第二章 直线和圆的方程（基础卷）-2024-2025学年高二第一学期数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版）

第二章 直线和圆的方程（基础卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线的方程为：，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 3．已知直线，且，则实数（    ） A．1 B．0或1 C．0 D． 4．过点引圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．若点到直线的距离不超过，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知圆和圆，则圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知入射光线从射出，经过直线上的点B后第一次反射，若此反射光线经过直线上的点C时再次反射，反射后经过点.则可以求得直线的斜率为（    ） A． B． C．4 D．3 8．已知圆是与直线，圆都相切的半径最小的圆，则圆的半径和圆心坐标分别是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知，，，则（    ） A．直线与线段有公共点 B．直线的倾斜角大于 C．的边上的高所在直线的方程为 D．的边上的中垂线所在直线的方程为 10．（多选）关于方程表示的圆，下列叙述正确的是（    ） A．圆心在直线上 B．圆心在直线上 C．圆过原点 D．圆的半径为 11．直线：和圆：，下列结论成立的是（    ） A．直线：过定点 B．当实数的值为3时，直线与圆相交，且所得弦长为 C．当直线与圆相切时，则实数 D．圆：与圆的公切线有且只有两条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．不论为何数，直线恒过定点 13．已知直线，圆，写出满足“对于直线上任意一点，在圆上总存在点使得”的的一个值 ． 14．已知平面向量，，满足，，，且，若恒成立，则实数的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．求与直线平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是15的直线方程. 16．已知的顶点边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.求： (1)顶点的坐标； (2)边的垂直平分线方程. 17．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)若圆直线交于，两点，____，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为； 条件②：； 条件③：. 18．已知点、，设过点的直线与的边交于点（其中点异于两点），与边交于（其中点异于两点），若设直线的斜率为. (1)试用来表示点和的坐标； (2)记 的面积为，当为何值时，取得最大值?并求此最大值. 19．圆，点为x轴上一动点，过点P引圆C的两条切线，切点分别为M，N. (1)若，求切线方程； (2)直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由； (3)若两条切线PM，PN与直线y=1分别交于A，B两点，求面积的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的方程（基础卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线的方程为：，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得直线的斜率为：， 设直线的倾斜角为，则，且. 所以.故C项正确. 故选：C 2．对于圆：，下列说法正确的为（ ） A．点圆的内部 B．点圆的外部 C．圆的圆心为 D．圆的半径为3 【答案】A 【详解】对于A，B，将点代入圆C中，得，所以点圆C的内部，故A正确，B错误； 对于C，D，由得，所以圆的圆心为，半径为，故C，D错误. 故选：A. 3．已知直线，且，则实数（    ） A．1 B．0或1 C．0 D． 【答案】B 【详解】因为，且， 所以，即，解得：或. 故选：B 4．过点引圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 即， ∵直线与圆相切， ∴圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， ∴所求切线方程为. 综上，切线方程为或. 故选：D. 5．若点到直线的距离不超过，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为点到直线的距离不超过， 所以，即，解得，又，所以. 故选：B 6．已知圆和圆，则圆和圆的公切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】我们将圆的一般方程化为标准方程，得到， 故它的圆心为，半径， 由题意得，半径， 则由两点间距离公式得， 故两圆圆心距为5，满足， 故两圆外切，圆和圆的公切线条数为3，故C正确. 故选：C 7．已知入射光线从射出，经过直线上的点B后第一次反射，若此反射光线经过直线上的点C时再次反射，反射后经过点.则可以求得直线的斜率为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【详解】如图，分别作出点关于的对称点，点关于的对称点， 根据光的反射原理，点在直线上， 所以. 所以直线的斜率为3. 故选：D. 8．已知圆是与直线，圆都相切的半径最小的圆，则圆的半径和圆心坐标分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得圆的标准方程为，所以半径为， 如图，过圆心作直线的垂线，由题意得垂线斜率为， 故设其方程为，将带入其中， 可得，解得，所以垂线方程为， 因为求半径最小的圆，所以圆的圆心在直线上， 而圆心到直线的距离为， 故圆的半径为， 设圆心，已知，解得， 即圆心，故D正确. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知，，，则（    ） A．直线与线段有公共点 B．直线的倾斜角大于 C．的边上的高所在直线的方程为 D．的边上的中垂线所在直线的方程为 【答案】BC 【详解】对A：因为，，所以点在直线的同一侧，所以直线与线段无公共点，故A错误； 对B：因为直线的斜率为：，所以直线的倾斜角大于，故B正确； 对C：因为，所以边的高所在直线的斜率为，又直线过点， 由直线的点斜式方程可得的边上的高所在直线的方程为，即，故C正确； 对D：因为线段的中点坐标为，所以线段的中垂线所在直线的方程为，即，故D错误； 故选：BC 10．（多选）关于方程表示的圆，下列叙述正确的是（    ） A．圆心在直线上 B．圆心在直线上 C．圆过原点 D．圆的半径为 【答案】ACD 【详解】圆可化为.圆心坐标为适合方程. 正确，不适合错误，把代入圆的方程适合，正确，又， 正确.故选ACD. 11．直线：和圆：，下列结论成立的是（    ） A．直线：过定点 B．当实数的值为3时，直线与圆相交，且所得弦长为 C．当直线与圆相切时，则实数 D．圆：与圆的公切线有且只有两条 【答案】ABD 【详解】对于选项A：直线：，可得，解得， 可知直线恒过点，所以A正确； 圆：，，所以圆心，半径为， 当实数的值为3时，：， 圆心到直线的距离为：， 所以直线与圆相交，所得弦长为：，所以B正确； 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为： ，解得，所以C不正确； 圆：，圆心，半径为， ，两圆半径和为，半径差为， 所以， 所以两圆相交，所以两圆的公切线有且只有两条,所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．不论为何数，直线恒过定点 【答案】 【详解】由， 得， 令，解得， 即直线恒过定点. 故答案为：. 13．已知直线，圆，写出满足“对于直线上任意一点，在圆上总存在点使得”的的一个值 ． 【答案】1（答案不唯一） 【详解】圆可化为，所以，对于直线上的任意一点， 在圆上总存在点使得，即对于直线任意一点， 都能向圆引切线，即直线与圆相离， 所以点到直线的距离，解得，故的值可以为1． 故答案为：1（答案不唯一） 14．已知平面向量，，满足，，，且，若恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】 【详解】 以为坐标原点，建立平面直角坐标系，不妨设， 由题知，则，故可设. 设，则， 即点在圆上运动. 令， ， 故，则实数的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．求与直线平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是15的直线方程. 【答案】 【详解】∵直线的斜率为， ∴设所求直线方程为， 令，得；令，得， 由题意，，，∴，∴， 故所求直线方程为，即. 16．已知的顶点边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.求： (1)顶点的坐标； (2)边的垂直平分线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）所在的直线方程为，则直线斜率， 由，得 边所在直线方程为，整理得. ，解得，所以点的坐标为.    （2）设，为中点，则. ，解得， ，则中点为， ，垂直平分线的斜率为， 垂直平分线的方程为，整理得. 17．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)若圆直线交于，两点，____，求的值. 从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答： 条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为； 条件②：； 条件③：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）设圆心坐标为，半径为. 由圆的圆心在直线上，知：. 又圆与轴相切于点， ，，则. 圆圆心坐标为，则圆的方程为 （2）如果选择条件①：，而， 圆心到直线的距离， 则， 解得或. 如果选择条件②和③：，而， 圆心到直线的距离， 则， 解得或3. 如果选择条件③：，而， 圆心到直线的距离， 则， 解得或3. 18．已知点、，设过点的直线与的边交于点（其中点异于两点），与边交于（其中点异于两点），若设直线的斜率为. (1)试用来表示点和的坐标； (2)记 的面积为，当为何值时，取得最大值?并求此最大值. 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）由已知得直线斜率存在，设． 由，得，又，所以． 由，得． （2）． 设，则． ， 当且仅当时，等号成立． 19．圆，点为x轴上一动点，过点P引圆C的两条切线，切点分别为M，N. (1)若，求切线方程； (2)直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由； (3)若两条切线PM，PN与直线y=1分别交于A，B两点，求面积的最小值. 【答案】(1)和； (2)直线过定点，理由见解析； (3) 【详解】（1）解：因为，所以， 设过点且与圆相切的直线方程为，即， 所以圆心到直线的距离， 解得或， 所以切线方程为：和； （2）解：直线过定点，理由如下： 由题意可知四点共圆，其直径为， 所以圆心为，半径为， 所以此圆的方程为: , 即， 由，可得， 即直线的方程为， 所以直线过定点； （3）解：设直线，的方程分别为：， 又因为与分别与圆相切， 所以， 即， 所以是方程的两根， 所以， 又因为， 所以， 当时，取等号， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$