期中考前满分冲刺之优质压轴题-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、最值问题 1．如图，在中，有一点P在上移动，若，，则的最小值为（    ） A．8 B．8.8 C．9.8 D．10 2．如图，在菱形中，E、F分别是边，上的动点，连结，，G，H分别为、的中点，连．若，，则GH的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 3．如图，在中，，平分交边于点D，点E、F分别是边上的动点，当的值最小时，最小值为（　　） A．6 B． C． D． 4．如图，已知正方形边长为，点在边上，且，点，分别是边，上的动点（均不与顶点重合），则四边形的周长的最小值是 ． 5．如图，在四边形中，，，，，点在上，且，点和点为边上的两个动点，且，则的最小值为 ． 6．代数式的最小值是 ． 类型二、蚂蚁爬行问题 1．如图，正方体的棱长为，是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径是（    ） A．9 B． C． D．12 2．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（   ）    A． B． C． D． 3．如图，圆柱的底面直径为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路径是（注：取3）（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，一棱长为的正方体，把所有的面均分成个小正方形．其边长都为假设一只蚂蚁每秒爬行，则它从上底面点沿表面爬行至侧面的点，最少要用 秒（结果保留一位小数）． 5．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短路程为 ．    6．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ． 类型三、几何与函数图像问题 1．如图1，正方形的边上有一定点E，连接，动点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到终点C图2是点P运动时，的面积随时间变化的全过程图象，则的长度为（    ） A． B． C． D． 2．如图1，在矩形中，点M从点A出发，以固定的速度沿运动到点D停止，连接，设点M的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当M为的中点时，的面积为（    ） A．5 B．8 C． D．12 3．如图1．点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（    ）． A．6 B．12 C．18 D．24 4．如图，在梯形中（图1），，，．动点P以每秒的速度沿着方向运动，相应的的面积与时间之间的函数关系如图2所示．则梯形的面积为 ．（温馨提示：梯形的面积） 5．如图1，在矩形中，动点E从点B出发，沿方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，的面积为y，y关于x的函数图像如图2所示，矩形的面积为 ． 6．如图1，在直角中，，D是的中点，动点P从点C沿出发，沿运动到点B．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的关系图象如图2所示．    （1） ． （2）当点P运动到边的中点时， ． 类型四、一次函数中的规律 1．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，，正方形，使得点、、、，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点，过B作x轴的平行线交直线于，过作y轴的平行线交直线于，过作x轴的平行线交直线于，…如此反复，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在坐标轴上取点，作轴的垂线与直线交于点，作等腰直角三角形；又过点作轴的垂线交直线于点，作等腰直角三角形如此继续，则点的坐标是 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，直线与x轴交于点M，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是 ．    类型五、二次根式中的整数、小数部分 1．的整数部分为，小数部分为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．设的整数部分为，小数部分为，的值是（　　） A． B． C． D． 3．若的整数部分为 ． 4．若的整数部分是a，小数部分是b，则a的值为 ． 5．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 6．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小燕用来表示的小数部分．理由是：对于正无理数，用本身减去其整数部分，差就是其小数部分．因为的整数部分为1，所以的小数部分为． 参考小燕同学的做法，解答下列问题： (1)写出的小数部分为 ； (2)已知与的小数部分分别为和，求的值； (3)如果，其中是整数，，那么 ； (4)设无理数为正整数）的整数部分为，那么的小数部分为 （用含，的式子表示）． 类型六、一次函数中的面积问题 1．如图，函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于点，其中点为函数图象上点，且其纵坐标为2，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．已知一次函数和的图像都经过点，且与y轴交于B点，O为坐标系原点，那么的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，点为直线上一动点，当的面积为四边形面积的时，点的坐标为 ． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，直线经过的顶点B，且将的面积分为的两部分，则直线的表达式为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为．点在轴的负半轴上，连接、，三角形的面积为5． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发以每秒2个单位的速度沿轴负半轴方向运动，设点的运动时间为秒，连接，三角形的面积为，用含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)在(2)的条件下，为何值时把三角形的面积分成两部分？ 6．如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合．图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)边没有运动时，边的长度是 　　； (2)边的长度是 　　； (3)当时，长方形的面积是 　　； (4)在变化过程中，长方形面积的最大值　　； (5)直接写出边向左平行移动时，长方形的面积与时间之间的关系式． 类型七、动点求t 1．如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒．在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为秒． (1)线段______； (2)当秒时，求的面积； (3)当点时，______； 2．已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动且速度为每秒2cm，点Q从点B开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒， (1)当秒时，求的面积； (2)当时，______； (3)若将周长分为两部分，求出t的值． 3．如图，在中，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为秒．    (1)求的长； (2)用含的代数式表示的长； (3)当是直角三角形时，求的值． 4．如图，在中，，， ，是从点 出发的动点，沿的轨迹以2的速度向点 运动，设点 的运动时间为    (1)当时，求的面积． (2)是否存在点 ，使得是以 为腰的等腰三角形 若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． (3)若点 在的角平分线上不与点 重合，求的值． 5．如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． (1)当秒时，求的面积； (2)若平分，求的值； (3)过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？ 6．如图，已知在中，，，，点在线段上，且，点从点出发沿射线方向以每秒个单位长度的速度向右运动．设点的运动时间为秒，连接．    (1)当时，求的长度； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值． 类型八、根式有理化 1．分母有理化是我们常用的一种化简方法，如：．利用这种方法化简． (1)； (2)． 2．阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：______． (2)若，求的值． 3．先阅读，后解答： ； 像上述解题过程中，与，与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程中也称为分母有理化 (1)的有理化因式为________；的有理化因式为________． (2)化简：． (3)计算： 4．观察下列运算： ； ； ； ······ (1)通过观察上面的解答过程得_______，_________（用含n的式子表示，n为正整数）． (2)化简：． 5．阅读下面的材料，并解答后面的问题： ； ； ； … (1)观察上面的等式，请直接写出（为正整数）的结果　　　； (2)计算　　　； (3)请利用上面的规律及解法计算：． 6．【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)比较大小：_______．（用“＞”“＜”或“=”填空） (2)已知，，求的值； (3)解方程：．（利用“对偶式”相关知识，提示：令）． 类型九、一次函数中的几何问题 1．（1）问题解决：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以为腰在第二象限作等腰直角，，点A、C的坐标分别为 、 ． （2）综合运用：①如图2，在平面直角坐标系中，点A坐标，点B坐标，过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数图象上一动点，若是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标． ②如图2，在（2）的条件中，若M为x轴上O、B两点之间的一动点，连接，把绕M点逆时针旋转至线段，求的最小值． 2．已知如图，轴，平分，点，点，交轴于点，交轴于点，且．    (1)求线段所在直线解析式； (2)点为折线上一动点，点由点出发向终点以一个单位每秒的速度运动，设运动时间为，的面积为S，用含的式子表示面积S，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在时间使得为直角三角形，若存在请求出值，若不存在请说明理由． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，已知点A的横坐标为，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线与y轴交于点D．    (1)求直线的解析式； (2)将直线向上平移6个单位得到直线，直线l3与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线，若点M为垂线上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当C的值最小时，求此时点M的坐标及的最小值； (3)在（2）条件下，如图2，已知点P、Q分别是直线、上的两个动点，连接、、，是否存在点P、Q，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由． 4．【模型建立】 （1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌． 【模型应用】 （2）如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （3）直线与轴交于点，点是轴上的动点，平面内有一点．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不能，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x负半轴交于点B，，直线与直线交于点C． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点P为直线上一动点，连接，，求的最小值及此时点P的坐标； (3)将直线沿射线方向平移个单位长度得到新直线，在新直线上是否存在点M，使得与新直线的夹角为，若存在，请写出点M的横坐标，选一种情况写出求解过程，若不存在，说明理由． 6．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点． (1)求的长； (2)如图1，点在轴的负半轴上，点在上，连接交轴于点，点为的中点，设点的横坐标为的面积为，求与的函数解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，将射线绕点顺时针旋转，交轴的负半轴于点，连接，若，求S的值． 类型十、一次函数的新定义 1．在平面直角坐标系中，对于线段，直线l和图形W给出如下定义：线段关于直线l的对称线段为分别是M，N的对应点），若与均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段关于直线l的“对称封闭图形”．如图，点． 概念理解： (1)线段关于y轴的对称线段点坐标是______； (2)已知图形：以线段为边的等边三角形，：以O为对角线交点且边长为2的正方形，在中，线段关于y轴的“对称封闭图形”是______； 应用拓展： (3)以O为对角线交点的正方形的边长为4，各边与坐标轴平行，若正方形是线段关于直线的“对称封闭图形”，求b的取值范围． 2．定义：在平面直角坐标系中，将直线的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点①、②、③、 ④，在的 “k 倍伴随线”上的点有______（填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（    ）； A． B． C． D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确是是______（填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使为等腰直角三角形，求k的值． 3．在平面直角坐标系中，任意两点，定义：，的绝对距离是．例如：如图1，，则的绝对距离，即线段与的和．    (1)已知点，则，的绝对距离______． (2)已知：点，若点满足，则在图2中画出所有符合这一条件的点X组成的图形，此时x、y满足的条件是______ (3)已知，若点Y在坐标轴上，且满足，求点的坐标． 4．在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点和点就是等距点． (1)已知点A的坐标是，在点中，点A的“等距点”是 ； (2)已知点B的坐标是，点C的坐标是，若点B与点C是“等距点”，求点C的坐标； (3)若点与点是直线上的两个“等距点”，求k的值． 5．【概念学习】 对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：分别为图形和图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为图形和图形之间的“关联距离”，记作．例如，如图①，点与轴之间的“关联距离”．    【理解概念】 （1）如图②，已知点在边长为3的正方形内，则______． 【深入探索】 （2）如图③，在等边中，点的坐标是，点在轴上，点是轴上一点，若，求点的坐标． 【拓展延伸】 （3）已知，当时，对于每一个，若线段和一次函数（是常数，）的图像之间的“关联距离”，则的取值范围是______． 6．点P、点和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点P关于点Q的等垂点． (1)已知点Q的坐标为， ①如下图所示，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点的坐标________； ②如下图所示，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标； (2)如下图所示，若点Q的坐标为，P为直线上一点，P关于点Q的等垂点位于y轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、最值问题 1．如图，在中，有一点P在上移动，若，，则的最小值为（    ） A．8 B．8.8 C．9.8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查最短路线问题，勾股定理，确定出P点的位置是解题的关键． 首先根据题意得到当时，最小，过点B作，交于P，设，则，利用勾股定理可得关于x的方程，解即可求x，在中，利用勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵有一点P在上移动， ∴ ∴当长度最小时，的值最小 ∴过点B作，交于P， ∴此时长度最小，的值最小 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴ 解得， 在中，， ∴． 故选：C． 2．如图，在菱形中，E、F分别是边，上的动点，连结，，G，H分别为、的中点，连．若，，则GH的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先连接，根据中位线的性质可知，要求最小，即求最小，当时，取得最小值，再根据勾股定理求出答案． 【详解】连接， ∵点G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 当时，取最小值，即最小． 在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 在中，， ∴． 所以的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，确定点F的位置是解题的关键． 3．如图，在中，，平分交边于点D，点E、F分别是边上的动点，当的值最小时，最小值为（　　） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、最短路线问题，构造，使得，，当且仅当点A、E、G共线，且与垂直时，的值最小，即边上的垂线段，再利用面积计算求值即可． 【详解】如图所示，在边上截取，连接，过点A做交于点H， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当且仅当A、E、G共线，且与垂直时，的值最小，即边上的垂线段， ∵ ∴， ∵， ∴． ∴当的值最小时，最小值为． 故选：C． 4．如图，已知正方形边长为，点在边上，且，点，分别是边，上的动点（均不与顶点重合），则四边形的周长的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，勾股定理，作关于的对称点，点关于的对称点，连接，分别交于点，则，，可得 四边形的周长，由及两点之间线段最短，可知此时四边形的周长最小，利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作关于的对称点，点关于的对称点，连接，分别交于点，则，， ∴四边形的周长， ∵， ∴根据两点之间线段最短，可知此时四边形的周长最小， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形的周长最小值为， 故答案为：． 5．如图，在四边形中，，，，，点在上，且，点和点为边上的两个动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题以及平行线的性质，三角形三边关系，勾股定理，过点作得平行四边形，知，，作点关于对称点，连接，则，连接，当，，三点共线时，的值最小为，得到最小为，在中由勾股定理可得，从而可求出结论，熟练掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解: 过点作交于点，则四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 作点关于对称点，连接，则，， ∴， ∴， 当，，三点共线时，的值最小，为， ∴的最小值为， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：. 6．代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理的应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键． 作，过点B作，过点D作，使，，连接交于点C，则的长即为代数式的最小值，然后构造矩形，，利用矩形和直角三角形的性质可求得的值． 【详解】解：原式 作，过点B作，过点D作，使，连接交于点C，设，则的长即为代数式的最小值．如图所示， 过点A作交的延长线于点F，得矩形，则，，， 所以， 即的最小值为． 故答案为：． 类型二、蚂蚁爬行问题 1．如图，正方体的棱长为，是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径是（    ） A．9 B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径问题，勾股定理，解题的关键是将平面展开，组成一个直角三角形．将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可． 【详解】解：如图，正方体的左侧面与前面展开，得到长方形，过B作于C点； 由于正方体棱长为，则，， 由勾股定理得：； 故选：C． 2．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口的点处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口的点处觅食，已知钢管横截面的周长为，长为，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，理解几何体侧面展开图等，根据题意先画出几何体的侧面展开图，利用勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，作点关于右侧管口的对称点，连接，    由题意得：，，， ∴， ∵钢管横截面的周长为， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴小蜘蛛需要爬行的最短距离是． 故选：． 3．如图，圆柱的底面直径为，高为，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路径是（注：取3）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是平面展开-最短路径问题，此题最直接的解法就是将圆柱侧面进行展开，然后利用两点之间线段最短，再根据勾股定理计算即可． 【详解】在侧面展开图中， 的长等于底面圆周长的一半，即， ∵ 根据勾股定理得：， ∴从点A爬到点B的最短路径长， 故选：B． 4．如图所示，一棱长为的正方体，把所有的面均分成个小正方形．其边长都为假设一只蚂蚁每秒爬行，则它从上底面点沿表面爬行至侧面的点，最少要用 秒（结果保留一位小数）． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．把此正方体的点所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点和点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得； 如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得； 如下图所示，将正方体沿着它的棱长展开，由勾股定理得， ∵ ∴最短路径长为， ∴用时最少为秒． 故答案为：． 5．如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬行到点的最短路程为 ．    【答案】25 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为， 则． 又因为，所以． 故蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是． 故答案为：25．    6．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为 ． 【答案】10 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ，，， ， ； 如图2， ，，，， ， ， ， 蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为． 故答案为：10． 类型三、几何与函数图像问题 1．如图1，正方形的边上有一定点E，连接，动点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到终点C图2是点P运动时，的面积随时间变化的全过程图象，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点图象问题，弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系成为解题的关键． 当点P在点D时，设正方形的边长为，求出a的值；当点P在点C时，，解得，即可求解． 【详解】解：当点P在点D时，设正方形的边长为， 由题意可得：， 解得：； 当点P在点C时，即; 由题意可得：的面积， 解得：， 所以． 故选：C． 2．如图1，在矩形中，点M从点A出发，以固定的速度沿运动到点D停止，连接，设点M的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当M为的中点时，的面积为（    ） A．5 B．8 C． D．12 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，根据题意判断出转折点为点，由勾股定理求出 ，即可求解，熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：点是从点出发的，为初始点，观察图象可知，时，，则，点从点沿向点移动的过程中，是不断增加的，而点从点沿向点移动的过程中，是不断減少的， 因此转折点为点，点运动到点时，即时，，此时，即． 在中，，由勾股定理，得， 解得：， ， 当为的中点时，， 的面积， 故选：D． 3．如图1．点从的顶点出发，沿匀速运动到点，图2是点运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中为曲线部分的最低点，则的面积是（    ）． A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理的应用，解题的关键是注意结合图象求出线段的长度，本题属于中等题型．根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出线段长度解答即可． 【详解】解：根据题意观察图象可得，点P在上运动时，时，有最小值， 观察图象可得，的最小值为4，即：时，， 又∵， 因点P从点C运动到点A， 根据函数的对称性可得， ∴的面积． 故选：B 4．如图，在梯形中（图1），，，．动点P以每秒的速度沿着方向运动，相应的的面积与时间之间的函数关系如图2所示．则梯形的面积为 ．（温馨提示：梯形的面积） 【答案】 【分析】本题考查动点的图像问题，能从图象中提取相关信息计算是解题的关键． 【详解】由题可得当时，面积最大，这时点P与D重合， ∴梯形的高为， 从第到第时，面积不变， ∴， ∴梯形的面积， 故答案为：． 5．如图1，在矩形中，动点E从点B出发，沿方向运动至点C处停止，设点E运动的路程为x，的面积为y，y关于x的函数图像如图2所示，矩形的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据函数图象可得，当时，点E运动到点A，x的值在之间时，点E从点A运动到点D，可得，，即可求解． 【详解】解：由图可得，当时，点E运动到点A， ∴， ∵x的值在之间时，点E从点A运动到点D， ∴， ∴矩形的面积为， 故答案为：12． 6．如图1，在直角中，，D是的中点，动点P从点C沿出发，沿运动到点B．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的关系图象如图2所示．    （1） ． （2）当点P运动到边的中点时， ． 【答案】 4 4 【分析】本题考查动点问题的函数图象，三角形中线的性质． 当点P在上运动时，由，得到，根据当时，，可求出的长，进而求出．当点P运动到点A，即时，有最大值，从而得到，进而求得的面积，根据三角形的中线的性质即可解答． 【详解】解：当点P在上运动时， ∵点P的运动路程为x，即， ∴，即， ∴由图象可知：当时，， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 当点P运动到点A，即时，有最大值，即有最大值， ∴， ∴在中，， 当点P运动到边的中点时，， ∵点D是的中点， ∴，即． 故答案为：4，4 类型四、一次函数中的规律 1．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，，正方形，使得点、、、，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形、正方形的性质以及点的坐标的规律性，根据等腰直角三角形的性质、正方形的性质求出相应的边长是确定点坐标的关键．根据直线与轴、轴的交点坐标可判断出，、、，都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质以及正方形的性质可求出相应的边长，进而求出点、、、的坐标． 【详解】解：在中，令，得，令，得， 所以直线与轴交于点，与轴的交点坐标为， 因此有，、、，都是等腰直角三角形， 所以点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 即点， 故选：A． 2．如图，直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点，过B作x轴的平行线交直线于，过作y轴的平行线交直线于，过作x轴的平行线交直线于，…如此反复，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的有关知识，等腰直角三角形的性质，掌握探究规律题目的方法，从特殊到一般，归纳出规律，先找到的、的横坐标的规律，然后求出点坐标． 【详解】解：∵直线交x轴、y轴分别于、两点，直线交y轴于B点， ∴，， ∵过B作x轴的平行线交直线于， ∴， ∵过作y轴的平行线交直线于， ∴， ∵过作x轴的平行线交直线于， ∴ ∴的横坐标为1，的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为， 点在直线上， 点的纵坐标为64， 点． 故选：A． 3．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，，依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象上点的特点；能够根据作图特点，发现坐标的规律是解题的关键．写出一部分点的坐标，探索得到规律，，，，(是正整数)，，即可求解． 【详解】解：依题意，当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 依次得： ，，，， 由此发现规律：，，，，(是正整数)， ， ∴，即：， 故选：D． 4．如图，在坐标轴上取点，作轴的垂线与直线交于点，作等腰直角三角形；又过点作轴的垂线交直线于点，作等腰直角三角形如此继续，则点的坐标是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了坐标的探索规律题．根据点的坐标和直线解析式即可求出点的坐标，再根据等腰直角三角形的定义可得，并求出点的坐标，同理即可求出点，的坐标，找出规律即可归纳出点的坐标，即可得出答案． 【详解】解：过点作轴的垂线与直线交于点， 将代入，解得， 点的坐标为， ， △是等腰直角三角形， ，点的坐标为，，，， 同理可得，点的坐标为，，，， ，点的坐标为，，，， 点的坐标为，， 的坐标为，． 故答案为：，． 5．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征即可求解． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为； 当时，， ∴点的坐标为； 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，直线与x轴交于点M，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，分别计算、…的纵坐标得到规律，用规律解决问题即可． 【详解】解：作轴，轴，轴，垂足分别为   的纵坐标是； 设则 ，将坐标代入 得：， 解得：， 的纵坐标是； 设 ，将坐标代入 得： ， 解得：， 的纵坐标是； ， 的纵坐标为． 故答案为：． 类型五、二次根式中的整数、小数部分 1．的整数部分为，小数部分为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值，先估算出，从而即可得出、的值，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵的整数部分为，小数部分为， ∴，， ∴， 故选：A． 2．设的整数部分为，小数部分为，的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，正确确定的整数部分与小数部分的值是解题关键．首先根据的整数部分可确定的值，进而确定的值，然后将与的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵， ∴的整数部分， ∴小数部分， ∴． 故选：D． 3．若的整数部分为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了无理数的估算，先利用夹逼法估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可找出其整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的整数部分为1， 故答案为：1． 4．若的整数部分是a，小数部分是b，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，先估算的大小，求出整数部分即可． 【详解】∵， ∴， ∴的整数部分是， 故答案为：． 5．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查无理数的整数部分与小数， （1）根据材料提示，即，由此即可求解； （2）根据材料提示可得，，代入计算即可求解； （3）根据材料提示可得的小数部分，由此可得的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的整数部分为，小数部分为， 故答案为：； （2）解：∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵的整数部分为， ∴， ∵是整数，，且， ∴， ∴， ∴的相反数为． 6．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数．因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小燕用来表示的小数部分．理由是：对于正无理数，用本身减去其整数部分，差就是其小数部分．因为的整数部分为1，所以的小数部分为． 参考小燕同学的做法，解答下列问题： (1)写出的小数部分为 ； (2)已知与的小数部分分别为和，求的值； (3)如果，其中是整数，，那么 ； (4)设无理数为正整数）的整数部分为，那么的小数部分为 （用含，的式子表示）． 【答案】(1) (2)1 (3)9 (4) 【分析】本题主要考查立方根、无理数的估算及代数式的值，熟练掌握立方根、无理数的估算及代数式的值是解题的关键． （1）由题意易得，则有的整数部分为3，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，，然后可得，然后根据完全平方公式可进行求解； （3）由题意易得，则有的小数部分为，然后可得，进而问题可求解； （4）根据题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为； 故答案为：； （2）解：∵， ∵， ∴，， ∵与的小数部分分别为a和b， ∴， ∴； （3）解：由可知， ∵， ∴， ∴的小数部分为， ∵x是整数，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：9； （4）解：∵无理数（m为正整数）的整数部分为n， ∴的小数部分为， ∴的小数部分即为的小数部分，为； 故答案为：． 类型六、一次函数中的面积问题 1．如图，函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于点，其中点为函数图象上点，且其纵坐标为2，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，设直线与x轴交于D，先求出，得到，再分别求出B、C的坐标，再根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，设直线与x轴交于D， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴， 联立，解得， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 故选：A． 2．已知一次函数和的图像都经过点，且与y轴交于B点，O为坐标系原点，那么的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】将点代入可求出点A的坐标，进而可求出一次函数的解析式，据此即可求解． 【详解】解：将点代入得： ∴ 将代入得： 解得： ∴ 令，则 ∴ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题．正确求出函数解析式是解题关键． 3．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点，点为直线上一动点，当的面积为四边形面积的时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】由得，解得，可得，，可得四边形得面积为7；分两种情况：P在上方时，过点P作交x轴于点M，连接，可得，即，可得，直线为：，解得，当P在下方时，过点作交x轴于点，同理可得． 【详解】解：在中，令，则， ， 在中，令，则，当，则， ， ∴， 解，得， ， ，， ； P在上方时，过点P作交x轴于点M，连接，如图：   ， ， 的面积是四边形的面积的， ， ，即， ， ， ， 设直线为：， 将代入得：， ， 直线为：， 解，得， ， 当P在下方时，过点作交x轴于点，如图：   ， ， 的面积是四边形的面积的， ， ，即， ， ， ， 设直线为：， 将代入得：， ， 直线为：， 解，得， ， 综上所述，P得坐标为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及四边形、三角形面积，函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是通过作平行，转化三角形的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，直线经过的顶点B，且将的面积分为的两部分，则直线的表达式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，先求出两点坐标，根据直线经过的顶点B，且将的面积分为的两部分，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， 设直线与轴交于点，的表达式为， ∵直线将的面积分为的两部分， ①当时，则：， ∴， ∴，解得：， ∴； ②当，则：， ∴， ∴，解得：， ∴； 故答案为：或． 5．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为．点在轴的负半轴上，连接、，三角形的面积为5． (1)求点的坐标； (2)动点从点出发以每秒2个单位的速度沿轴负半轴方向运动，设点的运动时间为秒，连接，三角形的面积为，用含的式子表示，并直接写出的取值范围； (3)在(2)的条件下，为何值时把三角形的面积分成两部分？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标和线段长度的关系、三角形的面积公式，还考查了分类讨论的思想，解题的关键是根据题意找出线段长度，代入公式求解． （1）由坐标可知线段的长度，再根据三角形的面积公式即可求出坐标； （2）分情况讨论，用表示出两种情况下的长度，再根据面积公式即可求出结果； （3）分别表示出和的面积，然后利用面积比求出值即可． 【详解】（1）解：设点坐标为， 由题意可知：， ， 解得， 点在轴的负半轴上， ， 点坐标为． （2）当点在上运动时，即， 由题意可知，，， ， 当点在上运动时，即， 由题意可知，，， ， 综上所述，． （3）当点在上运动时， 由题意可知，，， 当时，即， 解得，， 当时，即， 解得，， 当点在上运动时，不满足把三角形的面积分成两部分， 综上所述，或． 6．如图1，长方形的一边向右匀速平行移动，运动一段时间之后停留了，又向左匀速平行移动，直至与边重合．图2反映了它的边的长度随时间变化而变化的情况，图3反映了变化过程中长方形的面积随时间的变化情况．请根据图象回答下列问题： (1)边没有运动时，边的长度是 　　； (2)边的长度是 　　； (3)当时，长方形的面积是 　　； (4)在变化过程中，长方形面积的最大值　　； (5)直接写出边向左平行移动时，长方形的面积与时间之间的关系式． 【答案】(1)2 (2)3 (3)28.5 (4)36 (5) 【分析】本题主要考查了长方形的面积公式、函数的图象、动点问题的函数图象、路程=速度×时间公式等知识，熟练掌握相关知识、数形结合是解题关键． （1）观察图2，当当时，，即可得解； （2）由图3可知，当时，，再根据长方形面积公式即可求出； （3）先算出向右运动的速度，在算出时的长度，此时面积即可求出； （4）观察图2得出最大值是12，代入面积公式即可求出值； （5）先算出向左运动的速度，再把用含的关系时表示出来，最后利用面积公式求即可． 【详解】（1）解：由图2可知，当时，， ， 故答案为：2； （2）解：由图3可知，当时，， ， ， 故答案为：3； （3）解：由图2可知，向右运动的速度为， 当时，走的路程为， 此时，， 故答案为：28.5； （4）解：由图2可知，的最大值是12，此时， 故答案为：36； （5）解：由图2可计算出，向左运动的速度， 此时， ． 类型七、动点求t 1．如图，已知中，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒．在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．设运动时间为秒． (1)线段______； (2)当秒时，求的面积； (3)当点时，______； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理： （1）根据勾股定理，即可求解； （2）根据题意可得，从而得到，再由三角形的面积公式，即可求解； （3）设，则，在中，由勾股定理可求出x的值，可得到点Q在上，即可求解； 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，当秒时，，且点Q在上， ∴， ∴； （3）解：设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在上， ∴， 故答案为：； 2．已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动且速度为每秒2cm，点Q从点B开始沿方向运动，在边上的运动速度是每秒，在边上的运动速度是每秒，它们同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止，设运动时间为t秒， (1)当秒时，求的面积； (2)当时，______； (3)若将周长分为两部分，求出t的值． 【答案】(1)9； (2)； (3)或． 【分析】此题考查了勾股定理，三角形与动点问题，实际问题与一元一次方程，解题中运用分类思想，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键． （1）根据题意可得，从而得到，再由三角形的面积公式，即可求解； （2）设，则，在中，由勾股定理可求出x的值，可得到点Q在上，即可求解； （3）分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∴； （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在上， ∴， 故答案为：； （3）解： ，， 当时，时， ，解得∶（舍去）， 当时， ，解得∶（舍去）， 当时， 当时， ，解得：， 当时， ，解得：， 综上所述：或． 3．如图，在中，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为秒．    (1)求的长； (2)用含的代数式表示的长； (3)当是直角三角形时，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）利用勾股定理求解即可； （）利用线段的和差定义求解即可； （）利用面积法求出，再利用勾股定理求出即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，， ，， ∴； （2）解：由题意得，， ∵， ∴； （3）解：当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在中，，， ，是从点 出发的动点，沿的轨迹以2的速度向点 运动，设点 的运动时间为    (1)当时，求的面积． (2)是否存在点 ，使得是以 为腰的等腰三角形 若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． (3)若点 在的角平分线上不与点 重合，求的值． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质； （1）根据题意得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）勾股定理求得，然后根据等腰三角形的定义分、两种情况讨论，即可求解； （3）过点作于点，根据角平分线的性质得出，依题意，进而根据等面积法求解即可． 【详解】（1） 解：依题意，时，， 则， ∴的面积； （2）解：存在，或，理由如下， ∵在中，，， ， ∴， 当时，    当时，则 ∴点运动的路程为， ∴ （3）解：如图所示，过点作于点，      ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴ 解得：． 5．如图，已知在中，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动，设点的运动时间为，连接． (1)当秒时，求的面积； (2)若平分，求的值； (3)过点作于点．在点的运动过程中，当为何值时，能使？ 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（）根据动点的运动速度和时间先求出，再利用三角形的面积计算公式解答即可求解； （）作于，利用角平分线的性质分别求得，再利用勾股定理 ，解得，最后利用，求得的值即可； （）根据动点运动的不同位置利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理，三角形的面积，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴当秒时，求的面积为； （2）解：当线段恰好平分时，作于，如图， ∵线段平分，， ， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， 解得； （3）解：点在线段上时，过点作于，连接，如图， 则， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 点在线段的延长线上时，过点作于，如图， 同得 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得； 综上所述，在点的运动过程中，当的值为或时，能使． 6．如图，已知在中，，，，点在线段上，且，点从点出发沿射线方向以每秒个单位长度的速度向右运动．设点的运动时间为秒，连接．    (1)当时，求的长度； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)连接，在点的运动过程中，当平分时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)4或 (3)或 【分析】（1）根据题意，得，当时，，进而勾股定理即可求解； （2）在中，，，勾股定理求得，若，则．若，则，在中，由勾股定理即可求解； （3）分两种情况讨论，①点在线段上时，如图，过点作于．②点P在线段的延长线上时，如图2，过点D作于E，结合图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得 当时， 在中，， 由勾股定理，得． （2）在中，，， 由勾股定理，得． 若，则． 在中，由勾股定理，得， 解得 若，则，解得． 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或 （3）①点在线段上时，如图，过点作于．    则． ． 平分，，， ，． ， ． 在中，由勾股定理，得， 解得 ②点在线段的延长线上时，如图，过点作于．    同①得， ， ， 在中，由勾股定理，得 解得 综上所述，在点的运动过程中，当平分时，的值为或 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． 类型八、根式有理化 1．分母有理化是我们常用的一种化简方法，如：．利用这种方法化简． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，熟练掌握题目中提供的方法，是解题的关键． （1）根据题目中提供的方法，分子分母同时乘以进行分母有理化即可； （2）根据题目中提供的信息，分子分母同时乘以进行分母有理化即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．阅读材料：像，，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：______． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题中所给有理化因式的定义及熟知二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据平方差公式和互为有理化因式的意义得出答案即可； （2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可 【详解】（1）解： （2）解：∵ ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． 3．先阅读，后解答： ； 像上述解题过程中，与，与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程中也称为分母有理化 (1)的有理化因式为________；的有理化因式为________． (2)化简：． (3)计算： 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式分母有理化，二次根式的乘法计算． （1）根据有理化因式的定义求解； （2）仿照材料中的方法，进行分母有理化即可； （3）把分母有理化得到，据此把所求式子裂项相消并计算求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴的有理化因式是，的有理化因式是， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解：（n为正整数） ， ∴ ． 4．观察下列运算： ； ； ； ······ (1)通过观察上面的解答过程得_______，_________（用含n的式子表示，n为正整数）． (2)化简：． 【答案】(1)， (2)7 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． （1）把的分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算即可；把的分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算即可； （2）先分母有理化，然后合并即可； 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． 5．阅读下面的材料，并解答后面的问题： ； ； ； … (1)观察上面的等式，请直接写出（为正整数）的结果　　　； (2)计算　　　； (3)请利用上面的规律及解法计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查分母有理化，二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则． （1）分子，分母都乘以，再化简即可； （2）直接利用平方差公式计算即可； （3）先计算括号内的运算，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 6．【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)比较大小：_______．（用“＞”“＜”或“=”填空） (2)已知，，求的值； (3)解方程：．（利用“对偶式”相关知识，提示：令）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，，，可得，进而可得结果； （2）由题意知，，，根据，代值求解即可； （3）令，则，即，可求，则，，整理得，，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：由题意知，，， ∴， ∴的值为； （3）解：令， ∴，即， 解得，， ∵， ∴，整理得，， ∴， 解得，， 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查了分母有理化，无理数的大小比较，代数式求值，平方差等知识．熟练掌握分母有理化，无理数的大小比较，代数式求值，平方差是解题的关键． 类型九、一次函数中的几何问题 1．（1）问题解决：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，以为腰在第二象限作等腰直角，，点A、C的坐标分别为 、 ． （2）综合运用：①如图2，在平面直角坐标系中，点A坐标，点B坐标，过点B作x轴垂线l，点P是l上一动点，点D是在一次函数图象上一动点，若是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出点D的坐标． ②如图2，在（2）的条件中，若M为x轴上O、B两点之间的一动点，连接，把绕M点逆时针旋转至线段，求的最小值． 【答案】（1），  ；（2）或；（3） 【分析】（1）①在中，分别求出当时，，当时，，即可求出A、B的坐标；如图所示，过点C作轴于D，通过证明，得到，则，即可求出； （2）①过点D作轴于F，延长交于G，先求出，设，则，，进而得到，同（1）的方法得，，得到，则，解得或，则点D的坐标为或或； ②过点N作轴于H，设，同理可证明，推出，则， ，当m增大时，增大，也增大，则的值随着m的增大而增大，故当时，有最小值，最小值为． 【详解】解：（1）在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 如图所示，过点C作轴于D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，过点D作轴于F，延长交于G， ∵点A坐标，点B坐标， ∴， ∵点D在直线上， ∴设， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 同（1）的方法得，， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴点D的坐标为或． ②如图所示，过点N作轴于H，设， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 当m增大时，增大，也增大， ∴当m增大时同时增大， ∴的值随着m的增大而增大， ∵点M在上运动， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为． ∴的值相当于x轴上一点． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，通过一线三垂直模型构造全等三角形是解本题的关键． 2．已知如图，轴，平分，点，点，交轴于点，交轴于点，且．    (1)求线段所在直线解析式； (2)点为折线上一动点，点由点出发向终点以一个单位每秒的速度运动，设运动时间为，的面积为S，用含的式子表示面积S，并直接写出的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在时间使得为直角三角形，若存在请求出值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或6 【分析】（1）利用待定系数法即可求出线段所在直线的解析式． （2）过A点作轴于F点，先证明，则可得，，进而可得．然后分两种情况：①当时，P点在线段上，根据即可求出S与t的关系式．②当时，P点在线段上，根据即可求出S与t的关系式． （3）若为直角三角形，则P点只能在线段上．然后分两种情况：①当时，②当时，分别求出的长，即可求出t的值． 【详解】（1）解：设线段所在直线解析式为， 则， 解得， ∴线段所在直线解析式为． （2）解：过A点作轴于F点． ∵， ∴， 在和中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴． ①当时，P点在线段上，，，    则 ． ②当时，P点在线段上，    ． 综上，． （3）解：若为直角三角形，则P点只能在线段上． ①当时，P点与F点重合，    ∵， ∴． ②当时，    ∵平分， ∴， 则， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，当或6时为直角三角形． 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合运用，用待定系数法求一次函数解析式，列一次函数关系式以及动点问题．正确的画出图形，并且分类讨论是解题的关键． 3．如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，已知点A的横坐标为，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线与y轴交于点D．    (1)求直线的解析式； (2)将直线向上平移6个单位得到直线，直线l3与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线，若点M为垂线上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当C的值最小时，求此时点M的坐标及的最小值； (3)在（2）条件下，如图2，已知点P、Q分别是直线、上的两个动点，连接、、，是否存在点P、Q，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)，最小值为 (3) 或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等和相似、点的对称性等等. （1）求出点的坐标，代入，即可求解； （2）点是点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点连接交轴、于点，则此时最小，最小值为即可求解； （3）证明, 则 即可求解. 【详解】（1）∵点的横坐标为， ， 将点代入 ， ∴直线的解析式； （2）与轴的交点， ∵将直线 向上平移个单位得到直线，直线与轴交于点， ， ∵过点作轴的垂线， 点是点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点， 连接交轴、 于点，则此时最小，最小值为， ， ； 的值最小为 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的表达式为 当 时，即 解得 ， 故点的坐标为，最小值为； （3）存在, 理由: 设点的坐标分别为： 当点E绕点P顺时针旋转时，过点作轴的平行线交轴于点，过点作于点,交于点，    ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 即：，， 解得： ∴点， 当当点E绕点P逆时针旋转时，    过点作轴的平行线交轴于点，过点作于点,交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 即：，， 解得： ∴点 ， 综上所述，点的坐标为 或 4．【模型建立】 （1）如图1，等腰直角中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：≌． 【模型应用】 （2）如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕点顺时针旋转至直线，求直线的函数表达式； （3）直线与轴交于点，点是轴上的动点，平面内有一点．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或或 【分析】本题考查一次函数综合应用，待定系数法，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用等； （1）由，，得，又，可得，根据可证； （2）过点作交于点，过点作平行于轴的直线过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为、，由将直线绕点顺时针旋转至直线，可得，是等腰直角三角形，即可得，有，，求出，，可得点的坐标为，用待定系数法得直线的函数表达式为； （3）求出，设，又，分当、、为直角顶点时，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图，过点作交于点，过点作平行于轴的直线，过点、点分别作直线的垂线，垂足分别为、， 将直线绕点顺时针旋转至直线， ， ， 是等腰直角三角形， ， 同（1）可得，， ，， 直线：与轴交于点，与轴交于点， ，， ，， 点的坐标为，， 设的函数表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的函数表达式为； （）解：能成为等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， ， 设，又， 当为直角顶点时，过作轴于，如图： ，，， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点时，过作轴交轴于，过作于，如图： 同理可得， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点，在轴负半轴时，过作轴于，如图： ，，， ， ，， ， 解得， ； 当为直角顶点，在轴正半轴时，过作轴于，如图： 同理可得， ，， ， 解得， ； 综上所述，当点的坐标为或或或时，为等腰直角三角形． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x负半轴交于点B，，直线与直线交于点C． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点P为直线上一动点，连接，，求的最小值及此时点P的坐标； (3)将直线沿射线方向平移个单位长度得到新直线，在新直线上是否存在点M，使得与新直线的夹角为，若存在，请写出点M的横坐标，选一种情况写出求解过程，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)的最小值为， (3)M的横坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）作点B关于直线的对称点，直线交直线于点N，连接交直线于点P，则点P为所求点，即可求解； （3）证明，求出点M、H的坐标分别为：，即可求解． 【详解】（1）解：∵，则点， 将点B的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （2）解：作点B关于直线的对称点，直线交直线于点N，连接交直线于点P，则点P为所求点， 理由：为最小， 点B与点关于直线的对称， ， 设， ，则， 解得：或（舍去，不符合题意） ， ， ， ， 的最小值为：， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ； （3）存在，理由： 解：将直线沿射线方向平移个单位长度，相当于将直线向右和向上分别平移了2个单位， 则，设该直线交y轴于点， 设符合条件的点为点M、， 过点A作交于点H，过点H作轴交y轴于点G，交过点M和y轴的平行线于点N， 则为等腰直角三角形，则， 设点， ∵， ∴， ∴， ∴， 则且， 解得：且， 则点M、H的坐标分别为：， 由题意得，点M、关于点H对称， 由中点坐标公式得，点； 综上，点M的横坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、点的对称性、一次函数的图象和性质等，分类求解是解题的关键． 6．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点． (1)求的长； (2)如图1，点在轴的负半轴上，点在上，连接交轴于点，点为的中点，设点的横坐标为的面积为，求与的函数解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，将射线绕点顺时针旋转，交轴的负半轴于点，连接，若，求S的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定及性质、勾股定理，添加合适的辅助线是解题的关键． （1）令，可求出点A的坐标，从而得出，再根据勾股定理即可得出答案； （2）过作于于，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，根据点C的坐标可得出，最后根据三角形面积公式即可得出答案； （3）根据题意可得出，根据角之间的关系可得出，设，可得出，在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形的性质得出，过点作轴于点，利用证明，最后根据全等三角形的性质结合勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）对于，当时，， 在中，， （2）过作于于 在和中 ， ， 设直线解析式为： ； （3）， ， ，且， ， 设， 则， ， ， 由题得：， ， 又 在上截取，连接， 在和中 ， 过点作轴于点， ， 在和中 ， ， 又， 在中，， 解得： 类型十、一次函数的新定义 1．在平面直角坐标系中，对于线段，直线l和图形W给出如下定义：线段关于直线l的对称线段为分别是M，N的对应点），若与均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段关于直线l的“对称封闭图形”．如图，点． 概念理解： (1)线段关于y轴的对称线段点坐标是______； (2)已知图形：以线段为边的等边三角形，：以O为对角线交点且边长为2的正方形，在中，线段关于y轴的“对称封闭图形”是______； 应用拓展： (3)以O为对角线交点的正方形的边长为4，各边与坐标轴平行，若正方形是线段关于直线的“对称封闭图形”，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题是一次函数综合题，考查了等腰直角三角形性质，轴对称性质，新定义等知识，解决问题的关键是几何直观能力． （1）根据轴对称的性质即可求解； （2）作出图形，观察得出结果； （3）作出点P关于的对称点，须使其对称点在正方形的边上时，是临界值，进而求得结果． 【详解】（1）∵点，线段关于y轴的对称线段， ∴， 故答案为：； （2）如图1， 关于y轴对称的线段是，由图可得： 和在正方形内，不在等边三角形内， ∴线段关于y轴的“对称封闭图形”为， 故答案为：； （3）如图2， 由图可得：点P关于对称点在正方形的边上，点P关于的对称点在正方形的边上， ∴ 2．定义：在平面直角坐标系中，将直线的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的倍，得到新的直线，则称直线为直线的“k倍伴随线”． 【定义辨析】 （1）若点在上，则下列四个点①、②、③、 ④，在的 “k 倍伴随线”上的点有______（填序号）； （2）下列函数图像是直线的“2倍伴随线”的是（    ）； A． B． C． D． 【定义延伸】 （3）若直线的“k倍伴随线”记为．现给出两个关系式：①；②．其中正确是是______（填序号）； 【定义应用】 （4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于A、B两点，若在它的“k倍伴随线”上存在一点C，能使为等腰直角三角形，求k的值． 【答案】（1）②④；（2）B；（3）②；（4）或3． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据“k倍伴随线”求解即可； （2）依据“k倍伴随线”求解即可； （3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，再将横、纵坐标都乘以，得，再将代入可得结果； （4）先求出，，再求出直线的“k倍伴随线”为，再分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）∵将横、纵坐标都乘以2，得到， 将横、纵坐标都乘以3，得到， ∴在的“k 倍伴随线”上的点有②、 ④， 故答案为：②④； （2）直线经过，将这两点横、纵坐标都乘以2，得， 设直线的“2倍伴随线”关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴直线的“2倍伴随线”关系式为， 故选：B； （3）直线中，令，得，令，得， ∴经过，将这两点横、纵坐标都乘以，得， ∵直线的“k倍伴随线”记为． ∴将代入得：， 故答案为：②； （4）直线中，令，得，令，得， ∴，， 设直线的“k倍伴随线”为， 将横、纵坐标都乘以，得到，， ∴， ∴直线的“k倍伴随线”为， 为等腰直角三角形，如图，分三种情况讨论： 当且时，得， ∴， ∴， 当且时，得， ∴， ∴， 当且时，得， ∴， ∴， 综上所述，或3 3．在平面直角坐标系中，任意两点，定义：，的绝对距离是．例如：如图1，，则的绝对距离，即线段与的和．    (1)已知点，则，的绝对距离______． (2)已知：点，若点满足，则在图2中画出所有符合这一条件的点X组成的图形，此时x、y满足的条件是______ (3)已知，若点Y在坐标轴上，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)画图见解析，，为任意实数 (3)或 【分析】（1）根据绝对距离的定义，解决问题即可． （2）根据绝对距离的定义得到，可判断所有符合这一条件的点组成的图形是直线（线段的垂直平分线）． （3）根据绝对距离的定义得到，分情况去绝对值得到结果，则折线即为所求作． 【详解】（1）解：由题意，P，Q的绝对距离， 故答案为：17． （2）∵，， ∴， 即， 即， ∴如图2中，所有符合这一条件的点X组成的图形是直线（线段的垂直平分线）．    故答案为：，为任意实数． （3）∵，， ∴， 即， 分，，； ，，共9种情况， 当，时， ， 化简得：； 同理：当，时，有； 当，时，有； ∴如图3中，折线即为所求作， 其中，N，轴．    ∵点Y在坐标轴上， ∴或 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了绝对距离的定义，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 4．在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点和点就是等距点． (1)已知点A的坐标是，在点中，点A的“等距点”是 ； (2)已知点B的坐标是，点C的坐标是，若点B与点C是“等距点”，求点C的坐标； (3)若点与点是直线上的两个“等距点”，求k的值． 【答案】(1)、 (2)或 (3)1或2 【分析】（1）先分析出直线上的点到、轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行选择即可； （2）根据“等距点”的定义解答即可； （3）将、代入得，．由，依据“等距点”定义可得关于的不等式，即可解答本题． 【详解】（1）点到、轴的距离中最大值为3，点到到、轴的距离中最大值为3， 与点是“等距点”的点是、， 故答案为：、； （2）由题意，可分两种情况：①，解得或5（不合题意，舍去）； ②，解得（不合题意，舍去）或， 综上所述，点的坐标为或； （3）、是直线上的两点， ，． ， ，． 依据“等距点”定义可得： 当时，，解得， 时，， ； 当时，，解得． 综上所述，的值为1或2． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了“等距点”的定义，一次函数图象的性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力． 5．【概念学习】 对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：分别为图形和图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为图形和图形之间的“关联距离”，记作．例如，如图①，点与轴之间的“关联距离”．    【理解概念】 （1）如图②，已知点在边长为3的正方形内，则______． 【深入探索】 （2）如图③，在等边中，点的坐标是，点在轴上，点是轴上一点，若，求点的坐标． 【拓展延伸】 （3）已知，当时，对于每一个，若线段和一次函数（是常数，）的图像之间的“关联距离”，则的取值范围是______． 【答案】（1）1；（2）的坐标为或或；（3）且 【分析】（1）根据“关联距离”的定义得：； （2）分三种情况画出图形：当在上方时，的坐标是；当在线段上时，过作于，可得，；当在下方时，； （3）求出直线过定点，当时，，，当时，，，直线过时，，把代入得，根据线段和一次函数是常数，的图象之间的“关联距离” ，可得直线与平行四边形无公共点，画出图形可得答案． 【详解】解：（1）与边长为3的正方形的边上的点的最小距离为1， 根据“关联距离”的定义得：， 故答案为：1； （2）当在上方时，如图：   ， ， 的坐标是， 的坐标是； 当在线段上时，过作于，如图：   ， ， 是等边三角形，， ， ， 的坐标是， ， ； 当在下方时，如图：   ， ， ； 综上所述，的坐标为或或； （3）如图：    当时，， 直线过定点， 当时，，， 当时，，， 把代入得：， 解得， 把代入得：， 解得， 线段和一次函数是常数，的图象之间的“关联距离” ， 直线与平行四边形无公共点， 由图可知，此时． ∵ ∴且 故答案为：且． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，等边三角形，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想和数形结合思想的应用． 6．点P、点和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点P关于点Q的等垂点． (1)已知点Q的坐标为， ①如下图所示，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点的坐标________； ②如下图所示，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标； (2)如下图所示，若点Q的坐标为，P为直线上一点，P关于点Q的等垂点位于y轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由． 【答案】(1)①或②或 (2) 【分析】（1）①根据新定义，得到轴，且，求解即可；②分点在轴正半轴和在轴负半轴上，两种情况进行求解即可； （2）过点作直线，过点作，证明，得到点在直线上运动，作点关于直线的对称点，得到，进而得到当三点共线时，的值最小，为的长，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵点P为原点，点Q的坐标为， ∴轴， ∴或； 故答案为：或； ②当点在轴负半轴上时：过点作， 则：， ∴， 又， ∴， ∴，即：点的纵坐标为， ∵点在直线上，当时，， ∴； 当点在轴正半轴上时：过点作， 同法可得：， ∴，即：点的纵坐标为， 当时，， ∴； 综上：或； （2）如图，过点作直线，过点作， ∵，点在直线上， ∴， 同（1）②法可得：， ∴， ∴点的横坐标为，即：点在直线上运动， 作点关于直线的对称点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， ∵， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用，利用轴对称解决线段最短问题，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握新定义，画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$