精品解析：陕西省榆林市子洲县子洲县周家硷中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

九年级教学素养测评（一）数学 上册第一章第1节～第二章第4节 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的值不可能为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程方程的定义，根据一元二次方程的二次项系数不为0求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，则， 故选：A． 2. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，利用平方根定义，用开平方方法即可解方程． 【详解】解：， ∴， ∴，， 故选D 3. 图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，是解题的关键．利用正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵正方形的对角线与相交于点O， ∴ ∴， 故选项正确；选项B错误； 故选B． 4. 已知菱形的两条对角线长分别是4和6，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. 12 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形面积的求解方法：①底乘以高，②对角线积的一半．根据菱形的面积公式即． 【详解】解：根据题意得： 则菱形的面积为12，   故选：C． 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．对于，当， 方程有两个不相等的实根，当， 方程有两个相等的实根，， 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6. 如图，菱形的顶点的坐标分别为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、坐标与图形，勾股定理，根据菱形的性质，可得，，进而即可求得顶点D的坐标，注意数形结合思想的应用是解此题的关键． 【详解】解：∵菱形的顶点的坐标分别为， ∴，， ∴顶点D的坐标为． 故选：B． 7. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是( ) A. 若，则四边形是正方形 B. 若，则四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形，平行四边形，菱形和矩形的判定，根据相关判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判定四边形是正方形，原选项判断错误； B、，不能判定四边形是平行四边形，原选项判断错误； C、，则四边形是矩形，原选项判断错误； D、，则四边形是矩形，原选项判断正确； 故选：D． 8. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 解得， ∴一元二次方程必有一根为， 故选：． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知是方程的一个根，则实数的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将，代入原方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 10. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，若杯内水面刚好经过点，且，则水杯底面与水平面夹角的大小为________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，矩形的性质，三角形内角和定理，根据题意可知，根据平行线的性质得出，根据矩形的性质得出，根据三角形内角和求出求出结果即可． 【详解】解：延长交于点G，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 【答案】１ 【解析】 【分析】将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∴ 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 12. 如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，过点作于，则，由正方形的性质可得，，进而可得四边形是正方形，即得，最后利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中， ，，为边上一点，，为边上一动点，连接、，将沿折叠，点的对应点为点，当落在边上时，的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理是解题的关键．由折叠的性质可得，,再由勾股定理求得，得,最后由列方程求解即可． 【详解】在矩形中， ，，， ，，，, 将沿折叠，点的对应点为点， ，, 在中，， ∴, ，且 ∴. 解得. 故答案为： 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】根据因式分解法即可求出答案． 【详解】解：， ， 或， ∴，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程——因式分解法，熟练掌握因式分解是解决本题的关键． 15. 如图，矩形的对角线，相交于点，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，邻补角．熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定与性质，邻补角是解题的关键．证明是等边三角形，则，进而可求． 【详解】解：∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的度数为． 16. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据根的判别式，得出，解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得：． 17. 如图，在中，，为边的中点，顶点，分别对应刻度尺上的和，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解作答即可． 【详解】解：由题意可知，， 又∵，且为边的中点， ∴， ∴的长为． 18. 如图，在平行四边形中，请用尺规作图法，以为对角线求作一个菱形，点在上，点在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图， 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，菱形的判定，垂直平分线的性质，先作出的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得，，然后证明，最后由菱形的判定即可证明四边形是菱形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：分别以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧分别交于点， 连接，分别与，交于点， 连接； 根据作图可知：垂直平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴菱形即为所求． 19. 下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： （1）小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； （2）请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】（1）二 （2） 或， 解得：或． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法． （1）第二步不符合等式的性质； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【小问1详解】 解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； 【小问2详解】 略 20. 如图，某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分的面积为，求原正方形空地的边长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设原正方形空地的边长为，则剩余部分是长为，宽为的长方形，根据矩形的面积计算公式列出方程即可求解，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原正方形空地的边长为，则剩余部分是长为，宽为的长方形， 根据题意得，， 整理得，， 解得（不合题意，舍去）， 答：原正方形空地的边长为． 21. 如图，在中，是上一点，，平分交于点，平分交于点，，求证：四边形是矩形． 【答案】 证明： ∵平分，平分. ∴. ∴， 即． ∵，平分， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 先根据角平分线的定义得到然后再根据，得到结论即可． 【详解】略 22. 我们规定：对于任意实数，，，有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：，已知关于的方程的一个根为2． （1）的值为________． （2）求方程的另一个根． 【答案】（1） （2）方程的另一个根是4 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程的根和解一元二次方程，正确理解新定义列出方程是解题的关键． （1）根据新定义可得，且方程的一个根为2，将代入求解，即可得到的值； （2）由（1）知，则可得方程，整理得，再利用因式分解法求解方程，由方程的一个根为2，即可得到方程的另外一个根． 【小问1详解】 解：根据定义得：，且方程的一个根为2， 则即， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知， ，即， ， 解得：， 方程的一个根为2， 方程的另一个根是4． 23. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：． （2）若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵为等腰直角三角形，，为中线， ∴，， ∴平行四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质． （1）由“”可证，由全等，可得； （2）先根据（1）的结论得到四边形是平行四边形，然后等腰直角三角形的性质得到，，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明： ∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）24． 【解析】 【分析】（1）通过为菱形得到，，又，所以可知，从而得到为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形． （2）易知是直角三角形，为斜边的中点，得到，进而可得到是等边三角形，再通过角度计算出，再通过勾股定理求出，进而可得到四边形的周长． 【详解】解：（1）略 （2） ∵， ∴是直角三角形． ∵为的中点， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵． ∴． ∴， ∴． ∵四边形为菱形． ∴． 在中，， ∴ ∴（负值舍去）． ∵四边形为菱形， ∴菱形的周长为． 【点睛】本题考查菱形的证明及基本性质，等边三角形性质，勾股定理、直角三角形斜边上中线等于斜边一半，熟练掌握基本知识点是解题关键． 25. 已知关于x的方程可以变形为的形式． 下面通过列表探究的变形： 变形 m n P （1）依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． （2）记的两种变形为和，求的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）由表格中的数据观察即可得到答案； （2）利用表中的数据可得到为一次项系数的相反数，由此即可得到答案； （3）由方程变形可得，，从而，整理即可解答． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7； ②，，，， 为一次项系数的相反数， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由可得， 由可得， ∴，， ∴， ∴． 26. 如图，四边形为矩形，，，分别为，边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边（或直角边所在直线）分别与矩形的边交于点，． （1）操作发现： 如图1，当三角板的一条直角边交于点，另一条直角边交于点时，求证：． （2）深入探究： 如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由． （3）拓展探究： 在（2）的条件下，若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：∵在矩形中， ，，分别为，边上的中点， ∴，， ∴四边形和四边形都是正方形． ∴，． ∵． ∴， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （2） 同（1）可得． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，． ∴ ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形面积的计算，熟练掌握矩形的性质、三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）由已知可得四边形和四边形都是正方形．再证明．由此可得，进而证明结论； （2）同理（1）可得，，再证明，利用全等三角形性质和直角三角形的内角互余即可证明结论； （3）根据（2）的结论，利用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵， ∴，，， 当时， ． ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级教学素养测评（一）数学 上册第一章第1节～第二章第4节 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于的方程是一元二次方程，则的值不可能为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 2. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 图（1）的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一，方鼎的口呈正方形（如图（2）），正方形的对角线与相交于点O，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知菱形的两条对角线长分别是4和6，则菱形的面积为（ ） A. 48 B. 24 C. 12 D. 9 5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 如图，菱形的顶点的坐标分别为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则下列判断正确的是( ) A. 若，则四边形是正方形 B. 若，则四边形是平行四边形 C. 若，则四边形是菱形 D. 若，则四边形是矩形 8. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知是方程的一个根，则实数的值是_________． 10. 如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，若杯内水面刚好经过点，且，则水杯底面与水平面夹角的大小为________． 11. 一元二次方程配方为，则k的值是______． 12. 如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为______． 13. 如图，在矩形中， ，，为边上一点，，为边上一动点，连接、，将沿折叠，点的对应点为点，当落在边上时，的长为________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 如图，矩形的对角线，相交于点，若，求的度数． 16. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 17. 如图，在中，，为边的中点，顶点，分别对应刻度尺上的和，求的长． 18. 如图，在平行四边形中，请用尺规作图法，以为对角线求作一个菱形，点在上，点在上．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： （1）小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； （2）请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 20. 如图，某校准备将校园内的一块正方形空地进行改造，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余部分的面积为，求原正方形空地的边长． 21. 如图，在中，是上一点，，平分交于点，平分交于点，，求证：四边形是矩形． 22. 我们规定：对于任意实数，，，有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：，已知关于的方程的一个根为2． （1）的值为________． （2）求方程的另一个根． 23. 如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：． （2）若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形． 24. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 25. 已知关于x的方程可以变形为的形式． 下面通过列表探究的变形： 变形 m n P （1）依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系． （2）记的两种变形为和，求的值． 26. 如图，四边形为矩形，，，分别为，边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边（或直角边所在直线）分别与矩形的边交于点，． （1）操作发现： 如图1，当三角板的一条直角边交于点，另一条直角边交于点时，求证：． （2）深入探究： 如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由． （3）拓展探究： 在（2）的条件下，若，，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $