专题04 图形的相似（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题04图形的相似思维导图 【类型覆盖】 类型一、重心的性质 【解惑】如图，在中，点D是边上任意一点，点E、F分别是和的重心，如果，那么线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【融会贯通】 1．如图，在中，，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果恰好经过的重心，那么的长为（   ） A．1 B． C． D．2 2．如图，中，G是重心，，，那么 3．教材呈现：如图是数学教材的部分内容．如图，在中，，分别是边，的中点，，相交于点，求证： 请根据教材提示，结合图①，填写出完整的证明过程． 证明：如图①，连接． 在中，，分别是边，的中点， ，______，___________， ______，， 结论应用：在中，对角线、交于点，为边的中点，、交于点． （1）如图②，若为正方形，且，则的长为______． （2）如图③，连接交于点，若四边形的面积为，则的面积为______． 类型二、相似中的平移 【解惑】如图，把菱形沿着它的对角线方向平移，得到菱形，若，则图中阴影部分的面积与四边形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，．点是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的面积为 ． 3．平移图形是解答几何题目时一种重要的添加辅助线策略． 如图①，在正方形中，E、F、G分别是、、上的点，于点Q．求证：． 小鹿在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法一：平移线段使点F与点B重合，构造全等三角形； 方法二：平移线段使点B与F重合，构造全等三角形；    【尝试应用】 (1)请按照小鹿的思路，选择其中一种方法进行证明； (2)如图②，点E、F、G、H分别是矩形边、、、上的点，且，若，，求的值； 【拓展探究】 (3)如图③，点E、F分别是平行四边形边、上的点，连接、交于点G，若，求证：． 类型三、相似中的折叠 【解惑】在中，分别在上，将沿折叠，使点落在处，若为的中点，则折痕的长为（    ） A． B．2 C．4 D．5 【融会贯通】 1．如图，等边三角形的边长为5，D、E分别是边、上的点，将沿折叠，点A恰好落在边上的点F处，若，则的长是（　　） A．2 B．3 C． D． 2．如图，在矩形中，，，E 为上一点，连接将沿折叠，点 B 落在边上点 H 处，F 为上一点，连接将沿折叠．D 点落在上 G 点处，连接，则的长为 .    3．在一次课上，王老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作探究】 “乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第1步：如图1，将边长为6的正方形纸片对折，使点A与点重合，展开铺平，折痕为； 第2步：再将边沿翻折得到； 第3步：延长交于点，则点为边的三等分点． 证明如下：连接，正方形沿折叠， ，， 又， （①） ．设， 是的中点，则， 在中，可列方程：___②___， 解得：，即是边的三等分点． “破浪”小组进行如下操作： 第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点重合，展开铺平，折痕为； 第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，展开铺平，折痕与折痕交于点； 第3步：过点折叠正方形纸片，使折痕． 【过程思考】 （1）“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是______； ②处所列方程是______； （2）结合“破浪”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论； 【拓展提升】 （3）①如图3，将矩形纸片对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点折叠矩形纸片，使折痕，若点为边的三等分点，请求出的值； ②在边长为6的正方形中，点是射线上一动点，连接，将沿翻折得到，直线与直线交于点H．若，请直接写出的长． 类型四、相似中的旋转 【解惑】如图，将矩形绕点顺时针方向旋转得到矩形，连接，点是的中点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．把两个全等的等腰直角三角形透明纸片如图1放置（点与点重合），若将绕点在平面内旋转，分别交边于点（点均不与点重合）．设，在旋转过程中，与的函数关系图象如图2所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，，点E在线段上（不与点B、C重合），连接，将绕点E按顺时针方向旋转得到．连接，则的度数是 ．设与交于点G，连接，，当最小时，四边形的面积是 ． 3．（1）如图1，E是正方形边上的一点，连接、，将绕点D逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点F和点G． ①线段和的数量关系是 ； ②线段，和之间的数量关系是 ． （2）当四边形为菱形，，点E是菱形边所在直线上的一点，连接、，将绕点D逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点F和点G． ①如图2，点E在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图3，点E在线段的延长线上时，交射线于点M，若，，直接写出线段的长度． 类型五、相似中的动点求t 【解惑】如图所示，点坐标为，点坐标为，动点从点开始沿以每秒1个单位长度的速度向点移动，动点从点开始沿以每秒2个单位长度的速度向点移动．如果、分别从、同时出发，用（秒）表示移动的时间（），那么： (1)当为何值时，四边形是梯形，此时梯形的面积是多少？ (2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 【融会贯通】 1．在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 2．如图，在中，．动点P从点B出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点A运动．作点A关于点P的对称点D，连结与．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P和点C重合时，线段的长为______； (2)当点P在边上运动时，若为等腰三角形，求t的值； (3)当点P在边上运动时，求周长的最小值，并求出此时t的值； (4)不添加任何辅助线，当图中存在三角形与相似时，直接写出t的值． 3．如图，在四边形中，，，，，，直线从出发，并始终保持与平行，并以每秒个单位的速度向运动，交于点，交于点，同时点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点运动．当点运动到点时，停止运动，同时直线也停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)线段的长度是_______；当_______时，． (2)求面积与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t使的面积是四边形面积的四分之一？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (4)是否存在某一时刻，使得是直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 类型六、一次函数中的相似 【解惑】如图，一次函数的图象分别交轴、轴交于点、，点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度出发，设点的运动时间为秒． (1)求点、的坐标； (2)点在运动过程中，若某一时刻，的面积为，求此时的坐标； (3)在整个运动过程中，是否存在这样的时刻，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在上，平行于y轴的直线从点A出发，以3个单位每秒的速度在射线上匀速运动，交直线于点P，交x轴于点Q，运动的时间为秒． (1)若，①求点C的坐标；②当时，求的长度； (2)当时，直接写出直线运动的过程中，与相似时（不包含重合时）t的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点，C点坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)平面内存在点F，使得以A，B，D，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标； (3)直线在E点左侧部分上有一点P，y轴右侧有一动直线轴交于M，作直线交l于N，是否存在点P使得无论直线l如何运动始终有与相似，若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点，与正比例函数交于点C，点C的坐标为．    (1)求一次函数的表达式． (2)如图1，点P为直线上一动点，若，求点P的坐标． (3)如图2，点H为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点E． ①当点落在y轴上时，求点的坐标． ②若为直角三角形，直接写出点H的坐标． 类型七、相似中的新定义 【解惑】【定义新知】 定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边． 【概念理解】 （1）如图1，在四边形中，，，，，，判断四边形是否为和谐四边形，并说明理由； （2）如图2，在矩形中，，连接，在的延长线上取一点E，连接，使得四边形是和谐四边形，是和谐对角线，是和谐边，求的长； 【拓展应用】 （3）如图3，四边形是某市规划中的居民户外活动广场，入口C设在上，、为两条笔直的小路，将广场分为三部分，三角形部分为市民健身区，方便市民健身，三角形部分为观赏区，用于种植各类鲜花，三角形部分为娱乐区，供老年人排练合唱或广场舞使用，与是广场的两条主干道．已知四边形与四边形都是和谐四边形，其中与分别是和谐对角线，与分别是和谐边．为了不影响周围居民，计划在娱乐区外围修建隔离带（宽度忽略不计），已知，求隔离带的长度（即的周长）．    【融会贯通】 1．请阅读下面材料，并完成相关任务： 定义：点P是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点P是的“相似点”． 例：如图①，点P在的内部，，则，故点P为的“相似点”． 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： (1)如图②，在中，，平分，求证：点P为的“相似点”； (2)如图③，若为锐角三角形，点E是的“相似点”，且点B与点A对应，点E在的平分线上，连接，若，求的值； (3)如图④，在菱形中，E是上一点，F是内一点，且，连接与交于点G，连接，若点G是的“相似点”，且，求证：． 2．对于平面直角坐标系中的点P和图形M，给出如下定义：将图形M绕P顺时针旋转得到图形N，当图形M与图形N有公共点时，我们称点P是图形M的“关联点”．已知，． (1)如图1，点P是线段的“关联点”，在点，，中，则满足条件的点是__________； (2)若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，直接写出b的取值范围； (3)以为圆心，1为半径的，若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围． 3．新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知是比例三角形，，，求的长； 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 类型八、相似中的无刻度尺作图 【解惑】如图是由边长为1的小正方形构成的：网格，点都是格点，点M是与纵格线的交点．仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，画出一个格点菱形（非正方形）； (2)在图1中，在边上作点N，使； (3)在图2中，作出将线段绕点A逆时针旋转后的线段； (4)在图2中，点P为格点线段和的交点，作出将P绕点A逆时针旋转后的点Q． 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，点均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①，__________． (2)如图②，在上找一点，使． (3)如图③，在上找一点，连接，使∽． 2．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题：      (1)如图（1），将线段AC绕着点A逆时针旋转得到线段AD； (2)如图（1），在边上找一点，连接，使； (3)如图（2），画出点关于的对称点，连接，在射线上取点，使得，画出点． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点请仅用无刻度的直尺在给定的网格中按下列步骤完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)如图，的三个顶点都在格点上，先画的角平分线，再画点关于对称的点； (2)如图，，为格点，为格线上的点，将线段进行平移，使点与点重合，在图中画出线段； (3)如图，，为格线上的点，将线段进行放大，得到线段，使，在图中画出线段． 【一览众山小】 1．如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且上的高，，则正方形的周长为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 2．如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为，则关于的函数图象为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知等腰三角形中，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当与相似时， ． 4．如图所示，在锐角三角形中，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动时间为 ． 5．【基础巩固】（1）如图1，在中，D，E分别在，上，连接，若，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在，上，连接，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在上，连接，，若，，，，求的长． 6．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点，连接，使，且． (3)在图③中，分别在边上画点，连接，使，且． 7．如图①，在中，，厘米，动点从点出发以每秒厘米的速度沿向点运动，过点作的垂线交折线于点，过点作的平行线交于点（点在上时，点与点重合），以，为邻边作平行四边形，点D运动的时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当t为何值时，点E在上； (3)如图②，当直线将平行四边形的面积分为的两部分时，直接写出t的值． 8．综合与实践 在一次综合实践活动课上，郑老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作探究】 “励志”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第步：如图所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为； 第步：将边沿解析到的位置； 第步：延长交于点，则点为边的三等分点． 证明过程如下：连接， ∵正方形沿折叠 ∴，， 又∵，∴ ∴．设（个单位），， ∵是的中点， ∴①________， ∴在中，可列方程：②________， 解得：，即是边的三等分点． “励志”小组是这样操作的： 第步：如图所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为； 第步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点； 第步：过点折叠正方形纸片，使折痕． 【过程思考】 （）“励志”小组的证明过程中，①处的值为_______；②处的方程是_______； （）结合“励志”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论； 【拓展提升】 （）如图，将矩形纸片对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点折叠矩形纸片，使折痕，若点为边的三等分点，请求出的值． （）如图，在菱形中，，，是上的一个三等分点，记点关于的对称点为，射线与菱形的边交于点，请直接写出的长． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04图形的相似思维导图 【类型覆盖】 类型一、重心的性质 【解惑】如图，在中，点D是边上任意一点，点E、F分别是和的重心，如果，那么线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形重心、相似三角形的判定与性质，连接并延长交于，连接并延长交于，由三角形重心的性质得出，，，，从而得出，证明，由相似三角形的性质可得，计算即可得解． 【详解】解：如图，连接并延长交于，连接并延长交于， ∵点E、F分别是和的重心， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果恰好经过的重心，那么的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】设的重心是，连接，延长交于，由三角形的重心的性质可得，再结合矩形的性质和平行线分线段成比例及余角的性质得到，代数求出，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设的重心是，连接，延长交于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ∵ ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的重心，平行线分线段成比例，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．如图，中，G是重心，，，那么 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．连接并延长交于E，根据重心的概念和性质得到，进而可得，由题意可得，进而可得，根据相似三角形对应边长的比例相等即可求出． 【详解】解：如图，连接并延长交于E， ∵G是的重心， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 3．教材呈现：如图是数学教材的部分内容．如图，在中，，分别是边，的中点，，相交于点，求证： 请根据教材提示，结合图①，填写出完整的证明过程． 证明：如图①，连接． 在中，，分别是边，的中点， ，______，___________， ______，， 结论应用：在中，对角线、交于点，为边的中点，、交于点． （1）如图②，若为正方形，且，则的长为______． （2）如图③，连接交于点，若四边形的面积为，则的面积为______． 【答案】教材呈现：，，，2；结论应用：（1）；（2）6 【分析】教材呈现：根据三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质即可求解； 结论应用：（1）先根据正方形的性质求出，再根据三角形重心的性质求出的长； （2）先根据三角形重心的性质以及三角形的面积公式求出的面积，再根据平行四边形的性质得到的面积． 【详解】解：教材呈现： 证明：如图①，连接． 在中，，分别是边，的中点， ，， ， ，， ． 故答案为：，，，2； 结论应用： （1）如图②，为正方形， 为等腰直角三角形，， ， ， 为边的中点，， 为的重心， ． 故答案为：； （2）如图③，连接． 为边的中点，， 为的重心，为的重心， ，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形重心的性质，三角形的面积，平行四边形的性质．掌握各定理与性质是解题的关键． 类型二、相似中的平移 【解惑】如图，把菱形沿着它的对角线方向平移，得到菱形，若，则图中阴影部分的面积与四边形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．首先得出，则 ，进而得出，即可得出答案． 【详解】， ， ， 菱形的对角线，把菱形沿着它的对角线方向平移，得到菱形， ，， ， ， ∴图中阴影部分图形的面积与四边形的面积之比为：． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形的变换—平移，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，先证明，根据相似三角形的性质可得，求出点的坐标，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： 则， ∵点，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点坐标为， 故选：A． 2．如图，在中，，，．点是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的面积为 ． 【答案】12 【分析】先在中，利用勾股定理求出的长，再根据平移的性质可得：，，从而可得四边形是平行四边形，然后利用平行线分线段成比例可得点是的中点，从而可得是的中位线，进而可得，最后利用平行四边形的面积公式进行计算，即可解答．本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，平移的性质，熟练掌握三角形的中位线定理，以及平移的性质是解题的关键． 【详解】解：，，， ， 由平移得：，， 四边形是平行四边形， ∴ ∴ 点是中点， ∴ 点是的中点， 是的中位线， ， 点是的中点， ， 四边形的面积， 故答案为：12． 3．平移图形是解答几何题目时一种重要的添加辅助线策略． 如图①，在正方形中，E、F、G分别是、、上的点，于点Q．求证：． 小鹿在分析解题思路时想到了两种平移法： 方法一：平移线段使点F与点B重合，构造全等三角形； 方法二：平移线段使点B与F重合，构造全等三角形；    【尝试应用】 (1)请按照小鹿的思路，选择其中一种方法进行证明； (2)如图②，点E、F、G、H分别是矩形边、、、上的点，且，若，，求的值； 【拓展探究】 (3)如图③，点E、F分别是平行四边形边、上的点，连接、交于点G，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)证明见解析． 【分析】（1）平移至，使点F与点重合，证明，进而得出结论； （2）将平移至，将平移至，可证得，进而得出结果； （3）平移至，交于，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于，，，从而得出，进一步得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，    平移至，使点F与点重合， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ． （2）解：如图2，    将平移至，将平移至， ，， 同理（1）得， ， 同理（1）可得： ，， ， ， ． （3）解：如图3，    平移至，交于，以点为圆心，为半径画弧，交的延长线于， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ， 在四边形中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行四边形、矩形的性质与判定，平移的性质，解本题的关键是根据题意做出适当的辅助线． 类型三、相似中的折叠 【解惑】在中，分别在上，将沿折叠，使点落在处，若为的中点，则折痕的长为（    ） A． B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握“A”字形三角形相似的判定和性质为解题关键．由折叠的特点可知，，又，则由同位角相等两直线平行易证，故，又为的中点可得，由相似的性质可得求解即可． 【详解】解：沿折叠，使点A落在点处， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 又为的中点，， ∴， ， 即， ． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，等边三角形的边长为5，D、E分别是边、上的点，将沿折叠，点A恰好落在边上的点F处，若，则的长是（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质、相似三角形的判定定理. 根据折叠得出，，，设，，，，证明，证，进而利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵沿折叠A落在边上的点F上， ∴， ∴，，， 设，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 即， 故选：C． 2．如图，在矩形中，，，E 为上一点，连接将沿折叠，点 B 落在边上点 H 处，F 为上一点，连接将沿折叠．D 点落在上 G 点处，连接，则的长为 .    【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过点G作，根据题意得出，然后通过构造相似三角形，由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过点G作，    由题意可知：， 又， ， ， 设，则 又， ，即， 解得：， ，， ， 又， ， ，， 又， 又， ，即 ， 故答案为：． 3．在一次课上，王老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作探究】 “乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第1步：如图1，将边长为6的正方形纸片对折，使点A与点重合，展开铺平，折痕为； 第2步：再将边沿翻折得到； 第3步：延长交于点，则点为边的三等分点． 证明如下：连接，正方形沿折叠， ，， 又， （①） ．设， 是的中点，则， 在中，可列方程：___②___， 解得：，即是边的三等分点． “破浪”小组进行如下操作： 第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点重合，展开铺平，折痕为； 第2步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，展开铺平，折痕与折痕交于点； 第3步：过点折叠正方形纸片，使折痕． 【过程思考】 （1）“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是______； ②处所列方程是______； （2）结合“破浪”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论； 【拓展提升】 （3）①如图3，将矩形纸片对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点折叠矩形纸片，使折痕，若点为边的三等分点，请求出的值； ②在边长为6的正方形中，点是射线上一动点，连接，将沿翻折得到，直线与直线交于点H．若，请直接写出的长． 【答案】（1）①，② （2）点是边的三等分点，证明见解析 （3）①；②3或12 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和勾股定理即可得到答案． （2）证明，得，再根据平行线的性质即可求解． （3）①设，则，，，由折叠性质，得．证明四边形是矩形，得，．证明，即可求解． ②分两种情况，当点H在线段上时，当点H在的延长线上时，连接，即可求解． 【详解】解：（1）连接，正方形沿折叠， ，， 又， （） ．设， 是的中点，则， 在中，可列方程：， 解得：，即是边的三等分点． 故答案为：；． （2）点是边的三等分点，证明如下： 分别是的中点， 是正方形， ，，， ，， ， ， ，， ， ，即， 点是边的三等分点． （3）①根据折叠可知． 点为边的三等分点， ． 设， 则，，． ． ，． ， ． 四边形是矩形， ，． 由勾股定理，得， 设，则． ，， ， ， ， ， ， 解得，经检验，符合题意， ． 故的值为． ②当点在线段上时，如图所示， 则， 同【探究操作】设，则, ∴在中，由勾股定理得， 解得 ， 当点在的延长线上时，连接，如图所示． 正方形的边长为6， ，． 由折叠的性质得， 又， ， ． 设． ，． 在，由勾股定理，可知， ，解得． 综上所述，的长为3或12． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，正方形的性质，解题关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质． 类型四、相似中的旋转 【解惑】如图，将矩形绕点顺时针方向旋转得到矩形，连接，点是的中点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形中的旋转问题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．连接，延长交于点，根据旋转的性质可得，，，，推出，，由勾股定理得，由点是的中点，可得，可证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】如图，连接，延长交于点， 矩形绕点顺时针方向旋转得到矩形，，， ，，，， ，， 在中，由勾股定理得：， 点是的中点， ，即， 又，， ， ， ， ， 故选：B． 【融会贯通】 1．把两个全等的等腰直角三角形透明纸片如图1放置（点与点重合），若将绕点在平面内旋转，分别交边于点（点均不与点重合）．设，在旋转过程中，与的函数关系图象如图2所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中的动点与函数图象，勾股定理和旋转根据题意若点与点重合，则， ，确定的值，判断选项；证明，判断选项和，由，，，则，，，从而判断，解题的关键是通过函数图象获取信息及熟练掌握知识点的应用． 【详解】由题意可知，若点与点重合，则， ， ∴，故选项中的结论不正确， 由可得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项中的结论不正确，选项中的结论正确， ∵，，， ∴，，， ∵，， ∴，故选项中的结论不正确， 故选：． 2．如图，在正方形中，，点E在线段上（不与点B、C重合），连接，将绕点E按顺时针方向旋转得到．连接，则的度数是 ．设与交于点G，连接，，当最小时，四边形的面积是 ． 【答案】 /45度 / 【分析】通过证明点A，F，C，E四点共圆，可得，可求的度数，由相似三角形的性质和全等三角形的性质可求，，的长，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点E顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴点A，F，C，E四点共圆， ∴， ∴， ∴当时，有最小值， 过点F作，交的延长线于N，交的延长线于点H， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：， 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 3．（1）如图1，E是正方形边上的一点，连接、，将绕点D逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点F和点G． ①线段和的数量关系是 ； ②线段，和之间的数量关系是 ． （2）当四边形为菱形，，点E是菱形边所在直线上的一点，连接、，将绕点D逆时针旋转，旋转后角的两边分别与射线交于点F和点G． ①如图2，点E在线段上时，请探究线段、和之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图3，点E在线段的延长线上时，交射线于点M，若，，直接写出线段的长度． 【答案】（1）①DB＝DG；②；（2）①，见解析；② 【分析】（1）①根据旋转的性质解答即可； ②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （2）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； ②作辅助线，计算和的长，根据平行线分线段成比例定理可得的长，根据线段的差可得结论． 【详解】解：（1）①，理由是： 绕点逆时针旋转，如图1， 由旋转可知，，， 四边形是正方形， ， ， ， ； 故答案为：； ②，理由如下： 由①知：，，， ， ， ， 中，， ， ， 即； （2）①如图2，， 理由如下：在菱形中，， 由旋转得，， 在中，， ， ， ， ， ， 过点作于点，如图2， ， ， 在中，， ． 设，则， ， ， ， ， ； ②过点作于，过作于，如图3， 中，，， ，， ， ， ， ， ， 中，，， ， 由旋转得：， ， ． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正方形和菱形的性质，直角三角形30度的角性质等知识，本题证明是解本题的关键． 类型五、相似中的动点求t 【解惑】如图所示，点坐标为，点坐标为，动点从点开始沿以每秒1个单位长度的速度向点移动，动点从点开始沿以每秒2个单位长度的速度向点移动．如果、分别从、同时出发，用（秒）表示移动的时间（），那么： (1)当为何值时，四边形是梯形，此时梯形的面积是多少？ (2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)当时，四边形是梯形，此时梯形的面积为27 (2)的值为秒或3秒 【分析】（1）当，四边形是梯形，此时易证，根据三角形相似得到，即，即可得到t，利用梯形的面积的面积的面积求面积； （2）讨论：当，即，此时，由（1）得；当，则，，即可得到t． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 当，四边形是梯形， ， ∴，即， ∴， ∴， ∴梯形的面积的面积的面积 ， 当时，四边形是梯形，此时梯形的面积为27； （2）解：， 当，则， ， 由（1）得； 当，则， ∴，即， ∴， 当的值为秒或3秒时，以点P、Q、B为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了坐标与图形，梯形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握分类讨论思想的运用以及三角形的相似的判定定理是解题的关键． 【融会贯通】 1．在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的性质，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题． （1）由点，点的运动速度和运动时间，又知的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （2）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出； （3）应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【详解】（1）解：由题意得， 则， ∴的面积为； （2）解：由题意得， 则， 当秒时，， 在中，由勾股定理得； （3）解：由题意得， 则， ∵． ∴①当时，， 即， 解得秒； ②当时，， 即， 解得秒． ∴秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似． 2．如图，在中，．动点P从点B出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点A运动．作点A关于点P的对称点D，连结与．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P和点C重合时，线段的长为______； (2)当点P在边上运动时，若为等腰三角形，求t的值； (3)当点P在边上运动时，求周长的最小值，并求出此时t的值； (4)不添加任何辅助线，当图中存在三角形与相似时，直接写出t的值． 【答案】(1)5 (2)t的值为或 (3) (4)当图中存在三角形与相似时， t的值为或3或 【分析】（1）利用勾股定理和线段的垂直平分线的性质解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法分三种情况讨论解答，当时，当时，当时，进而得到关于t的方程，解方程即可； （3）延长至，使，取的中点M，连接交于点P，此时周长的最小，利用三角形的中位线的性质得到周长的最小值； （4）利用分类讨论的方法和相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）∵ ∴ 当点P和点C重合时 ∵，点A关于点P的对称点D， ∴ ∴垂直平分 ∴ （2）当时，如图， ∵ ∴ 由题意得： ∴， ∵ ∴，解得：； 当时，如图， 由题意得：，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，此方程无解； ∴不存在； 当时，如图， 由题意得：， ∴ ∵ ∴，解得： 综上，为等腰三角形时，t的值为或 （3）延长至，使，取的中点M，连接交于点P，此时周长的最小 ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∵， ∴为的中位线 ∴ ∴周长的最小值 过点M作 ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴周长的最小值 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵动点P从点B出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点A运动， ∴ （4）当点P为的中点时， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴时满足存在三角形与相似； 当点P与点重合时 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴时满足存在三角形与相似； 当点P与点重合时 如果 ∴，即 由题意得：， ∴ ∴ ∵，解得：（不符合题意得舍去） 综上：当图中存在三角形与相似时， t的值为或3或 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论的思想方法，等腰三角形的性质，本题是动点问题，利用的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键． 3．如图，在四边形中，，，，，，直线从出发，并始终保持与平行，并以每秒个单位的速度向运动，交于点，交于点，同时点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点运动．当点运动到点时，停止运动，同时直线也停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)线段的长度是_______；当_______时，． (2)求面积与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t使的面积是四边形面积的四分之一？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (4)是否存在某一时刻，使得是直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在时，的面积是四边形面积的四分之一，理由见详解 (4)不存在某一个时刻使得是直角，理由见详解 【分析】（1）如图所示，过点作于点，交于点，可得四边形是矩形，，在中根据勾股定理可得；用含的式子分别表示出，，，，根据相似三角形的判定和性质可得，由此即可求解； （2）根据题意可证，解得，，，根据三角形面积的计算即可求解； （3）根据题意可得的面积为，由（3）可得，把代入，解一元二次方程即可； （4）假设是直角，运用勾股定理可得，再证，可得，列出关于的一元二次方程，运用根的判别式可得原方程无解，可得假设不成立，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，交于点， ∵，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在中，； 已知直线从出发，并始终保持与平行，并以每秒个单位的速度向运动，同时点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向点运动．设运动时间为秒， ∴，， ∴， 当时，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴当时，； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴ ， ∵点运动的时间为：，点运动的时间为：，当点运动到点时，停止运动，同时直线也停止运动， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下， 梯形的面积为：， ∴的面积是四边形面积的四分之一，则的面积为， 由（3）可得， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）， ∴存在时，的面积是四边形面积的四分之一； （4）解：不存在某一个时刻使得是直角，理由如下， 假设是直角， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，整理得，， ∵，原方程无解， ∴假设不成立， ∴不存在某一个时刻使得是直角． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，掌握梯形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程的方法等知识的综合是解题的关键． 类型六、一次函数中的相似 【解惑】如图，一次函数的图象分别交轴、轴交于点、，点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度出发，设点的运动时间为秒． (1)求点、的坐标； (2)点在运动过程中，若某一时刻，的面积为，求此时的坐标； (3)在整个运动过程中，是否存在这样的时刻，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可求得点、的坐标； （2）用表示出点的坐标，利用面积可求得的值，然后进一步求得点的坐标； （3）可用表示出、的长，分、和三种情况，分别得到关于的方程，即可求得的值． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 则点、的坐标为，； （2）解：点、的坐标为，， ，， ， 设点的坐标为， 的面积为， ， ， 解得：， 点的坐标为或； （3）解：由题意可知， 如果点在线段上，则有， 如果点在线段的延长线上，则有， 当为等腰三角形时，有、和三种情况， 当时， 如果点在线段上，则有， 解得：； 如果点在线段的延长线上，则有， 解得：； 当时， 过作，垂足为，如图： ，， 为中点，， ， 由，可知，， ，， ， ， 为中点， ， ； 当时， 过作，垂足为，过作，垂足为，如图： 则为中点， ， ，， ， ，， ， ， 即， ， ，， ， 又， ， ， 即， 解得：， 经检验是原分式方程的解； 综上可知，当的值为、、或时，为等腰三角形． 【点睛】本题是一次函数的综合应用，主要考查了坐标轴上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线的定义，三角形的面积，解分式方程等知识点，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在上，平行于y轴的直线从点A出发，以3个单位每秒的速度在射线上匀速运动，交直线于点P，交x轴于点Q，运动的时间为秒． (1)若，①求点C的坐标；②当时，求的长度； (2)当时，直接写出直线运动的过程中，与相似时（不包含重合时）t的值． 【答案】(1)①C点坐标为；②12或24 (2)或15或 【分析】（1）①先求出，，证明，，求出即可得出答案； ②先表示出，，根据，得出，求出t的值即可得出答案； （2）分两种情况进行讨论：当时，②当时，分别列出算式进行解答即可． 【详解】（1）解：①把，代入得， 把，代入得：，解得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得； ∴C点坐标为； ②由题可得，， ∴， ， ∵， ∴， 解得或8， ∴为12或24； （2）解：根据题意得：，， ∴，； ①当时，， 即， 解得或15； ②当时，， 即， 解得或6（舍去）， 综上所述t为3或15或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，三角形相似的判定和性质，两点间距离公式，一次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形相似的判定方法，注意分类讨论． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点，C点坐标为． (1)求直线的函数表达式； (2)平面内存在点F，使得以A，B，D，F为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点F的坐标； (3)直线在E点左侧部分上有一点P，y轴右侧有一动直线轴交于M，作直线交l于N，是否存在点P使得无论直线l如何运动始终有与相似，若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)点F的坐标为或或 (3)存在点P， 【分析】（1）求出，用待定系数法得直线的函数表达式为； （2）求出设，由可得，分三种情况：①若为对角线，则的中点重合，有，②为对角线，则，③为对角线，则，分别解方程组可得答案； （3）过P作于H，过H作轴，过D作于K，过P作于T，由，直线轴交于M，作直线交l于N，可得，故有，是等腰直角三角形，即可证，设，得，解方程组可得． 【详解】（1）解：把代入得， ∴ 设直线的函数表达式为， 将C点坐标，代入得： ， 解得 ， ∴直线的函数表达式为； （2）解：在中，令得，令得， ∴， ∵ 当时，，则 可得， 设， ①若为对角线，则的中点重合， ∴ 解得， ∴； ②为对角线， 则， 解得， ∴； ③为对角线， 则，， 解得； ∴； 综上所述，点F的坐标为或或； （3）解：存在点P，使得无论直线l如何运动始终有与相似，理由如下： 过P作于H，过H作轴，过D作于K，过P作于T，如图： ∵， ∴， ∴， ∵直线轴交于M，作直线交l于N， ∴， 由可知，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 设， ∵， ∴，， 解得， ∴ 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，平行四边形，等腰直角三角形，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 3．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点，与正比例函数交于点C，点C的坐标为．    (1)求一次函数的表达式． (2)如图1，点P为直线上一动点，若，求点P的坐标． (3)如图2，点H为线段上一动点，连接，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点E． ①当点落在y轴上时，求点的坐标． ②若为直角三角形，直接写出点H的坐标． 【答案】(1)； (2)或； (3)①；②或． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由，得到，即可求解； （3）①由得：，即可求解； ②当时，则，则点，则，即可求解；当时，同理可解． 【详解】（1）解：将点C的坐标代入得：， 即点， ∴一次函数的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）当点P在延长线上时， 由一次函数的表达式知，点，过点P作轴交于点H，    设点，则点， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴点P的坐标为：； 当点P在线段上时，同理可得：点P的坐标为：； 综上，点P的坐标为：或； （3）①设点的坐标为：， ∵， ∴， 解得：， ∴点的坐标为：； ②由①知，，设， 当时， ∴，则点， ∴，即， 解得：（舍去）或6， ∴点； 当时， ∴，， 由题意得：， ∴，即， 解得：， ∴点H的坐标为：； 综上，点H的坐标为：或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形相似、图形的翻折、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 类型七、相似中的新定义 【解惑】【定义新知】 定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边． 【概念理解】 （1）如图1，在四边形中，，，，，，判断四边形是否为和谐四边形，并说明理由； （2）如图2，在矩形中，，连接，在的延长线上取一点E，连接，使得四边形是和谐四边形，是和谐对角线，是和谐边，求的长； 【拓展应用】 （3）如图3，四边形是某市规划中的居民户外活动广场，入口C设在上，、为两条笔直的小路，将广场分为三部分，三角形部分为市民健身区，方便市民健身，三角形部分为观赏区，用于种植各类鲜花，三角形部分为娱乐区，供老年人排练合唱或广场舞使用，与是广场的两条主干道．已知四边形与四边形都是和谐四边形，其中与分别是和谐对角线，与分别是和谐边．为了不影响周围居民，计划在娱乐区外围修建隔离带（宽度忽略不计），已知，求隔离带的长度（即的周长）．    【答案】（1）是，见解析；（2）6；（3）． 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质以及和谐四边形的应用： （1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可得出结论； （2）根据四边形是和谐四边形的性质进行求解即可； （3）根据四边形是和谐四边形和四边形是和谐四边形得出，，，再证明，由得，得出，过点D作于M，设，则，根据勾股定理求出x的值，求出，再求出的周长即可 【详解】解：（1）四边形是和谐四边形. 理由：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形. 在中，∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是和谐四边形. （2）∵四边形是矩形， ∴，. ∵四边形是和谐四边形，是和谐对角线，是和谐边， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∴. （3）∵四边形是和谐四边形，为和谐对角线，为和谐边， ∴，四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是和谐四边形，为和谐对角线，为和谐边， ∴，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即 ∴. ∵， ∴相似比为1， ∴， ∴， 如图，过点D作于M，    ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴的周长， 故隔离带的长度为. 【融会贯通】 1．请阅读下面材料，并完成相关任务： 定义：点P是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点P是的“相似点”． 例：如图①，点P在的内部，，则，故点P为的“相似点”． 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： (1)如图②，在中，，平分，求证：点P为的“相似点”； (2)如图③，若为锐角三角形，点E是的“相似点”，且点B与点A对应，点E在的平分线上，连接，若，求的值； (3)如图④，在菱形中，E是上一点，F是内一点，且，连接与交于点G，连接，若点G是的“相似点”，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解题意，找准相似三角形的对应关系是解题关键. （1）由条件可推出，证即可； （2）由题意得，可推出，再证即可； （3）由题意得，可推出，延长交于点，证即可； 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∴点P为的“相似点” （2）解：由题意得： ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）证明：∵点G是的“相似点”，且， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 延长交于点，如图所示： 由题意得： ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即： ∵ ∴ ∴ 2．对于平面直角坐标系中的点P和图形M，给出如下定义：将图形M绕P顺时针旋转得到图形N，当图形M与图形N有公共点时，我们称点P是图形M的“关联点”．已知，． (1)如图1，点P是线段的“关联点”，在点，，中，则满足条件的点是__________； (2)若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，直接写出b的取值范围； (3)以为圆心，1为半径的，若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）连接和，过点B作轴于点H，利用两点之间距离得到，，结合勾股定理的逆定理即可知点A饶点顺时针旋转得到点B；由点知设点A、点B饶点顺时针旋转得到点、点，则得到点和点，由点的纵坐标小于点B纵坐标，可知线段与线段无交点；由点的坐标得和，利用勾股定理的逆定理即可知点B饶点顺时针旋转得到点A； （2）设线段饶点P顺时针旋转得，过点P作轴，与过点作交于点H，过点A作交于点G，由定义知，，利用可证得，即设点，求得点的纵坐标为，同理，可得点的纵坐标为，由“关联点”得线段的A点和线段的重合，或者线段的B点和线段的重合，分情况求解即可； （3）假设饶点P顺时针旋转得，则为等腰直角三角形，进一步可知与由公共点，，即线段上存在点P使得，①当点P与点B重合时，点T可以取得最大值，此时过点P作轴，即可求得t的最大值；②当点T到线段的距离为时，求得直线的解析式为，利用，得，即可求得t的最小值． 【详解】（1）解：连接和，过点B作轴于点H，如图， ∵，，， ∴， ∴ ∴ ∴点A饶点顺时针旋转得到点B， 则点是线段的“关联点”； ∵，，， ∴ 设点A、点B饶点顺时针旋转得到点、点，则 ∴点、点， ∵点的纵坐标小于点B纵坐标 ∴线段与线段无交点， 则点不是线段的“关联点”； ∵，，， ∴， ∴ ∴点B饶点顺时针旋转得到点A， 则点是线段的“关联点”； 故答案为：，； （2）设线段饶点P顺时针旋转得，过点P作轴，与过点作交于点H，过点A作交于点G，如图， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴ 由题意可设点， ∵，， ∴ ∴点的纵坐标为， 同理，可得点的纵坐标为， ∵点P为线段的“关联点”， ∴线段的A点和线段的重合，或者线段的B点和线段的重合， ①当线段的A点和线段的重合， ∵，点的纵坐标为， ∴，解得； ②当线段的B点和线段的重合， ∵，点的纵坐标为， ∴； 综上所述，； （3）假设饶点P顺时针旋转得，则为等腰直角三角形， ∵点P为的“关联点”， ∴与由公共点，如图， ∴， 即线段上存在点P使得， ①当点P与点B重合时，点T可以取得最大值，此时过点P作轴， ∵，，， ∴ 即t的最大值为4； ②当点T到线段的距离为时，如图， 则， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， 设点C为直线与x轴的交点，则点， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查新定义下与圆相关的动态综合题，涉及旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、两点之间的距离、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性质、圆的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解“关联点”，学会用动态的思维寻找特殊点解决问题． 3．新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形． 【问题提出】 （1）已知是比例三角形，，，求的长； 【问题探究】 （2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，． ①求证：； ②求证：是比例三角形． 【问题延伸】 （3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析；（3）能． 【分析】本题考查了新定义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程． （1）根据比例三角形的概念，分类讨论，列式计算即可求解； （2）①利用两角对应相等，证明即可； ②利用角平分线的定义证明角相等，推出，再利用得到对应边成比例，即可求解； （3）证明，利用相似三角形的性质，列出一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：（1）是比例三角形，且，， ①当时，得， 解得， ， （不符合题意，舍去）； ②当时，得， 解得. ， （不符合题意，舍去）； ③当时，得， 解得（负值已舍去）， 当时，是比例三角形， （2）①证明：四边形是矩形， ， ， 又， ； ②证明：由①，知， ，即. ∵， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形； （3）能， 当点C与点Q重合时，， ， ， ， ， ， ，， ； 在中，，即， 解得或（舍去）， ． 类型八、相似中的无刻度尺作图 【解惑】如图是由边长为1的小正方形构成的：网格，点都是格点，点M是与纵格线的交点．仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)在图1中，画出一个格点菱形（非正方形）； (2)在图1中，在边上作点N，使； (3)在图2中，作出将线段绕点A逆时针旋转后的线段； (4)在图2中，点P为格点线段和的交点，作出将P绕点A逆时针旋转后的点Q． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）由于，利用网格的特点结合菱形的性质作出图形即可； （2）由于，取格点和，连接交于点N，利用相似三角形的判定和性质，可知点N即为所作； （3）利用全等三角形的判定和性质即可作出图形； （4）分别作点绕点A逆时针旋转后得到点，连接交于点Q，点Q即为所作． 【详解】（1）解：菱形如图1所示； ； （2）解：点N，如图1所示； （3）解：线段如图2所示； ； （4）解：点Q如图2所示； 【融会贯通】 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为，点均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①，__________． (2)如图②，在上找一点，使． (3)如图③，在上找一点，连接，使∽． 【答案】(1)； (2)作图见解析； (3)作图见解析． 【分析】（）由可得，即可求解； （）取格点，连接，与相交于点，在中由勾股定理可得，又由可得，即得，即可得，故点即为所求； （）取格点，连接，与相交于点，连接，则，点即为所求． 本题考查了相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 理由：∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 2．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．按步骤完成下列问题：      (1)如图（1），将线段AC绕着点A逆时针旋转得到线段AD； (2)如图（1），在边上找一点，连接，使； (3)如图（2），画出点关于的对称点，连接，在射线上取点，使得，画出点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换，轴对称变换，相似三角形的性质与判定； （1）利用旋转变换的性质作出点的对应点即可； （2）取格点，，连接交于点，连接（利用相似三角形的性质证明：：：，可得）； （3）取格点，作射线（），取格点，，连接交于点，取格点，，作直线，交射线于点，点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求；    （2）如图1中，点即为所求； （3）如图2中，点，点即为所求．    ∵, ∴， 在中，， ∵（平行四边形）， ∴， ∴， ∴． 3．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点请仅用无刻度的直尺在给定的网格中按下列步骤完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． (1)如图，的三个顶点都在格点上，先画的角平分线，再画点关于对称的点； (2)如图，，为格点，为格线上的点，将线段进行平移，使点与点重合，在图中画出线段； (3)如图，，为格线上的点，将线段进行放大，得到线段，使，在图中画出线段． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查轴对称、平移以及相似三角形的性质； （1）根据勾股定理，等腰三角形的性质即可得到角平分线，再根据平行线的性质，等腰三角形的性质可作出点关于的对称点； （2）由点的对应点的位置，可得平移的方向和距离，进而确定点的对应点，作线段即可； （3）根据平行线等分线段定理，结合网格可得，同理得到，连接即可． 【详解】（1）如图， 在中，，， ， 由于，连接，而的中点恰是格点，画线段交于点， 根据等腰三角形的性质可知，是的平分线； 借助网格过点作的平行线交于点， 此时点与点关于对称； （2）如图， 由点的对应点的位置可知，点平移的方向和距离为：将点先向下平移个单位，再向左平移个单位， 因此将点先向下平移个单位，再向左平移个单位可得点，作线段； （3）如图， 取格点，连接，延长，根据平行线等分线段定理可知， 同理可得，由相似三角形的性质可知． 【一览众山小】 1．如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且上的高，，则正方形的周长为（    ） A．2 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段的和与差等知识．解题的关键是根据比例表示出相应线段列方程．根据三角形相似，找到对应线段成比例列方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，，， 解得：， 正方形的周长为 故选：C． 2．如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为，则关于的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判断与性质，函数的图象，勾股定理等知识，先利用勾股定理求出，利用等面积法求出，再利用勾股定理求出，同理求出，利用三角形面积公式求出，的面积，证明，利用相似三角形的性质求出的面积，即可求出四边形的面积，然后根据函数解析式判断即可． 【详解】解：过作于，如解图， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， 随的增大而减小，且与的函数图象为线段（不含端点）， 观察各选项图象可知，A符合题意． 故选：A． 3．如图，已知等腰三角形中，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当与相似时， ． 【答案】或20 【分析】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和为对应边以及和为对应边两种情况． 【详解】解：设运动时间为， 当时，有， 即， 解得：， ∴， 当时，有， 即， 解得：或（舍去）， ∴， 综上所述，当或时，与相似， 故答案为：或20． 4．如图所示，在锐角三角形中，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动时间为 ． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为x秒，根据题意：，则，再分当，当，两种情况根据相似三角形对应边成比例建立方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：，则， 当，则， ∴， 解得：； 当，则， ∴， 解得：； 综上所述，当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动时间为或． 答案：3或． 5．【基础巩固】（1）如图1，在中，D，E分别在，上，连接，若，求证：； 【尝试应用】（2）如图2，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在，上，连接，若，，，求的长； 【拓展提高】（3）如图3，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在上，连接，，若，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据已知条件，证明，根据相似三角形的性质即可得证； （2）根据平行四边形的性质得出，，证明，，，可得，结合（1）的结论代入数据即可求解； （3）延长交于点G，同（2），可得，再证明，即可． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， 解得：（负值已舍去） ∴； （3）如图，延长，交于点G， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴ 解得：（负值舍去）； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即（负值已舍去）． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 6．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边上画点，连接，使，且． (2)在图②中，分别在边上画点，连接，使，且． (3)在图③中，分别在边上画点，连接，使，且． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查格点图中画相似三角形： （1）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （3）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求； 7．如图①，在中，，厘米，动点从点出发以每秒厘米的速度沿向点运动，过点作的垂线交折线于点，过点作的平行线交于点（点在上时，点与点重合），以，为邻边作平行四边形，点D运动的时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长； (2)当t为何值时，点E在上； (3)如图②，当直线将平行四边形的面积分为的两部分时，直接写出t的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）分和两种情况，结合等腰直角三角形的性质，进行求解即可； （2）点在上时，易得为等腰直角三角形，分别求出的长，根据，列出方程进行求解即可； （3）分和两种情况，画出图形，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作于， ∵，， ∴，， ∴， ∵点运动到时，， ∴当时， ∵，，， ∴； 当时，如图， 同法可得：； 综上：或； （2）解： 当点在上时，如图： ∵，，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，如图：设交于点， ∵， ∴，的面积等于， ∵直线将平行四边形的面积分为的两部分， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， 解得：； 当时，如图： 同法可得：， 由（2）知：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即： ， 解得：或（舍去）； 综上：或． 【点睛】本题考查三角形的综合应用．涉及等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，难度大，综合性强，解题的关键是根据题意，画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解． 8．综合与实践 在一次综合实践活动课上，郑老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作探究】 “励志”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第步：如图所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为； 第步：将边沿解析到的位置； 第步：延长交于点，则点为边的三等分点． 证明过程如下：连接， ∵正方形沿折叠 ∴，， 又∵，∴ ∴．设（个单位），， ∵是的中点， ∴①________， ∴在中，可列方程：②________， 解得：，即是边的三等分点． “励志”小组是这样操作的： 第步：如图所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为； 第步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点； 第步：过点折叠正方形纸片，使折痕． 【过程思考】 （）“励志”小组的证明过程中，①处的值为_______；②处的方程是_______； （）结合“励志”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论； 【拓展提升】 （）如图，将矩形纸片对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点折叠矩形纸片，使折痕，若点为边的三等分点，请求出的值． （）如图，在菱形中，，，是上的一个三等分点，记点关于的对称点为，射线与菱形的边交于点，请直接写出的长． 【答案】（），；（）点是边的三等分点，证明见解析；（）；（）或． 【分析】（）根据中点定义、折叠的性质及勾股定理即可求解； （）利用正方形的性质可证，即得，得到，再由可得，即可求证； （）由折叠可得，设，则，，，进而根据得到，，，即得，由四边形是矩形， 得到，，又由勾股定理得，设，则，证明可得，据此可得，得到，最后代入计算即可求解； （）连接交于点，由菱形的性质可得，，，进而由勾股定理得 ，再分和两种情况画出图形解答即可求解． 【详解】解：（）由题意可得，①处的值为，②处的方程是， 故答案为：，； （）点是边的三等分点，证明如下： 由第步的操作可知分别是的中点， ∵是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴点为边的三等分点； （）由折叠得，， ∵点为边的三等分点， ∴ ， 设，则，，， 由折叠性质得，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理得，， 设，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； （）连接交于点，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 分两种情况： ①当时，如图所示，连接，与交点，则，， 由对称性可知，，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得（不合，舍去），， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，连接，则，， 由对称性可知，，， ，， 过点作于点，如图所示，则， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得（不合，舍去），（不合，舍去）， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，余角性质，运用分类讨论思想并正确画出图形解答是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$