线 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 类型四、在坐标系中求位似图形的比 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为． (1)以坐标原点O为位似中心，位似比为，将作位似变换后得到，请在平面直角坐标系中画出． (2)设与，面积分别为和，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了位似变换， （1）直接利用位似比得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用位似图形的性质得出面积比即可． 【详解】（1）如图所示： 即为所求； （2）与是位似图形，位似比为， 【融会贯通】 1．如图，的顶点都在网格点上． (1)以点为位似中心，把按放大，在轴的左侧，画出放大后的，其中点的对应点为点，点的对应点为点； (2)点的坐标是________； (3)________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】 本题主要考查了位似作图，位似图形的性质． （1）依据点为位似中心，把按放大，在轴的左侧，即可画出放大后的； （2）依据点的位置，即可得到点的对应点的坐标； （3）依据相似三角形的面积之比等于位似比的平方，即可得到，进而得出． 【详解】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：点的对应点的坐标是， 故答案为：； （3） 解：由题可得，， ， 又位似比为， ， ． 故答案为：． 2．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上，请完成下列问题： (1)画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)以点为位似中心，为位似比，在网格中画出放大后的对应图形，； (3)求（2）中的面积． 【答案】(1)，图见解析； (2)图见解析； (3)30. 【分析】本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形及作位似图形．掌握轴对称和位似图形的性质，是解题的关键 （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据位似图形的性质，画出即可； （3）用割补法求出面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求作三角形，     点的坐标为； （2）如图所示，即为所求作三角形，     （3）由题图，知， 与的位似比为， 面积比为． ． 3．在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，，请在图1、图2的网格中作图．               图1                               图2 (1)在图1中，画出将绕点逆时针旋转得到的． (2)在图2中轴下方，画出以O为位似中心，将放大为原来2倍的； (3)直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和位似变换，位似变换的性质等等，正确根据坐标变换方式找到对应点位置是解题的关键． （1）根据旋转方式找到A、B对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）把A、B、C的横纵坐标都乘以得到对应点的横纵坐标，进而描出，再顺次连接即可； （3）根据位似图形的面积之比等于位似比的平方求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：∵与关于原点位似，且将放大为原来2倍得到， ∴与的位似比为， ∴． 类型五、相似三角形的判定——两角相等 【解惑】如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 【答案】(1)见解析 (2)添加，证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，垂直的概念，三角形全等的判定； （1）证明有两对角相等即可判断； （2）假设，可以推出即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：添加， 如果， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 故添加：，能证明． 【融会贯通】 1．如图，与交于点，，且交于，交于，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，先由平角的定义和三角形内角和定理证明，再根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴． 2．如图，在平行四边形中，过点作 垂足为．连接 为线段上一点，且．求证：．   【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，结合， ，即可得出，进而可证出． 【详解】解：四边形是平行四边形，    ， ， ， ． ∴． 3．如图，在中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据直角三角形的性质及垂直定义求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 类型六、相似三角形的判定———角相等夹边成比例 【解惑】如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽ 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，旋转的性质是解题的关键． 由旋转性质可得：，，，进而可得，，由此根据相似三角形的判定定理即可证明 【详解】证明：将绕点B逆时针旋转得到， 由旋转性质，得，，， ， ， ， 即， ∽ 【融会贯通】 1．如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，结合，则结论得证； （2）证明即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 2．如图，在正方形中，E为边的中点，点F在边上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质：熟练掌握正方形的性质，熟记两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键；由正方形的性质得出，设，得出，证出，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是正方形 设 ∵E为边的中点， ∴ 3．如图，，且，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，先求出，， 再证明即可． 【详解】证明：，且，， ， ，且， ， ， ， 又∵， 类型七、相似三角形的判定——三边成比例 【解惑】已知：在和中， ．求证：． 【答案】见解析 【分析】直接在线段（或它的延长线）上截取，得出，再证明，进而得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定，正确得出是解题关键． 【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E， ∵，∴， ∴， 又，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．如图，在边长为1的正方形网格中，和都是格点三角形．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，三角形相似的判定，先根据勾股定理求出、、、，得出，即可证明． 【详解】解：∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 2．如图，和在边长为1的正方形网格中，点均在格点上，试证这两个三角形相似． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和勾股定理是解题的关键．根据勾股定理和相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：，，，，，， ，，， ， ． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，作轴，垂足为点D，连接，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法， 分别求出和的各边长度，再根据对应边成比例即可解答． 【详解】证明：如答图，过点C作，交于点H. 由A，B，C三点的坐标可以得到, ， ， 在和中， ，，， ∴. ． 类型八、相似三角形的应用 【解惑】景区有一口水井，距离井边米处是最深的井底，小明想知道井有多深，于是走进观察，在距离井边米处刚好能看见井底，如果小明眼睛离地面的高度米，你能计算出水井的深度吗？ 【答案】10米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用举例，先证明，可得，从而可得答案； 【详解】解：， ， ， ， ， ， 米． 【融会贯通】 1．【数学眼光】 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示） 【数学思维】 但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． 问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度． 【数学语言】 问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？ 【答案】问题一：；问题二：；问题三：见详解 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， 问题一：根据反射特点可知，即可证明，有，即可求得． 问题二：由反射特点可知，，证得，，有，，结合得到，求得，可得； 问题三：（1）在角度误差上分析；（2）在测量距离上分析即可． 【详解】解：问题一：由反射特点可知， 又∵， ∴， ∴ ∵，， 即：， ∴． 问题二： 由反射特点可知，， ∵ ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得， ∴， 解得； 问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差； （2）实际中测量两点之间的距离也存在误差． 2．如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 【答案】这个建筑物的高度为12米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点A作，交于点F，垂足为G，根据，得到，根据相似三角形的性质列方程并求解，即得答案． 【详解】如图，过点A作，交于点F，垂足为G， 由题意，得厘米米，米，厘米米， ， ， ， ， 米． 答：这个建筑物的高度为12米． 3．如图，苏海和苏洋很想知道射阳日月岛上“生态守护者——徐秀娟”雕像的高度AB，于是，他们带着测量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在C处放置一平面镜，他从点C沿后退，当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离为1.2米；然后，苏海沿的延长线继续后退到点G，用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为，此时，测得米，测倾器的高度米．已知点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，求雕像的高度．    【答案】 【分析】根据已知条件推出，求得与的关系，再根据题意易得四边形、四边形、四边形均为矩形，得到，根据，得，构造一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：设米，如图，    根据题意可得，，， ∴， ∴, ∴， ∵点B、C、E、G在同一水平直线上，且、、均垂直于，， ∴四边形、四边形、四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得 ∴ 答：雕像的高度为16.8米． 【点睛】本题考查相似三角形的判定、性质与实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【一览众山小】 1．如图，一个高为的油筒内有油，一根木棒长，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分的长，则桶内油的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的判定方法得出，进而利用相似三角形的性质得出答案．根据题意得出相似三角形是解题关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 即桶内油的高度为：． 故选：D． 2．如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是（    ）m． A．18 B．8 C．8或18 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用：利用入射与反射的原理构建相似三角形，然后利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等解决．利用入射与反射得到，则可判断，于是根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：根据题意得， ，， ， ， ，即， 解得：． 该古城墙的高度为． 故选：B 3．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．根据网格中的数据求出的长，，求出，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意可得：，； ， A．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似． B．夹的两边之比为：，图中的三角形（阴影部分）与相似． C．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似． D．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故答案为：B． 4．如图，在矩形中，，，点、、分别在线段、、上，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，能通过构造辅助线构造相似三角形是解决本题的关键．过点作于点，交于点，求出，证，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角和是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，C在上，则点坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似定义及性质，等腰三角形性质等．根据题意得，再根据等腰直角三角形性质得到点的坐标，再根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵点，， ∴， ∵等腰直角和， ∴点的坐标为， ∵和是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为， ∴，即， 故答案为：． 6．已知点D、E分别在的边上，且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 先证明，再把数值代入进行计算，即可求解． 【详解】解：∵， ， ，即， ， 故答案为：． 7．如图，、交于点E，，且平分． (1)求证：； (2)若，，，则的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质． （1）由等边对顶角及角平分线的定义可得，再根据对顶角相等即可得证结论； （2）根据相似三角形的对应边成比例即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：2 8．如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶B在同一直线上，已知纸板的两条边，，延长交于点C，测得边离地面的高度，，求树高． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，得到，代入数值求出，根据线段的和即可得到答案． 【详解】解：∵，   ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：树高是． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$