精品解析：浙江省平湖市当湖高级中学2024-2025学年高二上学期9月阶段性测试数学试题

高二数学阶段性测试试卷 202409 一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是(　　) A. 空间四边形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形 3. 已知直线，，若，则实数a的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称，则B的坐标为（ ） A B. C. D. 5. 如果且，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 7. 直线始终平分圆，则的最小值为（ ） A. B. 20 C. D. 5 8. 当圆截直线所得弦长最短时，实数（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对一个得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，真命题是（　　） A. 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B. 两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C. 只有零向量的模等于0 D. 共线的单位向量都相等 10. 已知直线的倾斜角为，则的方向向量可能为（ ） A B. C. D. 11. 圆和直线为圆C上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若圆C关于直线l对称，则的最大值为20 B. 若圆C关于直线l对称，则 C. 存在实数a使得圆C与直线l相离 D. 无论取a任何实数，圆C都和直线l相交 三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分） 12. 已知是空间不共面的三个向量，P是空间的任意一点，且向量满足，若P在平面ABC上，则__________． 13 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若x＋y(＋)，则x＝________，y＝________. 14. 如图，在等边三角形ABC中，，点N为AC中点，点M是边CB（包括端点）上的一个动点，则的最大值为___________. 四、解答题（共5小题，第15题13分、16、17题15分，18、19题每题17分，共77分） 15. 已知直线l的方程为，求满足下列条件的直线的方程： （1）过点，且与l平行 （2）过点，且与l垂直． 16. 在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点为． （1）求的坐标； （2）求四边形的面积． 17. 如图所示，在正方体中，已知M是BD的中点． （1）求与所成角的余弦值; （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点． （1）求圆C的标准方程； （2）求直线l所过的定点； （3）当的面积最大时，求直线l的方程． 19. 如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，． （1）证明：平面平面； （2）若点T是的中点，点M是的中点，求点P到平面的距离． （3）点是线段上的动点，上是否存在一点M，使平面，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学阶段性测试试卷 202409 一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到直线方程的斜率，然后根据的关系，以及的范围，求出答案. 【详解】因为直线方程是， 所以该直线的斜率， 所以可得， 而 所以该直线的倾斜角是. 故选C 【点睛】本题考查根据直线方程求直线的倾斜角，属于简单题. 2. 设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且,则四边形ABCD是(　　) A. 空间四边形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，化简可得，利用向量相等证明四边形为平行四边形. 【详解】由已知得,即是相等向量,因此的模相等,方向相同, 即四边形ABCD是平行四边形.故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的加法，向量相等的意义，属于中档题. 3. 已知直线，，若，则实数a的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两条直线互相垂直列式计算作答. 【详解】直线，，， 因此，解得， 所以实数a的值为2. 故选：D 4. 在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称，则B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标的特点，即可求出B的坐标. 【详解】由题意在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称， 则B的坐标为， 故选：C 5. 如果且，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的横纵截距的正负即可判断得解. 【详解】由且，得直线的横截距为，纵截距为， 所以直线不经过第四象限. 故选：D 6. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则 ，，A（1，0，0），，故，，所以，故选C. 考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力. 7. 直线始终平分圆，则的最小值为（ ） A. B. 20 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆圆心，求出的关系等式，再借助二次函数求出最小值. 【详解】圆的圆心为， 由直线始终平分圆，得，则， 因此， 当且仅当时取等号，所以的最小值为20. 故选：B 8. 当圆截直线所得的弦长最短时，实数（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线必过的定点，分析该定点在圆内，结合弦长最短建立方程求解即可. 【详解】将直线的方程变形为，由，可得， 所以，直线经过定点， 圆的标准方程为，圆心为， 因为，即点在圆内， 故当时，圆心到直线的距离取最大值，此时，直线截圆所得弦长最短， ，直线的斜率为，所以，，解得． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对一个得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，真命题是（　　） A. 同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B. 两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C. 只有零向量的模等于0 D. 共线的单位向量都相等 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的定义即可判断出答案. 【详解】对于A，向量有向线段，不能比较大小，此命题是真命题. 对于B，两向量相等：方向相同，模长相等.起点相同，则终点也相同，此命题是真命题. 对于C，零向量：模长为0的向量，此命题是真命题. 对于D，共线的单位向量是相等向量或相反向量，此命题是假命题. 故选：ABC. 10. 已知直线的倾斜角为，则的方向向量可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解. 【详解】由题意得的斜率为， 对A，对应的斜率为，A正确； 对B，对应的斜率为，B错误； 对C，对应的斜率为，C正确； 对D，对应的斜率为，D错误； 故选:AC. 11. 圆和直线为圆C上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若圆C关于直线l对称，则的最大值为20 B. 若圆C关于直线l对称，则 C. 存在实数a使得圆C与直线l相离 D. 无论取a任何实数，圆C都和直线l相交 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意得的圆心为，半径为，对于B，将代入即可判断；对于A，设，由题意，由此即可判断；对于CD，注意到，但这不可能，由此即可判断. 【详解】对于B，方程可化为， 所以的圆心为，半径为， 若圆C关于直线l对称，则，解得，故B正确； 对于A，设，则点到直线的距离满足：， 所以，解得，所以的最大值为20，故A正确； 对于C，点到直线的距离为， 若圆C与直线l相离， 则，但这不可能，（因为），故C错误； 对于D，由C选项分析可知，若，但这不可能，（因为）， 所以恒成立， 所以无论取a任何实数，圆C都和直线l相交，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分） 12. 已知是空间不共面的三个向量，P是空间的任意一点，且向量满足，若P在平面ABC上，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量共面向量定理可得答案. 【详解】点P在平面内,不共线的三点 存在有序实数对使, ， ， ， 又点O在平面外， 不共面， 故答案为：1 13. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若x＋y(＋)，则x＝________，y＝________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】结合空间向量的线性运算列方程，由此求得的值. 【详解】， 所以. 故答案为：； 14. 如图，在等边三角形ABC中，，点N为AC的中点，点M是边CB（包括端点）上的一个动点，则的最大值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】以AB中点为原点，边所在的直线为轴，建立直角坐标系，利用向量的坐标运算计算即可得到答案. 【详解】以AB中点为原点，边所在的直线为轴，边的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则，，，AC中点. 设，则， . ∵在直线上，∴， ∴， ∵，∴当时，的最大值为3. 故答案为：3. 四、解答题（共5小题，第15题13分、16、17题15分，18、19题每题17分，共77分） 15. 已知直线l的方程为，求满足下列条件的直线的方程： （1）过点，且与l平行 （2）过点，且与l垂直． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线平行以及所过的点直接写出所满足的约束关系，化简即可； （2）根据直线垂直以及所过的点直接写出所满足的约束关系，化简即可. 【小问1详解】 过点，且与l平行的直线为，即； 【小问2详解】 过点，且与l垂直的直线为，即. 16. 在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点为． （1）求的坐标； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，根据，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，求得，利用向量的夹角公式，求得，得到，结合面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设点的坐标为， 由，可得， 因为四边形是平行四边形，可得， 所以，解得，即点的坐标为. 【小问2详解】 解：由题意得，则， 所以，可得， 故四边形的面积为． 17. 如图所示，在正方体中，已知M是BD的中点． （1）求与所成角的余弦值; （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，利用线线角、线面角、面面角向量求法分别求解即得. 【小问1详解】 在正方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则， 于是， 则， 所以与所成角的余弦值是. 【小问2详解】 由（1）知，，， 设平面的法向量，则，令，得， 所以与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（1）知，，， 设平面的法向量，则，令，得， 由（2）平面的法向量， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点． （1）求圆C的标准方程； （2）求直线l所过的定点； （3）当的面积最大时，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）依次求出圆心和半径即可得解； （2）由题意列出方程组即可求解； （3），当时，面积最大，此时为等腰直角三角形，圆心到直线l的距离，据此即可求出m. 【小问1详解】 ，圆C的圆心的圆心坐标为，且和直线相切， 所以圆C的半径为， 所以圆C的标准方程为； 【小问2详解】 由，得， 由， ∴直线l过定点； 【小问3详解】 ∵，∴当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，故圆心到直线l的距离， ∴，解得， ∴此时l的方程为：或. 19. 如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，． （1）证明：平面平面； （2）若点T是的中点，点M是的中点，求点P到平面的距离． （3）点是线段上的动点，上是否存在一点M，使平面，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，继而证明，即可证明平面，从而根据面面垂直的判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. （3）设，，进而表示出，，由题意列出关于的方程组求解即可. 【小问1详解】 由平面，平面，平面， 得，， 与底面所成角为 ． 所以三角形 为等腰直角三角形， ． 又由四边形是直角梯形，，可知， 所以为等腰直角三角形，而，故． 在直角梯形中，过C作，垂足为E，则四边形为正方形， 可知 ． 所以 ，在等腰直角三角形 中，． 则有，所以． 又因为，，平面 ，平面． 所以平面．因为平面 ，所以平面平面． 【小问2详解】 以A为坐标原点，分别以所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，． 因为T是 的中点，点M是 的中点，所以，． 设平面 的法向量为，，， 则 ，得 ， 取 ，则 ，得平面一个法向量为， 而,所以点P到平面的距离为． 【小问3详解】 设，注意到， 所以， 所以， 设，注意到， 所以， 因为，，所以， 若平面， 则当且仅当，即当且仅当， 此时， 综上所述，当且仅当重合，此时存在，使平面. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于知道若平面，则当且仅当，从而只需引入两个参数，分别表示出，由此即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$