第二章 直线和圆的方程（提升卷）-2024-2025学年高二第一学期数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版）

第二章 直线和圆的方程（提升卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线的倾斜角为，若直线过点，且与直线的倾斜角互余，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线恒过点，过点作直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．若方程表示的曲线是半径为的圆，则该圆的圆心到坐标原点的距离为（    ） A． B． C．或 D．或 4．已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．25 5．已知，，，点P是圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 7．已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知直线：，：，当，满足一定的条件时，它们的图形可能是（    ） A．   B．   C．   D．   10．已知曲线:，则（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 11．已知集合直线，其中是正常数，，下列结论中正确的是（    ） A．当时，中直线的斜率为 B．中所有直线均经过同一个定点 C．当时，中的两条平行线间的距离的最小值为 D．中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为   . 13．平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是 .    14．在平面直角坐标系中，已知直线与x轴，y轴分别交于M，N两点，点P在圆上运动，若恒为锐角，则正实数m的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知一条直线经过点. (1)求与直线平行的直线方程及与坐标轴的交线长； (2)若该直线与轴、轴的正半轴交于两点，求的最小值. 16．已知圆经过点，从下列3个条件选取一个________ ①过点； ②圆恒被直线平分； ③与轴相切. (1)求圆的为程； (2)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 17．已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. (1)求外接圆的方程； (2)若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率. 18．已知圆心为C的圆经过点，，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程： (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． (3)已知点，，且P为圆C上一动点，求的最小值． 19．已知圆C的圆心为（且），，圆C与x轴、y轴分别交于A，B两点（与坐标原点O不重合），且线段为圆C的一条直径． (1)求证：的面积为定值； (2)若直线经过圆C的圆心，设P是直线l：上的一个动点，过点P作圆C的切线，，切点为G，H，求线段长度的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的方程（提升卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线的倾斜角为，若直线过点，且与直线的倾斜角互余，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的倾斜角为，直线与直线的倾斜角互余，所以直线的倾斜角为 所以． 又直线过点，代入点斜式方程得． 故选：B 2．已知直线恒过点，过点作直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：由题意得：直线恒过点， 圆的圆心坐标为， ， 当时，最小，， 故选：B 3．若方程表示的曲线是半径为的圆，则该圆的圆心到坐标原点的距离为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】方程为，其圆心为， 半径为，解得或. 当时，圆心到坐标原点的距离为； 当时，圆心到坐标原点的距离为. 故选:C 4．已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．25 【答案】D 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以即得, 所以, 因为，都是正实数，所以. 当且仅当时，取最小值25. 故选：D. 5．已知，，，点P是圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】点，，，设， 则， 因为点P在圆上运动， 所以表示圆上的点到点的距离的平方， 所以的最小值为， 即的最小值为. 故选：D﹒ 6．过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，令， 解得，可知定点， 又， 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为. 故选：B. 7．已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】法一：设的重心为，则， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，的最小值是. 法二：以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系， 则， 设，即， 化简得，点的轨迹方程为， 设圆心为，，由圆的性质可知当过圆心时最小， 又，故得最小值为. 故选：C. 8．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】设，不妨取，使得， 则， 整理得， 此方程与相同， 所以有，解得， 所以， 所以，当且仅当在线段上时，取等号. 因为，所以在圆内； ，所以在圆外； 所以线段与圆必有交点（记为）， 当重合时，，为其最小值， 故选：C. 【点睛】关键点睛：解决本题时，关键是利用阿波罗尼斯圆将变为，再由当在线段上时，求出最小值. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知直线：，：，当，满足一定的条件时，它们的图形可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】ACD 【详解】直线可化为的斜率为，在轴上的截距为． 直线可化为的斜率为，在轴上的截距为． 当时，直线与平行且图象满足A所示，故A正确． 选项B中，由直线在轴上的截距可得,，而由直线的斜率为，可得，故B不正确． 选项C中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距． 直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故C正确． 选项D中，由直线的斜率为，而直线在轴上的截距． 直线在轴上的截距为，直线的斜率为，故D正确． 故选：ACD． 10．已知曲线:，则（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 【答案】ABD 【详解】当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线为原点. 画出曲线的图形，如图所示. 对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故面积为，故A正确； 对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确； 对于C，如图所示，因为原点在曲线上，所以最小值为0，故C错误； 对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为.故D正确. 故选：ABD. 11．已知集合直线，其中是正常数，，下列结论中正确的是（    ） A．当时，中直线的斜率为 B．中所有直线均经过同一个定点 C．当时，中的两条平行线间的距离的最小值为 D．中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面 【答案】AC 【详解】对于A，当时，，中直线的方程为， 即，故其斜率为，故A正确； 对于B，当时，直线方程为，该直线必过， 当时，直线方程为，化简得，不一定过，故B错误， 对于C，当时，中的两条平行直线间的距离为， 而，则， 故，即最小值为，故C正确； 对于D，点不满足方程，所以中的所有直线不可覆盖整个平面，故D错误， 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为   . 【答案】/ 【详解】因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点逆时针旋转60°后，得到直线的倾斜角，斜率． 故答案为：． 13．平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从OA边上一点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到x轴上的点，若，则的取值范围是 .    【答案】 【详解】点沿与x轴成角的方向发射到AB边上的点， 则， 有，则，， ，， ，， 即， ，解得. 故答案为： 14．在平面直角坐标系中，已知直线与x轴，y轴分别交于M，N两点，点P在圆上运动，若恒为锐角，则正实数m的取值范围是 . 【答案】 【详解】设以为直径的圆的圆心为A， 由题意可知， 所以的中点，半径为， 又圆得圆心为，半径， 由恒为锐角可知两圆外离，如图， 所以，即， 解得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知一条直线经过点. (1)求与直线平行的直线方程及与坐标轴的交线长； (2)若该直线与轴、轴的正半轴交于两点，求的最小值. 【答案】(1)， (2)6 【详解】（1）直线的斜率为， 所以过点且与直线平行的直线方程为， 即. 当时，，当时，，所以所求的交线长为. （2）设直线方程为. 当时，；当时，. 则， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为6. 16．已知圆经过点，从下列3个条件选取一个________ ①过点； ②圆恒被直线平分； ③与轴相切. (1)求圆的为程； (2)已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）选条件①．设圆的方程为， 将，代入可得 ，解得， 则圆的方程为． 选条件②． 直线恒过点． 因为圆恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为， 又圆经过点，所以圆的半径， 所以圆的方程为，即． 选条件③． 设圆的方程为， 由题意可得，解得， 则圆的方程为，即． （2）设，， 因为为线段的中点，所以， 因为点是圆上的动点，所以， 所以的轨迹方程为． 17．已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. (1)求外接圆的方程； (2)若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率. 【答案】(1) (2)或 (3)， 【详解】（1）设圆的方程为，， 则，解得， 则圆的方程为， 即； （2）由（1）得圆心，半径， 又，可知圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，成立； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得，则直线方程为，即； 综上，直线方程为或. （3）由在圆外， 则在中，，， 又， 则当，即时，取得最大值为， 此时为等腰直角三角形， 即圆心到直线的距离， 即， 解得.    18．已知圆心为C的圆经过点，，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程： (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． (3)已知点，，且P为圆C上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)24 【详解】（1）,的中点为 的垂直平分线方程为，即, 将联立可得,即圆的圆心坐标为. 圆的半径为， 所以圆的标准方程为. （2）设圆心到直线的距离为d，由弦长公式得，故. 若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为3，符合题意. 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以，解得，则直线的方程为. 故直线的方程为或. （3）在圆的标准方程上， 设, 又因为点，， 所以 ， 当时，取最小值为. 19．已知圆C的圆心为（且），，圆C与x轴、y轴分别交于A，B两点（与坐标原点O不重合），且线段为圆C的一条直径． (1)求证：的面积为定值； (2)若直线经过圆C的圆心，设P是直线l：上的一个动点，过点P作圆C的切线，，切点为G，H，求线段长度的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）设圆的方程为，由题可知点在圆上， 则圆的方程为， 整理得， 因为圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合）， 令，解得：；令，解得：； 则，． 所以，为定值． （2）因为直线经过圆的圆心，所以． 又，且，解得． 所以圆的方程为． 过点作圆的切线，，切点为，， 显然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，， 则圆的方程为， 即，① 又圆的半径，方程可化为，② ①－②，得圆与圆的相交弦所在直线的方程为 ． 点到直线的距离， 所以 ， 所以当时，取得最小值， 故线段长度的最小值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$