培优04 导数中的零点问题（五大题型）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 培优04 导数中的零点问题 题型01零点的证明问题 例1．已知函数且． (1)若，求在处的切线方程； (2)在①；②两个条件中任选一个，证明：恰有三个零点． 例2．设函数. (1)当时，求在上的最大值; (2)讨论的单调性; (3)若，证明只有一个零点. 练习1．已知函数，且曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)证明：函数有两个零点． 练习2．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数在上的最大值； (3)当时，求函数的单调区间； (4)证明：当时，函数有且仅有一个零点． 练习3．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个极值点， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：函数有且只有一个零点． 练习4．已知函数 . (1)讨论函数的单调性; (2)当时，证明：函数有且仅有一个零点. 题型02判断或讨论零点的个数 例3．已知函数. (1)当时，求曲线在的切线方程； (2)设在区间上的最大值为，求，并判断函数的零点个数. 例4．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当恒成立时，判断的零点个数． 练习1．已知函数， (1)讨论函数的的单调性； (2)若函数有极值点， （i）求实数a的取值范围； （ii）判断的零点个数. 练习2．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，判断零点个数，并说明理由． 练习3．已知. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)令，当时，判断零点的个数，并说明理由. 练习4．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的极值； (3)当时，判断零点个数，并说明理由． 题型03根据零点个数求参数范围 例5．函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 例6．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在区间[0，2]上有且仅有一个零点，求的取值范围. 练习1．已知函数. (1)试研究函数的极值点； (2)若恰有一个零点，求证. 练习2．设函数． (1)当时，求的最小值； (2)若恰有两个零点，求a的取值范围． 练习3．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恰有两个零点，求的取值范围. 练习4．已知函数 (1)已知直线l过点且直线l与曲线在处的切线方程平行，求直线l的方程； (2)证明:； (3)若函数有且只有两个零点，求a的取值范围. 题型04三角函数的零点问题 例7．已知 (1)将，，，按由小到大排列，并证明； (2)令 求证: 在内无零点. 例8．已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)求函数在上的单调性； (3)求函数在上的零点个数. 练习1．已知函数. （1）当时，求的单调性及零点的个数； （2）当时，求的零点的个数. 练习2．已知函数为的导函数，． (1)求的值; (2)求在上的零点个数． 练习3．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设，求证：当时，在区间上有且仅有2个零点. 练习4．已知函数. (1)求的极值； (2)判断在上的零点个数，并说明理由. 题型05与零点有关的不等式问题 例9．已知函数在定义域上不单调. (1)求的取值范围； (2)若函数存在两个极值点，且极大值点为，最大的零点为，求证：. 例10．已知函数，. (1)求证：有且仅有三零点. (2)设为最小的零点，证明：当，. 练习1．已知函数． (1)若曲线在点处的切线为轴，求的值； (2)若， ①求的单调区间； ②求证：存在两个零点，且满足． 练习2．已知函数. (1)求的值； (2)若函数有3个零点，其中. （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 练习3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，为函数的两个零点，求证：． 练习4．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线在轴上的截距； (2)若只有一个零点，求； (3)若有两个不同的零点，证明：. 1．已知函数函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则恰有2个零点 B．若恰有2个零点，则的取值范围是 C．若恰有3个零点，则的取值范围是 D．若，则恰有3个零点 2．已知函数（e为自然对数的底数），的零点分别为，，则的最大值为（    ） A．e B． C．1 D． 3．函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数有4个不同的零点，则的取值可以为（ ） A． B． C． D．0 5．已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为 . 6．已知函数有三个零点，则的取值范围是 ． 7．函数的导函数为，函数的导函数是，已知函数. (1)若，求的值和函数的单调区间； (2)若，讨论的零点个数. 8．已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数和的值； (2)若函数无零点，求的取值范围. 9．已知函数． (1)若函数与的图象关于点对称，求的解析式； (2)当时，，求实数m的取值范围； (3)判断函数在的零点个数，并说明理由． 10．已知函数，e为自然对数的底数，函数. (1)若在处的切线也是的切线，求实数a的值； (2)求在上的零点个数. 11．已知函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)证明：函数在上有两个零点． 12．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数. (3)在区间上有两个零点，求的范围? 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 培优04 导数中的零点问题 题型01零点的证明问题 例1．已知函数且． (1)若，求在处的切线方程； (2)在①；②两个条件中任选一个，证明：恰有三个零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，，所以． 故在处的切线方程为． （2），因为， 所以的零点个数等于的零点个数，其中． 若选择条件①：， 令，得． 因为，所以， 因此在上单调递减，在区间内单调递增，在上单调递减． 设 单调递增，单调递减， , 所以时，，当时，， 所以，所以． 所以， 取，则； 又，所以， 即，故；又， 所以在区间内各恰有唯一的零点， 故恰有三个零点，从而恰有三个零点． 若选择条件②：， 令，得． 因为，所以， 因此在上单调递增，在区间内单调递减，在上单调递增． 同选择条件①，取，则， 取； 又因为， 所以， 即，又． 所以在区间内各恰有唯一的零点， 故恰有三个零点，从而恰有三个零点． 【点睛】方法点睛：先根据的零点即是等于的零点个数，求出导函数得出函数的单调性得出函数值范围，应用零点存在定理即可证明函数有3个零点. 例2．设函数. (1)当时，求在上的最大值; (2)讨论的单调性; (3)若，证明只有一个零点. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）当时， , 当所以在上单调递增 , 当所以在上单调递减 , 所以在上的最大值为. （2），定义域为, 当时，所以 在上单调递增 . 时，时，有, 所以 在上单调递减,在上单调递增 ; 当时,在上单调递增 ,在上单调递减; 当时，在上单调递减,在上单调递增 . （3）当时, 当 时， , 所以 有且仅有一个零点; 时， 单调递增,,所以 有且仅有一个零点; 时，, 所以有且仅有一个零点; 综上，时只有一个零点. 【点睛】方法点睛：利用导数判断函数的单调性，进而求解函数在某个区间上的最值，以及分类讨论利用函数的单调性求函数值，进而判断函数零点存在情况 . 练习1．已知函数，且曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)证明：函数有两个零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得，由切线方程可知其斜率为， 所以，解得； （2）由可得，所以． 函数有两个零点即函数有两个零点． ， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 又，，0， 所以，． 由零点存在定理可得使得，使得， 所以函数有两个零点． 练习2．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数在上的最大值； (3)当时，求函数的单调区间； (4)证明：当时，函数有且仅有一个零点． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 (4)证明见解析 【详解】（1）当时，，，故，. 从而所求切线经过点且斜率为，故曲线在点处的切线方程为； （2）当时，，故. 从而当或时；当时. 故函数在和上单调递增，在上单调递减. 根据的单调性可知，当时有，而当时有. 所以对任意都有，而，故在上的最大值是； （3）设，由于，故 . ①当时，，从而对和均有，故在和上单调递增，从而在上单调递增； ②当时，有，，从而当或时；当时. 故函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，对任意都有，从而当时；当时. 故函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （4）当时，由（3）可知，在和上单调递增，在上单调递减. 一方面，对，有，这表明在上没有零点. 而在上单调递增，所以在上至多有一个零点. 二者结合，就可得到至多有一个零点； 另一方面，我们又有，，以及 . 故由零点存在定理可知，必有一个上的零点. 综上，当时，有且仅有一个零点. 练习3．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个极值点， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：函数有且只有一个零点． 【答案】(1)答案见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为， 且， 当时，恒成立，所以在单调递减； 当时，令，即，解得，， 因为，所以，则， 所以当时， 当时， 当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减； 当时，此时， 所以时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上可得：当时在单调递减； 当时在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时在上单调递增，在上单调递减． （2）（ⅰ）由（1）可知． （ⅱ）由（1）在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 又，所以，则， 又， 又， 所以在上没有零点， 又，则，则，， 则， 所以，所以在上存在一个零点， 综上可得函数有且只有一个零点． 练习4．已知函数 . (1)讨论函数的单调性; (2)当时，证明：函数有且仅有一个零点. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）易知函数的定义域为，， 令，，，对称轴为， （1）当，即时，方程有两根为，， （i）时，，时，，即， 时，，即， （ii）时，，时，，即， 时， ，即， （2）当，即时，方程的根为， 此时在区间上恒成立，当且仅当取等号， （3）当，即时，在区间上恒成立， 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 时，函数的单调递增区间为，无减区间. （2）由（1）知当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，，又， 又，所以，，则，，得到， 而时，， 由零点存在性原理知时，函数有且仅有一个零点， 当时，函数的单调递增区间为， 又，而时，， 由零点存在性原理知时，函数有且仅有一个零点， 综上，函数有且仅有一个零点. 题型02判断或讨论零点的个数 例3．已知函数. (1)当时，求曲线在的切线方程； (2)设在区间上的最大值为，求，并判断函数的零点个数. 【答案】(1) (2)，只有一个零点 【详解】（1）当时，，所以，所以， 所以切线方程为，即； （2）， 则， 当时，由，则，所以单调递减； 所以在区间上的最大值为， 当时，知时，单调递增，时，单调递减， 所以最大值为， 所以， 当时，，显然无零点； 当时，，则， 所以在时单调递增，又， ， 所以根据零点存在性定理知：在时只有唯一零点， 综上所述，只有一个零点。 【点睛】方法点睛：求函数的零点个数：定义法（方程的根），数形结合根据函数交点个数判断个数，利用函数导数判断函数零点个数． 例4．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当恒成立时，判断的零点个数． 【答案】(1)当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减. (2)当时，的零点个数为；当时，的零点个数为. 【详解】（1）由知. 当时，对有，所以在上递增； 当时，对有，对有， 所以在上递增，在上递减. 综上，当时，在上递增； 当时，在上递增，在上递减. （2）当恒成立时， 假设，则. 从而，这与矛盾，所以一定有. 当时，据的单调性有. 故对，有，代入表达式知，即. 所以对都有， 这就得到 . 故恒成立. 综上，的取值范围是. 下面来讨论的零点个数： 当时，根据的单调性，有，所以没有零点； 当时，首先有. 而根据的单调性，对有，所以有唯一的零点即. 综上，当时，的零点个数为；当时，的零点个数为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于先通过恒成立条件确定参数的取值范围，再在这个范围内确定零点个数. 练习1．已知函数， (1)讨论函数的的单调性； (2)若函数有极值点， （i）求实数a的取值范围； （ii）判断的零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）答案见解析 【详解】（1）函数的定义域为 ， ①当时，恒成立，在上单调递减 ②当时，令，得（舍去） x + 0 - 递增 极大值 递减 的单调递增区间为，单调递减区间为 综上所述：当时在定义域上单调递减； 当时的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）（i）由（1）知 （ii）由（1）知的极大值为， ， 当即时，，则无零点； 当即时，，则有1个零点： 当即时，， ，， 令，，，在上单调递减， ，， 有2个零点； 综上所述：当时，无零点；， 当时，有1个零点；当时，有2个零点 练习2．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，判断零点个数，并说明理由． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)答案见解析 【详解】（1）函数的定义域为， 且， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递减， 即在上单调递减， 又， 所以当时，当时， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值； （2）令，即， 因为，所以， 令， 所以判断的零点个数，即判断的零点个数， 又，， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 令，， 则，因为，所以， 所以在上单调递减， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当时有一个零点，即有一个零点， 当时无零点，即无零点， 综上可得当时，有一个零点；当时，无零点. 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是首先将问题转化为，利用导数求出，再构造函数. 练习3．已知. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)令，当时，判断零点的个数，并说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）∵，即切点为， 处切线方程为:. （2）， . 当时，在上单调递减， 无零点. 当时，令， 若，即时，在上单调递增， 无零点. 若，即时， 单调递减，单调递增， ， 设， ，设， 即在上单调递减，，即， 在上单调递增，，即无零点. 若，即时，在上单调递减，， ，即时，无零点. ，即时，有唯一零点. 综上，时有唯一零点，或时无零点. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求导得，再对进行合理地分类讨论即可. 练习4．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的极值； (3)当时，判断零点个数，并说明理由． 【答案】(1) (2)，无极小值 (3)当时有一个零点，当时无零点 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为，且， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递减， 即在上单调递减， 又， 所以当时，当时， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值. （3）令，即， 因为，所以， 令， 所以判断的零点个数，即判断的零点个数， 又，， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 令，， 则，因为，所以， 所以在上单调递减， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以当时有一个零点，即有一个零点， 当时无零点，即无零点， 综上可得当时有一个零点，当时无零点. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先将问题转化为，利用导数求出，再构造函数，. 题型03根据零点个数求参数范围 例5．函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】显然不是函数的零点，故，， 令，则， 由题意可得，与的图象有一个交点， 当时，，在单调递增， 当且时，，在单调递减，且， 的大致图象如图所示，结合函数图象可知，时，符合题意． 故答案为：． 例6．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在区间[0，2]上有且仅有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，令，解得， 令，解得， 故在上单调递减，在和上单调递增； 当时，令，解得， 令，解得， 故在上单调递减，在和上单调递增. 综上，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在和上单调递增； 时，在上单调递减，在和上单调递增. （2）当时，在区间[0，2]上，故不存在零点； 当时，在上单调递增，故在区间[0，2]上单调递增， 又时，，故在区间[0，2]上不可能存在零点； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 若，即时，在上单调递减，在上单调递增， 又，故只能在上有零点， 由零点存在性定理有，解得. 或，解得；故此时满足条件； 若，即时，在上单调递减， 则，此时均满足题意，故满足条件. 综上，. 练习1．已知函数. (1)试研究函数的极值点； (2)若恰有一个零点，求证. 【答案】(1)极大值点，无极小值点； (2)证明见解析. 【详解】（1）由，定义域为， 则，， 所以当时，，此时函数在单调递增， 当时，，此时函数在单调递减， 故函数有唯一极大值点，无极小值点. （2）由题意可得，， 令，解得， 因为，， 所以在上有唯一零点， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 因为有且仅有一个零点，所以且. 即， 消去并整理得：， 令，则， 因为时，在上恒成立，所以在上单调递增， 又，,所以. 又，且函数在上单调递增， 所以. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，考查利用导数讨论含参数函数的单调性问题，零点问题，在解题时运用函数的单调性和零点存在性定理相结合，属于难题. 练习2．设函数． (1)当时，求的最小值； (2)若恰有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，， 当时；当时，． 所以，函数在上单调递减，在上单调递增． 所以，即的最小值为0． （2）由，得， （ⅰ）当时，，函数在单调递增，且，故函数恰有一个零点，不合题意． （ⅱ）当时， ①若，由（1）可知为最小值，函数恰有一个零点，不合题意． ②若，当时，，函数在单调递减，所以， 当时，，函数在单调递增，又， 根据零点存在定理，所以函数在区间上存在唯一零点， 此时函数恰有两个零点，满足题意． ③若，因为函数在单调递增，所以， 根据（1）由，得， 由，得，进而得， 所以． 又因为在上单调递减，根据零点存在定理， 所以函数在区间上存在唯一零点， 此时函数恰有两个零点，满足题意． 综上，a的取值范围是． 【点睛】一般的根据函数零点的个数求参数的取值范围，需要对参数进行分类讨论，利用导数研究函数的单调性，最值，结合零点的存在性定理进行求解. 练习3．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)（）. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为. 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，由，得， 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题可知a为非正数时，函数单调递减，不可能有2个零点，所以， 则， 又因为时，时，恰有两个零点， 所以，解得， 故的取值范围为. 练习4．已知函数 (1)已知直线l过点且直线l与曲线在处的切线方程平行，求直线l的方程； (2)证明:； (3)若函数有且只有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由，得， 曲线在处的斜率为， 直线l与曲线在处的切线方程平行，所以， 又直线l过点故方程为 （2）记，则， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 所以当时，取得最小值， 所以，即. （3）， 由题知，有且只有两个不相等实数根， 即有且只有两个不相等实数根， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 当x趋近于时，趋近于0， 当x趋近于时，趋近于， 又，所以可得的图象如图： 由图可知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 所以a的取值范围为 【点睛】思路点睛：根据函数零点个数求参数范围，一般采取参变分离，转化为两个函数图象的交点问题，然后利用导数研究单调性，结合函数变化趋势、极值等作出函数图象，结合函数图象即可得解. 题型04三角函数的零点问题 例7．已知 (1)将，，，按由小到大排列，并证明； (2)令 求证: 在内无零点. 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）令， 则，令， 则， 因为，所以， 则在上单调递增， 则， 所以当时，，则， 所以在上单调递增， 则， 即当时，， 又，当时，， 即当时， 综上： （2）要证在内无零点， 只需证 由（1）知 只需证； 即证：， 即证：， 令， 则。 令，则， 当时，，则在上单调递增； 所以当时，， 则在单调递增， 所以 即在内无零点. 例8．已知函数，. (1)若，求a的取值范围； (2)求函数在上的单调性； (3)求函数在上的零点个数. 【答案】(1)； (2)在上单调递增； (3)1个. 【详解】（1）解：由题意知的定义域为R. ①当时，由得，设，则， 当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增， 所以，因此. ②当时，若，因为，不合题意.所以，此时恒成立. ③当时，，此时. 综上可得，a的取值范围是. （2）解：设，，则，所以在上单调递减， 所以，即在上恒成立. 所以. 又由（1）知， 所以当时，， 所以在上单调递增. （3）解：由得， . 由（2）知在上单调递增. ①当时，，，为在上的1个零点； ②当时，，故，所以在上不存在零点； ③当时，，故，所以在上不存在零点； ④当时，，，所以在上不存在零点； 综上可得，在上的零点个数为1. 【点睛】方法点睛：函数零点问题的求解，常用的有三种方法：（1）方程法：直接解方程得解；（2）图象法：直接画出函数的图象分析得解；（3）方程+图象法：令得到，再分析函数的图象的交点即得解. 练习1．已知函数. （1）当时，求的单调性及零点的个数； （2）当时，求的零点的个数. 【答案】（1）单调递减；一个零点；（2）有且仅有一个零点. 【详解】解：（1），， 当时，，所以单调递减. 又因为，， 所以，有，所以存在一个零点 （2）当时，，， 所以单调递增， 又，， 所以，有， 且有时，，单调递减； 时，，单调递增， 又因为，， 所以，有. 又当时，，，所以. 所以当时，，单调递减； 时，，单调递增， 又，， 所以存在，有， 当时，，，所以有， 当，有. 所以，当时，函数有且仅有一个零点 练习2．已知函数为的导函数，． (1)求的值; (2)求在上的零点个数． 【答案】(1)1 (2)1 【详解】（1）由 则 又，所以即； （2）由（1）可知 设 则， 则当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，， 又，， 所以在上无零点，在上有一个零点； 从而在上有1个零点. 【点睛】方法点睛：处理有关三角函数与导数综合问题的主要手段有： （1）分段处理：结合三角函数的有界性与各不同区间的值域分段判断导函数符号； （2）高阶导数的应用：讨论端点（特殊点）与单调性的关系，注意高阶导数的应用，能清楚判断所讨论区间的单调性是关键； （3）关注三角函数的有界性与常用不等式放缩． 练习3．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设，求证：当时，在区间上有且仅有2个零点. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 当时，令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增 当时，令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，所以在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由题， 则， 令，则， 当时，， 所以，则在上单调递增， 又，所以在上有一个零点，即为， 当时，所以，则在上单调递减， 又，，所以存在使得， 则当，，在单调递增， 当，，在上单调递减， 而，， 所以在上必存在唯一零点，即在上存在唯一零点， 当时，在上单调递增且，， 所以存在，使得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 又，，所以存在，使得， 则当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，，所以在上无零点， 综上，在上有且仅有个零点. 【点睛】关键点点睛：第二问关键是利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断零点的个数. 练习4．已知函数. (1)求的极值； (2)判断在上的零点个数，并说明理由. 【答案】(1)有极大值，无极小值 (2)在上有两个零点，理由见解析 【详解】（1）由题，则恒成立， 所以在上单调递减，又， 所以时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有极大值，无极小值. （2）在上有两个零点，理由如下： 由（1）在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有最大值， 又， 故在上有两个零点. 题型05与零点有关的不等式问题 例9．已知函数在定义域上不单调. (1)求的取值范围； (2)若函数存在两个极值点，且极大值点为，最大的零点为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 当或，即时，恒成立， 此时在单调递减，不合题意； 当时，在有两个不等实根， 由韦达定理知，两根之积为1 较大根为，则较小根为， 此时在，单调递减，在单调递增， 此时函数不单调，有两个极值点； 故所求实数的取值范围是. （2）令，则， 可知在内单调递增，则，可得， 令，则， 可知在内单调递增，则，可得， 由（1）可知，当时，在，单调递减，在单调递增， 且， 又因为，且， 令，则， 所以函数在单调递减，故， 从而在有唯一零点， 即函数的最大的零点为，所以， 由（1）可知，， 所以 . 令， 则， 所以在单调递减， 当时，，即， 由（1）可知，在上单调递减，且， 因此，故. 【点睛】方法点睛：利用导数研究含参函数的极值时，往往要根据函数的单调性进行判定；函数的零点、不等式的证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理，注意分类讨论和数形结合思想的应用. 例10．已知函数，. (1)求证：有且仅有三零点. (2)设为最小的零点，证明：当，. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1），， 设，， 则在递减，在递增， ，，， 所以，使， ，使， 所以的正负性确定， 所以在递增，递减，递增， 令，则， 所以在上递减，所以， 所以， 令，则， 当且仅当，即时取等号， 因为，所以， 所以在递减，所以， 所以， 同理当可证得在递减，所以， 所以， 因为，，，， 所以有且仅有三个零点. （2）依题意得：，， 需证：，，只需证：. 只需证：， （满足）， ， 令，， 所双在单调递增， 所以得证. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数零点问题，考查利用导数证明不等式，考查函数零点存在性定理的应用，第（2）问解题的关键是通过多次变形转化，然后构造函数，通过判断函数的单调性可证得结论，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 练习1．已知函数． (1)若曲线在点处的切线为轴，求的值； (2)若， ①求的单调区间； ②求证：存在两个零点，且满足． 【答案】(1) (2)①的单调递减区间为，单调递增区间为 ，②证明见解析 【详解】（1）函数求导得， 因为函数在处的切线为轴， 所以，即． （2）当时，导函数， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 所以， 又因为， 当，当时，， 所以函数存在两个零点，．且， ， 又因为 ， 所以， 所以． 练习2．已知函数. (1)求的值； (2)若函数有3个零点，其中. （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】(1)0 (2)（ⅰ），（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）因为， 所以， 所以； （2）因为，所以除1外还有两个不同的零点， 由，得， 令， 当时，在上恒成立，则， 所以在上单调递减， 所以在上至多有1个零点，不合题意，舍去； 当时，除1外还有两个不同的零点，则不单调， 所以存在两个零点，所以，解得， 当时，设的两个零点为， 则，所以， 当或时，，则， 当时，，则， 所以在和上递增，在上递减， 因为，所以， 因为，且， ，且， 所以存在，使得， 所以有3个零点， 综上，a的取值范围为； （ⅱ）证明：由（1）知，即， 所以若，则，所以， 当时，先证明不等式恒成立， 令， 则， 所以在上递增，所以， 所以当时，不等式恒成立， 由，可得， 所以， 因为，所以， 所以， 两边同除以，得， 即， 所以. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决函数零点问题，考查利用导数证明不等式，第（2）（ⅱ）解题的关键是先证明恒成立，然后结合题意化简变形，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 练习3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，为函数的两个零点，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1），． 当时，，则在上单调递增． 当时，令，得，解得． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）设，则，， 所以， 所以，， 记，要证，只需证， 只需证，只需证． 记，，则， 记，， 由（1）可知，取，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即，所以在上单调递增， 又，所以，所以成立． 【点睛】关键点点睛：本题第2问的关键是将将函数零点的式子，结合分析法，进行变形，转化为判断函数，的单调性，即可证明. 练习4．已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线在轴上的截距； (2)若只有一个零点，求； (3)若有两个不同的零点，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，， ，，故切线方程为：， 令，则得， 即曲线在点处的切线在轴上的截距为. （2）因只有一个零点，则与，只有一个交点， 由作图知，直线即的切线.设切点为，因， 则有，由① 得代入② ，，解得， 回代入① 可得：（*）， 设，则， 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减. 故时，有极大值，为，即方程（*）在上只有1个实根为，故由（*）知. （3）依题，，则有， 因且，将两式相除得，， 令，则，代入中，化简得：， 解得，，则， 不妨设， 设，则， 令，则，则在上单调递增， 故，即得，故得在上单调递增， 则有，即得，故,得证. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查与函数零点有关的不等式证明，属于难题. 解题的关键在于根据零点得到的方程组，先设法消去参数，再对进行整体换元，从而把待证不等式转化成的函数式，通过研究函数的单调性等性质即可证得. 1．已知函数函数，则下列结论正确的是（   ） A．若，则恰有2个零点 B．若恰有2个零点，则的取值范围是 C．若恰有3个零点，则的取值范围是 D．若，则恰有3个零点 【答案】D 【详解】 令，则 ∴时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递减； 时，，单调递增， ∴有极大值：，极小值：，且， ∴大致图像如下： 对于选项A：若，则恰有1个零点，故A选项错误. 对于选项B：若恰有2个零点，则的取值范围是或或，故选项B错误. 对于选项C.：若恰有3个零点，则的取值范围是，故选项C错误. 对于选项D. 若，则恰有3个零点，故选项D正确. 故选：D 2．已知函数（e为自然对数的底数），的零点分别为，，则的最大值为（    ） A．e B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由已知，即， ，即，令，则， 又函数是上的增函数，因此， ，令，则， 时，，递增，时，，递减， 所以时，， 所以的最大值是1. 故选：C． 3．函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，则问题转化为和的图象有两个交点， 而， 令，解得，令，解得， 故在上单调递增，在单调递减，则， 大致图象如下所示：      结合图象可知，的取值范围是 故选：D 4．已知函数有4个不同的零点，则的取值可以为（ ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】由题意可得方程有4个不同的根. 方程的2个根为， 所以方程有2个不同的根，且， 即函数与函数的图象有两个交点. 当直线与函数的图象相切时，设切点为， 因为，所以解得. 要使函数与函数的图象有两个交点，只需直线的斜率大于， 即. 设（），则， 由，， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以的最大值为. 所以. 故的取值范围为, 故选：A. 5．已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】，设，则， ，得， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 当时，函数取得最大值1， 如图，画出函数的图象， 由，即，则，恒过点， 如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点， 则，得，即切点，所以切线方程为，如图， 则与有2个交点，，则， 如图可知，若函数恰有三个零点，则，， 则，所以， 综上可知，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查嵌套零点问题，解题的关键是需通过换元，转化为内外层函数的零点个数问题. 6．已知函数有三个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】，当时，，则函数在上单调递增，只有一个零点，不合题意； 当时，由，可得或， 当时，,时，, 所以在区间和内单调递增，在区间上单调递减， 所以的极大值为，极小值为， 使函数有三个零点，只需且，解得． 故答案为： 7．函数的导函数为，函数的导函数是，已知函数. (1)若，求的值和函数的单调区间； (2)若，讨论的零点个数. 【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为和. (2)当时，有三个零点；当时，有两个零点；当时，有一个零点. 【详解】（1）由题可知，，， ，解得. 所以，. 令，得或；令，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和. （2）由（1）可知，，，，所以. 令，解得或；令，解得. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为和， 所以的极小值为，的极大值为. 当时，，当时，， 故当，即时，有三个零点； 当，即时，有两个零点； 当，即时，有一个零点. 8．已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数和的值； (2)若函数无零点，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，所以， 又，则， 又曲线在点处的切线方程为， 所以，解得. （2）令，即， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，且当时， 依题意与无交点，所以， 所以要使函数无零点，则的取值范围为. 9．已知函数． (1)若函数与的图象关于点对称，求的解析式； (2)当时，，求实数m的取值范围； (3)判断函数在的零点个数，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)零点个数为1，理由见解析 【详解】（1）由题意得，． （2）由题意得，， 令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为， 由于时，， 所以实数m的取值范围为 （3）令，则，整理得， 令，则， 当时，．所以在上单调递减， 又， 所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点． 当时，，此时函数无零点． 综上所述，在上存在唯一零点，即函数在上的零点个数为1． 10．已知函数，e为自然对数的底数，函数. (1)若在处的切线也是的切线，求实数a的值； (2)求在上的零点个数. 【答案】(1)； (2)2 【详解】（1），则， 所以切线方程为， 又，设直线与图象的切点为， 则，解得. （2）， 当时，，，，所以函数单调递减， 所以，此时函数无零点； 当时，设，则，即递增， ，， 因此在即在上有唯一零点，记零点为，即， 在上，，单调递减，在上，，单调递增， 又，，，， 所以在有一个零点，在上有一个零点， 综上所述，在上有2个零点. 11．已知函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)证明：函数在上有两个零点． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2)证明见解析 【详解】（1）因为函数的定义域为R，，所以函数为偶函数， 又，且当时，，所以函数在上单调递增， 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 综上，函数在上单调递增，在上单调递减． （2）证明:由（1）得，在上单调递增，又，，所以在内有且只有一个零点， 当时，令 则，当时，恒成立，即在上单调递减，又，，则存在，使得, 且当时，，即，则在上单调递增， ，故在没有零点 当时，有，即，则在上单调递减， 又 ，，所以在上有且只有一个零点， 综上，函数在上有2个零点． 12．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数. (3)在区间上有两个零点，求的范围? 【答案】(1)的单调减区间为：；单调增区间为：， (2)1个 (3) 【详解】（1）由题可得：， 令，解得：或， 令，解得：； 令，解得：或； 所以的单调减区间为：；单调增区间为：， （2）因为的单调减区间为：；单调增区间为：，， 由于，则在上无零点； 由于，则在上无零点； 由于，则在上存在唯一零点； 综上，函数在上存在唯一零点. （3）若在区间上有两个零点，则函数与在区间上有两个交点； 由(1)知，在上单调递增，上单调递减； ，，， 所以函数与在区间上有两个交点，则， 即在区间上有两个零点，则的范围为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$