专题05 投影与视图（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题05投影与视图思维导图 【类型覆盖】 类型一、判断非实心几何体的三视图 【解惑】如图，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为（    ）      A．   B．   C．   D．   2．如图，某机器零件的三种视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ． 3．画出如图所示的几何体的三种视图，下面是磊磊与浩浩的画法． 磊磊的画法 浩浩的画法 你认为谁的画法是正确的？并说明理由． 类型二、由三视图还原几何体 【解惑】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．棱柱 【融会贯通】 1．如图是一个几何体的三视图，则该几何体是（    ） A． B． C． D． 2．如图是一个几何体的三视图，其俯视图为菱形，根据图中的数据，该几何体的体积为 ． 3．一个几何体的三个视图如图所示（单位：）． (1)写出这个几何体的名称：__________； (2)若其俯视图为正方形，根据图中数据计算这个几何体的表面积． 类型三、已知三视图求边长 【解惑】如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（    ）． A． B．3 C．4 D．5 【融会贯通】 1．三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（    ）    A．6cm B． C． D．4cm 2．如图所示是三棱柱的三视图，在中，，，，则的长为 3．某四棱柱的三种视图如图所示，其中在俯视图四边形中，，． (1)根据图中给出的数据左视图的周长为____________． (2)根据图中给出的数据俯视图中的长为____________． (3)根据图中给出的数据俯视图中的长为____________． (4)根据图中给出的数据俯视图四边形面积为____________． 类型四、由三视图判断小立方体的个数 【解惑】如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数至少是（　　） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【融会贯通】 1．某同学用若干同样大小的小立方体积木搭成了一个几何体，并画出了几何体的三视图，则搭建几何体所需要的小立方体个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．用若干个大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭出这个几何体最多需要 个小立方体． 3．如图是由7个同样大小的小正方体搭成的几何体． (1)请分别在网格图中画出从正面、从左面、从上面看到的这个几何体的形状图； (2)如果让该几何体变成一个长方体，则至少需要添加__________个小正方体； (3)若每个小正方体的棱长为2，求这个几何体的表面积． 类型五、已知三视图求侧面积或表面积 【解惑】如图，根据一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的侧面积为（   ）． A． B． C． D． 2．如图所示为一几何体的三种视图（单位：）通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，得这个几何体的侧面积是 ． 3．如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图． (1)在图②的横线．上填写出两种视图的名称； (2)根据两种视图中的数据（单位：），计算这个组合几何体的表面积． 类型六、已知三视图求体积 【解惑】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（   ） A．24 B． C．96 D． 【融会贯通】 1．如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 2．已知直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个正方形，则这个直四棱柱的体积是 ． 3．某直三棱柱零件如图①所示，张师傅根据此零件按的比例画出准确的三视图（如图②）．已知在中，，又知．求： (1)的长； (2)这个直三棱柱的体积． 类型七、已知三视图求最多或最少的小立方块 【解惑】如图，在地面上，若干个完全相同的小正方体堆成一个几何体． (1)请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)若保持从左面和从上面看到的这个几何体的形状图不变，最多可以再添加几个这样的小正方体？ 【融会贯通】 1．人们从不同的方向观察某个物体，可以看到不同的图形．一般地，我们把从正面看到的图形称为正视图，把从左面看到的图形称为左视图，把从上面看到的图形称为俯视图． 在桌面上，由十个完全相同的小正方体搭成了一个几何体，如图所示． (1)请画出这个几何体的三视图． 正视图 左视图 俯视图 (2)若将此几何体的表面喷上红漆（接触桌面的一面不喷），则三个面上是红色的小正方体有（    ）个． (3)若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持正视图和左视图不变，则最多可以添加（    ）个小正方体． 2．一个几何体由几个相同的小立方块搭成，从上面看和从正面看到的形状如图所示，从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数． (1)　　，　　， ； (2)这个几何体最少由 个小立方块搭成，最多由 　　个小立方块搭成； (3)当时，画出从左面看到的这个几何体的形状图． 3．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_________个小正方体组成，请画出这个几何体的三视图； (2)如果在这个几何体露在外面的表面（不含底面）喷上黄色的漆，每平方厘米用2克，则共需_________克漆； (3)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加________个小正方体． 类型八、画小立方块堆砌的三视图 【解惑】如图1，在平整的地面上，用8个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)请在图2中画出从正面、左面和上面看到的这个几何体的形状图； (2)如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加______________个小正方体； (3)图1中8个小正方体搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）是______________． 【融会贯通】 1．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)请画出这个几何体从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上黄色的漆，每平方厘米用2克，则共需______克漆（不包括底面）； 2．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题：    (1) __________，__________，__________； (2)这个几何体最少由__________个小立方块搭成； (3)请在网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图． 3．如图是由10个边长为1的小正方体组合成的简单几何体． (1)画出该几何体的主视图、左视图和俯视图； (2)该几何体的表面积（含底面）是______________． (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______________个小正方体． 【一览众山小】 1．用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状图如图所示．则搭成这样的几何体需要小立方块个数为（   ） A．最多需要8块，最少需要7块 B．最多需要8块，最少需要6块 C．最多需要7块，最少需要6块 D．最多需要6块，最少需要5块 2．如图是由8个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   3．如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是 个．当用14个小正方体搭建这个几何体时，满足条件的几何体一共有 种摆法． 4．如图，一个立体图形从正面看到的是图形A，从上面看到的是图象B，这个立体图形是( )，它的体积是( )立方厘米．如果用一个长方体（或正方体）盒子包装它，这个盒子的容积至少( )立方厘米． 5．如图，晚上，王叔叔走在大街上，他发现：当他站在大街两边甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平干燥地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长，乙灯照射的影子长，又王叔叔的身高为，两盏路灯的高度相同，路灯相距，求路灯的高． 6．如图，是一个组合几何体，右边是它的两种视图，根据两种视图中尺寸（单位：），计算这个组合几何体的表面积及体积．（用表示） 7．从上面看由几个边长为1的相同的小立方块达成的几何体得到的图形如图所示，方格中的数字表示该位置的小立方块的个数．    (1)请在上面方格纸中分别画出从正面和左面看这个几何体所得到的图形； (2)这个几何体的表面积为 平方单位； (3)若从上面看上述小立方块搭成的几何体得到的图形不变，各位置的小立方块个数可以改变（总数目不变），则所搭成的几何体中表面积最大为 平方单位． 8．（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图． （2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示．请在从上面看到的图形的小正方形中填人相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．其中，图1填人的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最少组成该几何体的小立方块的个数． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05投影与视图思维导图 【类型覆盖】 类型一、判断非实心几何体的三视图 【解惑】如图，该几何体的俯视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三视图，俯视图，从上面看到的平面图形，注意能看到的棱都要画成实线，不能看到的线画成虚线． 【详解】解：从上面看这个几何体看到的是三个长方形， 所以俯视图是： 故选C 【融会贯通】 1．如图是在长方体中挖出一个圆柱体得到的几何体，这个几何体的主视图为（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据从正面看可得主视图，看不见的用虚线表示解答即可； 【详解】从正面看是个长方形，看不到里面的圆柱，故是虚线 故选A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 2．如图，某机器零件的三种视图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ． 【答案】俯视图 【分析】画出零件的三视图，根据该三视图，结合轴对称、中心对称的意义进行判断即可． 【详解】解：该几何体的三视图如下： 三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图， 故答案为：俯视图． 【点睛】本题考查简单组合体的三视图，中心对称、轴对称，理解视图的意义，掌握简单组合体三视图的画法以及轴对称、中心对称的意义是正确判断的前提． 3．画出如图所示的几何体的三种视图，下面是磊磊与浩浩的画法． 磊磊的画法 浩浩的画法 你认为谁的画法是正确的？并说明理由． 【答案】磊磊，理由见解析 【分析】注意在画三视图时实线和虚线的画法，得见的线条画成实线，看不见的线条画成虚线，据此可判断谁正确． 【详解】磊磊的画法正确，理由如下： 在画三种视图时，看得见的线条画成实线，看不见的线条但是确实存在的，画成虚线，所以磊磊的画法正确． 【点睛】本题考查三视图实线虚线的区别，解题关键在于了解掌握在画三视图时看得见的线条画成实线，看不见的线条但是确实存在的，画成虚线． 类型二、由三视图还原几何体 【解惑】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（    ） A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．棱柱 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据三视图判断几何体，掌握三视图的定义是解题的关键． 根据三视图判断几何体的形状即可； 【详解】解：由已知三视图可知，主视图、左视图为长方形，俯视图为圆，则符合条件的立体图形是圆柱； 故选：A． 【融会贯通】 1．如图是一个几何体的三视图，则该几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三视图，根据主视图排除部分选项，再根据几何左视图和俯视图即可知答案． 【详解】解：根据主视图可知几何体共有两层，第二层中间有一个正方体，左边三个小正方体是一个整体，右边有一个独立的小正方体，排除A、C和D，且结合左视图和俯视图可知B正确． 故选：B． 2．如图是一个几何体的三视图，其俯视图为菱形，根据图中的数据，该几何体的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查四棱拄，三视图，熟练掌握四棱拄的性质是解题的关键； 对四棱拄侧面图形的形状要了解，熟悉三视图，会观察几何体的三视图．然后根据棱柱体积公式求解即可； 【详解】解：该几何体的形状是直四棱柱， 由三视图知，棱柱底面菱形的对角线长分别为，． 所以棱柱的体积． 故答案为：． 3．一个几何体的三个视图如图所示（单位：）． (1)写出这个几何体的名称：__________； (2)若其俯视图为正方形，根据图中数据计算这个几何体的表面积． 【答案】(1)长方体 (2) 【分析】本题考查几何体的三视图，熟知常见几何体的三视图是解答的关键． （1）根据三个方向看到的图形可得出该几何体是长方体； （2）根据三视图中数据，由长方体的表面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由三个方向看到的图形可得，该几何体是长方体， 故答案为：长方体； （2）解：由所给数据，该长方体的底面是边长为的正方形，高为， ∴这个几何体的表面积为． 类型三、已知三视图求边长 【解惑】如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中的值为（    ）． A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体、勾股数的应用等知识点，根据左视图的形状，求得左视图的宽成为解题的关键． 根据主视图、俯视图，根据立体图上的尺寸标注，求得左视图为长方形，其长为6，再根据底面运用等面积法求得长方形的长即可． 【详解】解：如图所示，根据俯视图中三角形的三边分别为3，4，5， ∴俯视图为直角三角形，且斜边为5， ∴斜边上的高为 ∴左视图为长方形，其长为6，宽为，即． 故选：Ａ． 【融会贯通】 1．三棱柱的三视图如图，中，，，，则的长为（    ）    A．6cm B． C． D．4cm 【答案】A 【分析】过点E作于点Q，根据三视图的意义，得到，用勾股定理计算即可． 【详解】过点E作于点Q， 根据三视图的意义，得到，    ∵，， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了几何体的三视图计算，正确理解三视图的意义是解题的关键． 2．如图所示是三棱柱的三视图，在中，，，，则的长为 【答案】5 【分析】过E作交于点，根据，，即可得到，根据左视图即可得到； 【详解】解：过E作交于点， ∵，，， ∴， 由左视图可得， ， 故答案为5； 【点睛】本题考查正确理解几何体的三视图，直角三角形所对直角边等于斜边一半，解题的关键是正确理解三视图． 3．某四棱柱的三种视图如图所示，其中在俯视图四边形中，，． (1)根据图中给出的数据左视图的周长为____________． (2)根据图中给出的数据俯视图中的长为____________． (3)根据图中给出的数据俯视图中的长为____________． (4)根据图中给出的数据俯视图四边形面积为____________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据左视图和主视图高平齐，即可求得左视图的周长 （2）由主视图可知，左视图可知，交于O，可知，进而可求得 （3）在中可求得的长 （4）由于，，即可得四边形面积为： 【详解】（1）∵左视图和主视图高平齐， ∴左视图的周长为：， 故答案为： （2）∵由主视图可知，左视图可知，设交于O，可知， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为： （3）由（2）可知：， 故答案为： （4）由（2）可知：， 故答案为： 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体三种视图的特征，掌握三视图的特点是解决问题的关键 类型四、由三视图判断小立方体的个数 【解惑】如图是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数至少是（　　） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出第二的个数，从而算出总的个数． 【详解】解：由俯视图可得最底层有5个小正方体，第二层最少有2个小正方体，则组成这个几何体的小正方体至少为个． 故选：B． 【融会贯通】 1．某同学用若干同样大小的小立方体积木搭成了一个几何体，并画出了几何体的三视图，则搭建几何体所需要的小立方体个数为（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考点是由三视图还原实物图，考查利用三视图的作图规则，由三视图还原实物图的能力，这是三视图的一个重要应用，也是三视图在实际问题中的主要运用． 根据给出的几何体，通过动手操作，观察可得答案为7，也可以根据画三视图的方法，发挥空间想象能力，直接想象出每个位置正方体的数目，再加上来． 【详解】解：由三视图可知，搭建几何体所需要的小立方体个数， 故选：C． 2．用若干个大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状如图所示，则搭出这个几何体最多需要 个小立方体． 【答案】9 【分析】本题考查了从不同方向看立体图形，根据不同方向上看到图形的特点进行分析即可求解． 【详解】解：从正面看，包括上下两层，上层最少有2个，结合从上面看的图形可得，最多有4个， 从上面看，包括两排，共5个， ∴搭出这个几何体最少需要7个小立方体，最多需要9个小立方体， 故答案为：9 ． 3．如图是由7个同样大小的小正方体搭成的几何体． (1)请分别在网格图中画出从正面、从左面、从上面看到的这个几何体的形状图； (2)如果让该几何体变成一个长方体，则至少需要添加__________个小正方体； (3)若每个小正方体的棱长为2，求这个几何体的表面积． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【分析】本题考查从不同方向观察几何体，求小立方块堆砌图形的表面积： （1）根据从不同方向观察到的几何图形作图即可； （2）将该几何体变成一个的立方体时，需要添加的小正方体最少； （3）从正面、左面、上面看到的图形面积之和的2倍，加上2个被挡住面的面积，即为几何体的表面积． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由图可知，该几何体变成一个的长方体时，需要添加的小正方体最少， 因此至少需要添加的小正方体的个数为：， 故答案为：5； （3）解：结合（1）中图形可得，这个几何体的表面积为： ， 即这个几何体的表面积为． 类型五、已知三视图求侧面积或表面积 【解惑】如图，根据一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由三视图还原立体图形并求组合体的表面积，涉及圆柱的表面积求法，根据三视图准确得到立体图形，熟练掌握圆柱表面积求法列式求解即可得到答案，发挥空间想象能力，熟记圆柱表面积计算方法是解决问题的关键． 【详解】解：有这个几何体的三视图可知，几何体是两个圆柱的组合体，上层是直径较小的圆柱、下层是直径较大的圆柱， 这个几何体的表面积是两个圆柱的表面积减去上层圆柱底面圆面积的2倍，则； ； 这个几何体的表面积是， 故选：C． 【融会贯通】 1．已知某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的侧面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三视图判断几何体和几何体的表面积，观察该几何体的三视图发现该几何体为长方体，然后根据提供的尺寸求得其侧面积即可．解题的关键是能够根据三视图判断几何体的形状及各部分的尺寸． 【详解】解：观察该几何体的三视图发现该几何体为长方体，其底面边长为，宽为，高为， ∴， ∴该几何体的侧面积为其侧面积为． 故选：B． 2．如图所示为一几何体的三种视图（单位：）通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，得这个几何体的侧面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求几何体的侧面积以及几何体的三视图，先由三视图得出这个几何体是正三棱柱，结合侧面积等于三个长方形的面积之和，即，据此作答． 【详解】解：依题意，这个几何体是正三棱柱 ∴ ∴这个几何体的侧面积是 故答案为： 3．如图①是一个组合几何体，图②是它的两种视图． (1)在图②的横线．上填写出两种视图的名称； (2)根据两种视图中的数据（单位：），计算这个组合几何体的表面积． 【答案】(1)主，俯 (2)（） 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键． （1）根据三视图的定义判断即可； （2）根据图中数据，该几何体的表面积由一个长方体和一个圆柱组成，根据表面积计算公式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据三视图的定义，第一个为主视图，第二个为俯视图； （2）解： （）． 类型六、已知三视图求体积 【解惑】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（   ） A．24 B． C．96 D． 【答案】B 【分析】此题考查了三视图，圆柱的体积等知识，根据三视图得到几何体是圆柱体，底面半径是，高是6，即可得到答案. 【详解】解：由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是，高是6， 则这个几何体的体积为． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图是某几何体的三视图，根据图中的数据，求得该几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是由三视图判断几何体的形状并计算几何体的体积，根据给出的几何体的三视图可知几何体是由一个圆柱和一个长方体组成，从而利用三视图中的数据，根据体积公式计算即可． 【详解】由三视图可知，几何体是由一个圆柱和一个长方体组成， 圆柱底面直径为20，高为8，长方体的长为30，宽为20，高为5， 故该几何体的体积为：， 故选：D． 2．已知直四棱柱的三视图如图所示，俯视图是一个正方形，则这个直四棱柱的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解该几何体的形状，根据题意可知该直四棱柱的底面是一个对角线长为的正方形，它的高为，进而得出这个直四棱柱的体积． 【详解】解：根据题意可知该直四棱柱的底面是一个对角线长为的正方形， 这个直四棱柱的体积为：， 故答案为：． 3．某直三棱柱零件如图①所示，张师傅根据此零件按的比例画出准确的三视图（如图②）．已知在中，，又知．求： (1)的长； (2)这个直三棱柱的体积． 【答案】(1)厘米 (2)立方厘米 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三棱柱的三视图及三棱柱的体积计算： （1）过点E作于点H，则根据题意可得出，然后由勾股定理计算即可得出答案； （2）根据三棱柱的体积等于底面积乘以棱柱的高进行计算即可． 【详解】（1）解：过点E作于点H，如图． 在中，， ∴． ∴． ∴由勾股定理，得， ∴． 由图形可知． （2）解：直三棱柱的体积． 类型七、已知三视图求最多或最少的小立方块 【解惑】如图，在地面上，若干个完全相同的小正方体堆成一个几何体． (1)请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图； (2)若保持从左面和从上面看到的这个几何体的形状图不变，最多可以再添加几个这样的小正方体？ 【答案】(1)见解析 (2)最多可以再添加个这样的小正方体 【分析】本题考查作图三视图，解题的关键是理解三视图的定义． （1）观察几何体的形状，根据三视图的定义画出图形； （2）根据题目要求利用俯视图解决问题． 【详解】（1）解：三视图如图所示： （2）解：若保持从左面和从上面看到的这个几何体的形状图不变，最多可以再添加个这样的小正方体见俯视图中的黑点 【融会贯通】 1．人们从不同的方向观察某个物体，可以看到不同的图形．一般地，我们把从正面看到的图形称为正视图，把从左面看到的图形称为左视图，把从上面看到的图形称为俯视图． 在桌面上，由十个完全相同的小正方体搭成了一个几何体，如图所示． (1)请画出这个几何体的三视图． 正视图 左视图 俯视图 (2)若将此几何体的表面喷上红漆（接触桌面的一面不喷），则三个面上是红色的小正方体有（    ）个． (3)若现在你的手头还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持正视图和左视图不变，则最多可以添加（    ）个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了从不同角度观察物体，求三视图求最多或最少的小立方块的个数．需熟练掌握三视图的概念以及画法是解题的关键． （1）根据题意中三视图的概念画出平面图形即可； （2）根据立体图形可以直接分析，只有最下层中间排最右端一个小正方体三个面上是红色； （3）要保持正视图和左视图不变，最底层可以加3个，第二层可以加1个，共可加4个． 【详解】（1）解：由题意作图如下： 正视图 左视图 俯视图 （2）解：由题意知，若将此几何体的表面喷上红漆（接触桌面的一面不喷），则三个面上是红色的小正方体有1个， 故答案为：1； （3）解：由题意知，若现在还有一些相同的小正方体可添放在几何体上，要保持正视图和左视图不变，则最多可以添加4个小正方体， 故答案为：4． 2．一个几何体由几个相同的小立方块搭成，从上面看和从正面看到的形状如图所示，从上面看到的形状图中，小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数． (1)　　，　　， ； (2)这个几何体最少由 个小立方块搭成，最多由 　　个小立方块搭成； (3)当时，画出从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】(1)1，1，2 (2)8，10 (3)见解析 【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，作图﹣三视图，熟练掌握三视图的画法是解题的关键． （1）结合俯视图和主视图判断即可； （2）结合图形，判断左视图左边一列小正方形的个数即可； （3）根据题意，画出图形即可． 【详解】（1）解：由俯视图和主视图可知，； 故答案为：1，1，2； （2）解：由俯视图可知底层有5个，由主视图可知，左边一列最少有4个正方形，最多有6个正方体，中间一列有2个，右边一列有2个正方形， 所以这个几何体最少由8个小立方块搭成，最多由10个小立方块搭成； 故答案为：8，10； （3）解：当时，如图： 3．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由_________个小正方体组成，请画出这个几何体的三视图； (2)如果在这个几何体露在外面的表面（不含底面）喷上黄色的漆，每平方厘米用2克，则共需_________克漆； (3)若现在你手头还有一些相同的小正方体，如果保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加________个小正方体． 【答案】(1)10，见解析 (2)64 (3)4 【分析】本题考查作图三视图，解题的关键是理解题意，学会正确作出三视图． （1）根据三视图的画法，画出从正面、左面、上面看到的形状即可； （2）求出表面积，不含底面，即可求出需要漆的质量； （3）从俯视图上相应位置增加小立方体，使左视图不变，确定添加的数量． 【详解】（1）由图可知小正方形的个数为：， 这个几何体的主视图、左视图、俯视图的形状图如下： 故答案为：10； （2）解：（克）， 故答案为：64； （3）解：在俯视图的相应位置上，添加小正方体，使左视图不变，添加的位置和最多的数量如图所示： 因此最多可添加4块． 故答案为：4． 类型八、画小立方块堆砌的三视图 【解惑】如图1，在平整的地面上，用8个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)请在图2中画出从正面、左面和上面看到的这个几何体的形状图； (2)如果现在你还有一些大小相同的小正方体，要求保持从上面和左面看到的形状图都不变，最多可以再添加______________个小正方体； (3)图1中8个小正方体搭成的几何体的表面积（包括与地面接触的部分）是______________． 【答案】(1)作图见解析 (2)1 (3) 【分析】此题考查了作三视图，几何体的表面积等知识，熟练掌握三视图和几何体的基本知识是解题的关键． （1）根据根据三视图的定义分别画出从正面看，从左面看，从上面看的图即可； （2）根据题意，结合从左面看的图，从上面看的图将多余的小正方体补进去即可； （3）根据立体图形的表面积求解方法进行计算即可． 【详解】（1）如图所示： （2）结合题意，小正方体可以加在从前往后第二排第二层的空缺处，最多可以再添加1个正方体． 故答案为：1． （3）根据小正方体的棱长都为，可知每个面的小正方形面积为，从对立体图形的观察可知，暴漏在外的面一共由32个，则几何体的表面积是． 故答案为：32． 【融会贯通】 1．在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)请画出这个几何体从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)如果在这个几何体露在外面的表面喷上黄色的漆，每平方厘米用2克，则共需______克漆（不包括底面）； 【答案】(1)见解析 (2)64 【分析】本题考查从不同方向观察几何体，求小立方块堆砌图形的表面积： （1）根据三视图的定义画出这个几何体的三视图即可； （2）从正面、左面、上面看到的图形面积之和的2倍，加上2个被挡住面的面积，即为几何体的表面积，去了地面上的6个，由此即可求解． 【详解】（1）解：看到的图形如图所示； （2）解：从正面、左面看到的图形面积之和的2倍，加上上面看到的图形，再加上2个被挡住面的面积， 即 ∴ 2．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和上面看到的形状如下图所示，从上面看到形状图中小正方形中的字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题：    (1) __________，__________，__________； (2)这个几何体最少由__________个小立方块搭成； (3)请在网格图中画出小立方块最多时几何体的左视图． 【答案】(1)3，1，1 (2)9 (3)见解析 【分析】本题考查简单组合体的三视图 （1）根据主视图，俯视图可直接得出a、b、c的值； （2）在各个位置上摆放相应的小正方体，直至最少即可； （3）在俯视图上的相应位置标注相应位置所摆放的小立方体的个数，即可画出数量最多时的左视图． 【详解】（1）解：由主视图和俯视图可知，， 故答案为：3，1，1； （2）解：最少时，即，而e所在的“列”最少有一处为2即可， 因此，最少需要（个）， 故答案为：9； （3）解：在俯视图上的相应位置标注相应位置所摆放的小立方体的个数，数量最多时的左视图如下：   ． 3．如图是由10个边长为1的小正方体组合成的简单几何体． (1)画出该几何体的主视图、左视图和俯视图； (2)该几何体的表面积（含底面）是______________． (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加______________个小正方体． 【答案】(1)见解析 (2)38 (3)4 【分析】本题考查了作图−三视图，用到的知识点为：计算几何体的表面积应有顺序的分为相对的面进行计算不易出差错；三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． （1）从正面看得到从左往右3列正方形的个数依次为3，1，2；从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为3，2，1；从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次3，2，1，依此画出图形即可； （2）有顺序的计算上下面，左右面，前后面的表面积之和即可； （3）根据保持这个几何体的俯视图和左视图不变，可知添加小正方体是2列的第2行加1个、第3行加2个，3列加1个，依此即可求解． 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：， ∴该几何体的表面积（含底面）是38， 故答案为：38； （3）解：由分析可知，最多可以再添加个小正方体； 故答案：4. 【一览众山小】 1．用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何体的形状图如图所示．则搭成这样的几何体需要小立方块个数为（   ） A．最多需要8块，最少需要7块 B．最多需要8块，最少需要6块 C．最多需要7块，最少需要6块 D．最多需要6块，最少需要5块 【答案】C 【分析】本题考查了由三视图求最多或最少的小立方块的个数．熟练掌握几何体的三视图是解题的关键． 由图可知，底层需要4块小立方块，顶层最少需要2块，最多需要3块，然后求解作答即可． 【详解】解：由图可知，底层需要4块小立方块，顶层最少需要2块，最多需要3块， ∴搭成这样的几何体需要小立方块个数为最多需要7块，最少需要6块， 故选：C． 2．如图是由8个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，掌握几何体的三视图的定义及空间想象能力成为解题的关键． 观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看：一共三列左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有3个小正方形据此即可解答． 【详解】解：从正面看，一共三列，左边有2个小正方形，中间有2个小正方形，右边有3个小正方形，主视图是：    故选：C． 3．如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是 个．当用14个小正方体搭建这个几何体时，满足条件的几何体一共有 种摆法． 【答案】 13 10 【分析】本题考查俯视图小正方形的个数即为最底层的小正方体的个数，主视图第二层和第三层小正方形的个数即为其余层数小正方体的最少个数． 由俯视图易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层正方体的可能的最少个数，相加即可，再根据小正方体的个数最少的情况，判断得用14个小正方体搭建这个几何体时，只需再最少的情况中，小正方体个数为1的位置再放1个即可． 【详解】解：由俯视图易得最底层有8个正方体，由主视图第二层最少有3个正方体，第三层最少有2个正方体，则组成这个几何体的小正方体的个数最少是：． 根据三视图可画图小正方体的个数最少的情况如下： 则用14个小正方体搭建这个几何体时，只需再最少的情况中，小正方体个数为1的位置再放1个即可， ∴满足条件的几何体一共有10种摆法， 故答案为：13，10． 4．如图，一个立体图形从正面看到的是图形A，从上面看到的是图象B，这个立体图形是( )，它的体积是( )立方厘米．如果用一个长方体（或正方体）盒子包装它，这个盒子的容积至少( )立方厘米． 【答案】 圆锥 96 【分析】本题主要考查圆锥的体积公式、长方体的体积（容积）公式等知识点，灵活运用相关公式是解题的关键． 根据从正面看到的图形是三角形、从上面看到的图形是圆即可确定该立体图形成为圆锥；再根据圆锥的体积公式、长方体的体积公式即可解答． 【详解】解：由从正面看到的图形是三角形、从上面看到的图形是圆可得该立体图形为圆锥； 该圆锥的体积为：（立方厘米）； 要包装该圆锥，最小需要底面边上为4厘米，高为6厘米的长方体，则该盒子的容积为：（立方厘米）． 故答案为：圆锥，，96． 5．如图，晚上，王叔叔走在大街上，他发现：当他站在大街两边甲、乙两盏路灯（路灯足够亮）之间，并且自己被两边的路灯照在水平干燥地面上的影子成一直线时，甲灯照射的影子长，乙灯照射的影子长，又王叔叔的身高为，两盏路灯的高度相同，路灯相距，求路灯的高． 【答案】 【分析】根据题意，得，，继而得到，，列比例式，解答即可． 本题考查了中心投影，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 解得， 答：路灯高为． 6．如图，是一个组合几何体，右边是它的两种视图，根据两种视图中尺寸（单位：），计算这个组合几何体的表面积及体积．（用表示） 【答案】表面积为，体积为 【分析】本题考查了几何体的三视图、圆柱和长方体的表面积及体积，熟练掌握三视图的概念是解题关键．先根据三视图得出圆柱和长方体的数据，再根据这个组合几何体的表面积等于长方体的表面积与圆柱的侧面积之和、这个组合几何体的体积等于圆柱与长方体的体积之和计算即可得． 【详解】解：由三视图可知，长方体的长、宽、高分别为、、，圆柱的高为，圆柱的底面直径为，则圆柱的底面半径为， 所以这个组合几何体的表面积为 ， 这个组合几何体的体积为， 答：这个组合几何体的表面积为，体积为． 7．从上面看由几个边长为1的相同的小立方块达成的几何体得到的图形如图所示，方格中的数字表示该位置的小立方块的个数．    (1)请在上面方格纸中分别画出从正面和左面看这个几何体所得到的图形； (2)这个几何体的表面积为 平方单位； (3)若从上面看上述小立方块搭成的几何体得到的图形不变，各位置的小立方块个数可以改变（总数目不变），则所搭成的几何体中表面积最大为 平方单位． 【答案】(1)画图见解析 (2)24 (3)26 【分析】此题考查了从不同方向看几何图形及几何体的表面积的计算，在计算表面积时容易出错，要一个面一个面的进行查找，避免遗漏． （1）从正面看有2列，每列小正方形数目分别为1，3；从左边看有2列，每列小正方形数目分别为3，2，从而可得答案； （2）结合从三个方向看到的正方形的数量，继而可得出表面积； （3）要使表面积最大，则需满足两正方体重合的最少，画出从上面看到的图形，计算表面积即可． 【详解】（1）解：从正面看有2列，每列小正方形数目分别为1，3；从左边看有2列，每列小正方形数目分别为3，2， 图形分别如下：    ； （2）解：这个几何体的表面积为平方单位； （3）解：从上面看上述小立方块搭成的几何体得到的图形不变，各位置的小立方块个数可以改变（总数目不变） 而要使表面积最大，则需满足两正方体重合的面最少，此时从上面看的图形为：    ∴最大表面积为平方单位． 8．（1）一个几何体由一些大小相同的小正方体搭成，如图是从上面看这个几何体的形状图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图． （2）用小立方块搭一几何体，使它从正面看，从左面看，从上面看得到的图形如图所示．请在从上面看到的图形的小正方形中填人相应的数字，使得小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．其中，图1填人的数字表示最多组成该几何体的小立方块的个数，图2填入的数字表示最少组成该几何体的小立方块的个数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据俯视图中小正方体的个数结合主视图，主视图是从前面向后看得到的图形，从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形画出图形，根据俯视图中小正方体的个数结合左视图，左视图是从左边向右看得到的图形，从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形画出图形即可； （2）根据俯视图的图形两行三列，中间列一行，从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个正方形，右边列2个正方形，从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形，左列前行可以是1个正方体或2个正方体，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列前行2个正方体，右边列后行可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少8个正方体如图2在俯视图中标出个数即可． 【详解】解：（1）从正面看分左中右三列，左边列有2个正方形，中间列有3个正方形，右边列有4个正方形，如图 从左边看分左中右三列，左边列1个正方形，中间列4个正方形，右边列2个正方形， 如图所示： （2）从正面看分左中右三例，左边列3个正方形，中间列1个正方形，右边列2个正方形， 从左面看，分两行，前行后行，前行2个正方形，后行3个正方形， 左列前行可以是1个正方体或两个正方体，，左列后行3个正方体，中间列只有前行1个正方体，右边列前行2个正方体，后列可以1个或2个正方体，最多10个正方体如图1，最少8个正方体如图2． 根据题意，填图如下： 【点睛】本题考查根据俯视图画主视图与左视图，根据主视图与左视图确定组成图形的正方体的个数，从立体图形到平面图形的转化三视图，由平面图形三视图到立体图形还原几何体空间想象能力，本题难度较大，培养空间想象力，掌握相关知识是解题关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$