1.1.2 空间向量的数量积运算 同步练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1.2　空间向量的数量积运算（同步练习） 一、选择题 1.对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.如图，空间四面体ABCD的每条棱都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则·等于(　　) A. B. C. D. 3.已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模均为1，则|a－b＋2c|等于(　　) A.5 B.6 C. D. 4.若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则(　　) A.m∥n B.m⊥n C.m不平行于n，m也不垂直于n D.以上三种情况都有可能 5.在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 6.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为(　　) A.8 B.4 C.2 D.1 7.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 8.(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　) A.2· B.2· C.2· D.2· 二、填空题 9.若a，b是空间中夹角为60°的两个单位向量，则|a－b|＝________ 10.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________ 11.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动(含端点)，则·的取值范围是______ 12.在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________ 三、解答题 13.如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 14.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)·；(2)·；(3)·；(4)·. 15.如图，正四棱锥P－ABCD的各棱长都为a. (1)用向量法证明BD⊥PC；(2)求|＋|的值． 参考答案及解析： 一、选择题 1.B 解析：显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件． 2.B 解析：∵＝，∴·＝·＝×1×1×cos 60°＝. 3.C 解析：由题意，得a·b＝b·c＝a·c＝，a2＝b2＝c2＝1， 所以|a－b＋2c|＝＝＝＝. 4.B 解析：m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，所以m⊥n. 5.C 解析：由题意，可得＝，所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°. 6.D 解析：·＝·(＋)＝2＋·， ∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥，∴·＝0， ∴·＝||2＝1，则·(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为1. 7.AD 8.BC 解析：对于A,2·＝2a2cos 120°＝－a2，A错误；对于B,2·＝2·＝2a2cos 60°＝a2，B正确；对于C,2·＝·＝a2，C正确；对于D,2·＝·＝－·＝－a2，D错误． 二、填空题 9.答案：1 解析：|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝1.∴|a－b|＝1. 10.答案：60° 解析：由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0， (a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|， 所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝60°. 11.答案：[0,1] 解析：依题意，设＝λ，其中λ∈[0,1]，·＝·(＋)＝·(＋λ)＝2＋λ·＝1＋λ×1××＝1－λ∈[0,1]．因此·的取值范围是[0,1]． 12.答案： 解析：∵OA，OB，OC两两垂直，∴·＝·＝·＝0，且＝， 故·(＋＋)＝(＋＋)2＝(||2＋||2＋||2)＝×(1＋4＋9)＝. 三、解答题 13.解：连接BD(图略)， 则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，∠D′AC＝60°， 所以〈，〉＝〈，〉＝45°，〈，〉＝180°－〈，〉＝135°，〈，〉＝∠D′AC＝60°，〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°，〈，〉＝〈，〉＝90°. 14.解：(1)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1·cos 60°＝， 所以·＝. (2)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1·cos 0°＝，所以·＝. (3)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝×1×1·cos 120°＝－，所以·＝－. (4)·＝(＋)·(＋)＝[·(－)＋·(－)＋·＋·] ＝[－·－·＋(－)·＋·]＝×＝－. 15.(1)证明：∵＝＋， ∴·＝(＋)·＝·＋·＝||||cos 60°＋||||cos 120°＝a2－a2＝0. ∴⊥，∴BD⊥PC. (2)解：∵＋＝＋＋， ∴|＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2，∴|＋|＝a. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$