作图题专练2024-2025学年苏科版数学八年级上册

2024-2025八年级数学上册作图题 1. 如图，校园有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（请保留作图痕迹） 2. 如图，已知，利用直尺和圆规作图． （1）作的角平分线； （2）在的边上方作； （3）在（2）作图的基础上，在射线上截取，使得，连接，请直接写出与的关系． 3. 如图，网格中的和是轴对称图形． （1）利用网格线，作出和的对称轴； （2）如果每个小正方形的边长为，则的面积为 ___________； （3）结合所画图形，在直线上找点，使的值最小，在图中标出点的位置． 4. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在小正方形的顶点上． （1）在图1中画（点D在小正方形的顶点上），使得与全等，且点D在直线的下方（点D与点C不重合）； （2）在图2中画（点E在小正方形的顶点上），使得与全等，且； 5. 下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知：直线及直线上一点. 求作：直线，使得. 作法：①以点为圆心，任意长为半径画弧，交直线于两点； ②分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在直线一侧相交于点； ③作直线. 所以直线就是所求作的垂线. 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面证明. 证明：∵___________，___________， ∴（__________________）.（填推理的依据） 6. 如图所示是每一个小正格都是边长为1的正方形网格． （1）利用网格线作图： ①在上找一点M使点M到和的距离相等； ②在射线上找一点N，使． （2）在（1）中连接与，直接写出的面积． 7. 利用网格作图．要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）在图①中找一点P，使点P到AB和AC的距离相等且PB＝PC； （2）在图②中，△ABC的顶点均在正方形网格格点上，作出△ABC的角平分线BD. 8. 如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上． （1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'； （2）点P在直线MN上，当△PAC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．（保留标出点P的痕迹） 9. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、． （1）把向上平移个单位长度后得到，请画出，此时点的坐标为_________； （2）已知点与点关于直线成轴对称，请画出直线． 10. 如图，已知OA和OB是两条公路，C，D是两个村庄，建立一个车站M，使车站到两个村庄距离相等，即MC＝MD，且M到OA，OB两条公路的距离相等．请用尺规作图法作出点M的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 11. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线l对称的（要求：A与，B与，C与相对应） （2）在直线上找一点Q，使的值最小． 12. 如图，已知△ABC，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）作的平分线，交于点D； （2）在线段上求作一点E，使得，并说明理由． 13. 如图，在长度为个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称； （2）直接写出的面积__________； （3）在图中找出点，使得最小，并求出这个最小值． 14. （1）如图1，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： ①画出关于直线l对称； ②在直线l上找一点P，使最小． （2）如图2：已知和C、D两点，用直尺和圆规求作一点P，使，且点P到两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 15. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为．在图①，图②中已画出线段，在图③中已画出点．按下列要求画图： （1）在图①中，以格点为顶点，为一边画等腰三角形；这样的三角形有 个（不画图）； （2）在图②中，以格点为顶点，为一边画一个正方形； （3）在图③中，以点为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形，这个正方形的面积= ． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（－1，2），B（2，1）． （1）在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标； （2）△A1OB1的面积为 ； （3）在x轴上存在点P，使得PA+PB的值最小， 则点P的坐标为 ． 17. 如下图，某通信公司要修建一座信号发射塔．按设计要求，发射塔到两城镇P、Q的距离相等，到两条高速公路、的距离也相等．在图中画出发射塔的位置(要求保留作图痕迹，不写作法)，并说明理由． 2024-2025八年级数学上册作图题答案 1. 如图，校园有两条路，在交叉口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你用尺规作出灯柱的位置点P．（请保留作图痕迹） 【答案】如图，点P为所作． 【解析】 【分析】本题考查了作图，分别作线段的垂直平分线和角平分线，根据角平分线上的点到线段两端的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得到它们的交点，熟知角平分线和线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】连接，作的垂直平分线， 作的角平分线， 两线交于，此时点为所求灯柱位置，如图所示： 2. 如图，已知，利用直尺和圆规作图． （1）作的角平分线； （2）在的边上方作； （3）在（2）作图的基础上，在射线上截取，使得，连接，请直接写出与的关系． 【答案】（3）， 【分析】（1）按照角平分线的作图方法作图即可； （2）按照作一个角等于已知角的作图方法，作即可； （3）以A点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点F，连接，证明四边形为平行四边形，即可得出，． （1）解：如图，以点A为圆心，任意长为半径作弧，与、交于M、N点，分别以M、N点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于P点，连接并延长交于点D，即为的角平分线； （2）解：如图，以点C为圆心，任意长为半径作弧，与、交于G、H点；再以点A为圆心，长为半径作弧，交于点J，再以点J为圆心，长为半径作弧，在边上方交前弧于点E，则； 【小问3详解】 解：如图，以A点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点F，连接． ， ， 由作图方法可知， 四边形为平行四边形， ，． 3. 如图，网格中的和是轴对称图形． （1）利用网格线，作出和的对称轴； （2）如果每个小正方形的边长为，则的面积为 ___________； （3）结合所画图形，在直线上找点，使的值最小，在图中标出点的位置． 【答案】【解析】 【分析】（1）连接对应点，作出对应点连线的垂直平分线； （2）用割补法进行计算即可； （3）连接，与直线交于点． 解：（1）如图，直线l即为所求； （2）， 故答案为：3； （3）如图，连接，与直线交于点，点即为所求． 4. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在小正方形的顶点上． （1）在图1中画（点D在小正方形的顶点上），使得与全等，且点D在直线的下方（点D与点C不重合）； （2）在图2中画（点E在小正方形的顶点上），使得与全等，且； 【答案】（1）解：利用轴对称图形的性质找出点的对应点，连接，，则即为所求作的三角形，如图所示： （2）解：利用中心对称图形的性质找出点的对应点，连接，，则即为所求作的三角形，如图所示： 【点睛】本题主要考查了网格作图，解决问题的关键是熟练掌握运用轴对称性质中心对称性质确定对应点，解题的关键是确定点D和点E的位置． 5. 下面是小东设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知：直线及直线上一点. 求作：直线，使得. 作法：①以点为圆心，任意长为半径画弧，交直线于两点； ②分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在直线一侧相交于点； ③作直线. 所以直线就是所求作的垂线. 根据小东设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面证明. 证明：∵___________，___________， ∴（__________________）.（填推理的依据） 【答案】（1）见解析，（2），；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（或三线合一）. 【解析】 【分析】（1）根据已知步骤作图即可． （2）根据作图，直接利用“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”即可得到答案.. 【详解】解：（1） 如图： （2）证明：∵AD，BD， ∴（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）. 故答案为，；“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”或“三线合一”. 6. 如图所示是每一个小正格都是边长为1的正方形网格． （1）利用网格线作图： ①在上找一点M使点M到和的距离相等； ②在射线上找一点N，使． （2）在（1）中连接与，直接写出的面积． 【答案】【分析】（1）根据网格特点作出的角平分线与的交点就是M，作的垂直平分线与的交点就是N； （2）首先利用勾股定理计算出，，，然后利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形进而计算出面积即可． 【小问1详解】 点M就是所要求作到和的距离相等的点， 点N就是所要求作的使的点， 【小问2详解】 连接与， ∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 7. 利用网格作图．要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹． （1）在图①中找一点P，使点P到AB和AC的距离相等且PB＝PC； （2）在图②中，△ABC的顶点均在正方形网格格点上，作出△ABC的角平分线BD. 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）利用网格图的性质，作的角平分线，再确定的中点 利用网格图的性质取格点 作射线与的角平分线的交点即为所求作的点； （2）取格点 使 由勾股定理可得 连接 确定的中点 连接 交于 从而可得答案. 【详解】解：（1）如图，点即为所求作的点， （2）如图，线段即为所求作的的角平分线， 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握利用以上图形的性质作图是解题的关键. 8. 如图，在正方形网格中，点A、B、C、M、N都在格点上． （1）作△ABC关于直线MN对称的图形△A'B'C'； （2）点P在直线MN上，当△PAC周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点．（保留标出点P的痕迹） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形的性质画出△A'B'C'，即可求解； （2）连接A'C，交直线MN于点P，，点P即为所求．根据轴对称图形的性质可得AP= A'P，从而得到AP+CP= A'P+CP≥A'C，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，△A'B'C'即为所求． 【小问2详解】 解：连接A'C，交直线MN于点P，如图所示，点P即为所求． 理由：∵△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称， ∴AP= A'P， ∴AP+CP= A'P+CP≥A'C， 即当AP+CP的最小值为A'C的长，此时△PAC周长最小． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为、、． （1）把向上平移个单位长度后得到，请画出，此时点的坐标为_________； （2）已知点与点关于直线成轴对称，请画出直线． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析 图见解析，点的坐标为： 故答案为：； 【点睛】本题考查作图﹣平移，轴对称变换；解题的关键是根据题意画出图形． 10. 如图，已知OA和OB是两条公路，C，D是两个村庄，建立一个车站M，使车站到两个村庄距离相等，即MC＝MD，且M到OA，OB两条公路的距离相等．请用尺规作图法作出点M的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据建立一个车站M，使车站到两个村庄距离相等，即MC＝MD，则M在线段CD的垂直平分线上；再由M到OA，OB两条公路的距离相等，则M又在∠AOB的角平分线上，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接CD，分别以C、D为圆心，以大于CD长的一半为半径画弧，二者交于G、H，连接GH；以O为圆心，以任意长为半径画弧，分别与OA，OB交于E、F，再分别以E，F为圆心，以大于EF长的一半为半径画弧，二者交于点P，连接OP并延长与GH交于M，点M即为所求． 【点睛】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的性质与线段垂直平分线的性质． 11. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线l对称的．（要求：A与，B与，C与相对应） （2）在直线上找一点Q，使的值最小． 【答案】【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 小问2详解】 解：如图所示，点Q即为所求； 12. 如图，已知△ABC，用不带刻度的直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）作的平分线，交于点D； （2）在线段上求作一点E，使得，并说明理由． 【答案】【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）作线段的垂直平分线交于点E，点E即为所求． 小问1详解】 解：如图，射线即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点E即为所求． 理由：根据作法得：垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 13. 如图，在长度为个单位的小正方形组成的网格中，点、、在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线成轴对称； （2）直接写出的面积__________； （3）在图中找出点，使得最小，并求出这个最小值． 【答案】（1）作图见详解 （2） （3）点的位置见详解，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可求解； （2）长度为个单位的小正方形组成的网格中，过点作的延长线于，可知，，由此即可求解； （3）由（2）可知点关于的对称点为点，连接交于点，即为所求点的位置，连接，在中，，即可求解． 【小问1详解】 解：关于直线成轴对称的如图所示， 【小问2详解】 解：如图所示，过点作的延长线于， 可知，， ∴． 故答案为3. 【小问3详解】 解：如图所示， 由（2）可知点关于的对称点为点，连接交于点，连接，在中，， ∴图中点为所求点的位置，使得最小，这个最小值是． 【点睛】本题主要考查图形变换，轴对称——最短途径，掌握轴对称的性质，两点之间线段最短是解题的关键． 14. （1）如图1，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： ①画出关于直线l对称； ②在直线l上找一点P，使最小． （2）如图2：已知和C、D两点，用直尺和圆规求作一点P，使，且点P到两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）①先分别找出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可；②连接交直线l于P，点P即为所求； （2）分别作线段的垂直平分线，的角平分线，二者的交点即为所求． 【详解】解：（1）①如图所示，即为所求； ②点P即为所求： （2）如图所示，点P即为所求； 【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，画垂直平分线和角平分线的性质和尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键． 15. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为．在图①，图②中已画出线段，在图③中已画出点．按下列要求画图： （1）在图①中，以格点为顶点，为一边画等腰三角形；这样的三角形有 个（不画图）； （2）在图②中，以格点为顶点，为一边画一个正方形； （3）在图③中，以点为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形，这个正方形的面积= ． 【答案】（1） 【分析】（1）根据勾股定理，结合网格结构．以B为圆心，AB长为半径画圆，可以画出3个；以A为圆心，AB长为半径画圆，可以画出2个 （2）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出边长为正方形； （3）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可． 【小问1详解】 如图①，符合条件的点有个： ； 【小问2详解】 如图②，正方形即为满足条件的图形： ； 【小问3详解】 如图③，边长为的正方形的面积最大． ． 此时正方形的面积为， 故答案为． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点O（0，0），A（－1，2），B（2，1）． （1）在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标； （2）△A1OB1的面积为 ； （3）在x轴上存在点P，使得PA+PB的值最小， 则点P的坐标为 ． 【答案】（1）图见详解，A1（1，2），B1（﹣2，1）；（2）2.5；（3）（1，0）． 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质，找出对应点的位置即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1OB1的面积． （3）根据两点之间，线段最短可知：作点B关于x轴的对称点B'，连接BB'交x轴于点P，可得点P的坐标． 【详解】解（1）如图所示，即为所求， 由图形知，A1（1，2），B1（﹣2，1）； （2）△A1OB1的面积＝3×21×22×11×3＝25， 故答案是：2.5； （3）如图，作点B关于x轴的对称点B'，连接BB'交x轴于点P， 由图形知，点P即为所求，点P的坐标为（1，0）， 故答案为：（1，0）． 【点睛】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 17. 如下图，某通信公司要修建一座信号发射塔．按设计要求，发射塔到两城镇P、Q的距离相等，到两条高速公路、的距离也相等．在图中画出发射塔的位置(要求保留作图痕迹，不写作法)，并说明理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】作出角平分线和PQ的垂直平分线，两线的交点就是信号发射塔的位置 【详解】解：如图所示点G或即为所求． 理由：根据角平分线上的点到角两边的距离相等， 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， 可知，发射塔位于公路、组成的角的角平分线与线段PQ的垂直平分线的交点G或处． 【点睛】此题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握线段垂直平分线和 学科网（北京）股份有限公司 $$