精品解析：重庆市涪陵第五中学校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题

重庆市涪陵第五中学2024-2025学年高三上学期 开学考试数学试题 （考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟） 一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定即可求解. 【详解】命题的否定是：， 故选:A. 2. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质和反例即可判断. 【详解】对于AB：取，满足，显然，不成立，错误； 对于C：因为，所以，正确； 对于D：取，显然不成立，错误， 故选：C 3. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，然后判断函数在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，，解得，即函数的定义域为， ，即函数为偶函数，排除CD选项， 当时，，，此时，排除A选项. 故选：B. 4. 学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中选取了男、女生各人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则（ ） 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 A. 参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多 B. 全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多 C. 若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 D. 若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 【答案】D 【解析】 【分析】根据等高堆积条形图即可判断A,B选项，计算出的值即可判断C,D选项. 【详解】对于A，由等高堆积条形图可知，参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数少，故A错误； 对于B，全校学生中男生和女生人数比不确定，故不能确定全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多，故B错误； 对于C，结合等高堆积条形图可得： 性别 游泳 合计 喜欢 不喜欢 男生 0.6n 0.4n n 女生 0.4n 0.6n n 合计 n n 2n 故， 若，则， 故依据的独立性检验，不可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故C错误； 对于D，若，则， 依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关，故D正确. 故选：D 5. 已知函数在内有最小值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，求解即可. 【详解】函数的定义域为， ， 令，可得或（舍）， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即最小值， 又因为函在内有最小值，故，解得， 所以的取值范围是. 故选：C. 6. 由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据：. A. 2024年 B. 2025年 C. 2026年 D. 2027年 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出不等关系，然后结合对数运算化简求出年份即可. 【详解】设2020年后第年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元， 由得， 两边同取常用对数，得， 所以，所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元. 故选：C. 7. 定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得函数的周期为2，函数与的图象在区间上有4个交点，利用数形结合即得. 【详解】因为定义在R上的函数满足， 所以，即是周期为2的函数， 由，可得， 因为在区间上函数恰有4个不同的零点， 所以函数与的图象在区间上有4个交点， 作出函数与的大致图象， 由图象可知，解得， 即实数m的取值范围为. 故选：D. 8. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ） A. 44 B. 46 C. 48 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：分析可知甲的排位有可能是第二、三、四3种情况，分类讨论结合组合数分析求解；解法二：利用间接法，根据题意先排甲不排首尾，再排除不符合题意的情况，结合组合数分析求解. 【详解】解法一：多重限制的排列问题： 甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲为优先元素分类计数， 甲的排位有可能是第二、三、四3种情况： ①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有种排法，则有； ②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有种排法，则有； ③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2种排法，丙不排第二位，有2种排法，余下2人有种排法，则有； 综上，该5名同学可能的名次排情况种数为种. 解法二：间接法： 甲不排首尾，有三种情况，再排乙，也有3种情况，包含丙的余下3人有种排法，共有种不同的情况； 但如果丙是第二名，则甲有可能是第三、四名2种情况；再排乙，也有2种情况；余下2人有种排法，故共有种不同的情况； 从而该5名同学可能的名次排情况种数为种. 故选：B. 二、 多选题 （本题共计3小题，总分18分） 9. 已知数据，满足：，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是（ ） A. 中位数不变 B. 若，则数据的第75百分位数为13 C. 平均数不变 D. 方差变小 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用中位数、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可. 【详解】原来的中位数与现在的中位数均为，故中位数不变，故A正确； 当时，数据按从小到大顺序排列：. 因为，所以该组数据的第75百分位数是第8个数15，故B错误； 由于，故， 原来的平均数为， 去掉后的平均数为，平均数不变，故C正确； 原来的方差为， 去掉后的方差为， 方差变小，故D正确. 故选：ACD. 10. 若，则下列说法正确的是（ ） A. 的展开式中奇数项的二项式系数之和为 B. C. D. 除以10的余数为9 【答案】BC 【解析】 【分析】由二项展开式二项式系数之和的性质判断A；利用赋值法判断B；利用展开式通项公式判断C；利用构造二项式的展开式来解决整除和余数问题判断D. 【详解】的展开式中奇数项的二项式系数之和为，故A错误； 令，可得，令，， 则，故B正确； ，故C正确； ，故除以10的余数为1，故D错误. 故选：BC. 11. 设都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意有(为常数)，，则（ ） A. B. C. 为周期函数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用奇函数的性质，结合赋值法得到，判断A； 运用赋值，结合，得到判断B； 设，由已知推得即为周期函数，判断C；根据题意推得 为等差数列，再根据等差数列性质求和即可判断D. 【详解】对于A，在中，且，都是定义在上的奇函数， 令得，则，又为单调函数，则有， 即，所以，所以，所以A错误； 对于B，由，且得，所以B正确； 对于C，设，则由， 可得，所以，所以， 即为周期函数，所以C正确； 对于D，由，得， 即，所以为等差数列，且，即， 故，从而 . 所以D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：求解的关键是由得，进而得到是首项和公差均为4的等差数列从而再利用等差数列的前n项和公式即可计算得解. 三、 填空题 （本题共计3小题，总分15分） 12. 若，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，，再由基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 13. 函数的值域为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，由的取值范围及指数函数的性质即可求解． 【详解】设，由得，， 所以，则， 因为在上单调递减，所以， 故答案为：． 14. 设定义域为的函数的导函数为，对任意的有恒成立，且在上成立.若，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】构建，结合题意分析的奇偶性和单调性，由题意可得原不等式化为，根据奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】设，可知的定义域为， 因为，即， 则， 则函数为偶函数， 当时，，可知函数在单调递增， 由偶函数性质可得函数在单调递减， 因为，可得， 即，可得，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据题意构建函数，分析其奇偶性和单调性，进而解不等式. 四、 解答题 （本题共计5小题，总分77分） 15. 某工厂统计了某产品的原材料投入（万元）与利润（万元）间的几组数据如下： 原材料投入（万元） 82 84 85 86 88 利润（万元） 770 800 830 850 900 （1）根据经验可知原材料投入（万元）与利润（万元）间具有线性相关关系，求利润（万元）关于原材料投入（万元）的线性回归方程； （2）当原材料投入为100万元时，预估该产品的利润为多少万元？ 附：，. 【答案】（1） （2）原材料投入为100万元时，预计该产品的利润为万元. 【解析】 【分析】（1）利用最小二乘法结论求回归方程系数，由此可得回归方程； （2）利用回归方程求预测值. 【小问1详解】 设利润（万元）关于原材料投入（万元）的线性回归方程为， 由已知， ， ， ， 所以，， 所以利润（万元）关于原材料投入（万元）的线性回归方程为； 【小问2详解】 由（1）当时，， 所以当原材料投入为100万元时，预计该产品的利润为万元. 16. 已知函数（）． （1）当时，过点作的切线，求该切线的方程； （2）若函数在定义域内有两个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设切点为，求导，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点，求出切点，即可得解； （2）分离参数，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象仅有两个交点，求的取值范围． 【小问1详解】 当时，，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以，即，所以， 所以切线方程为，即； 【小问2详解】 由，得，令， 则， 令得，令得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴， 当趋向于时，趋向，当趋向于时，趋向， 作出函数的图象和直线， 如图示，在定义域内有且仅有两个零点, 即和有且只有两个交点， 由图象知，的取值范围是． 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 17. 某物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一项基本操作：每位参赛选手从A类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的(否则终止比赛)，才能进行第二步技能操作：从B类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止.A类题操作正确得10分，B类题操作正确得20分.以两步操作得分总和决定优胜者.总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖.某校选手李明A类7题中有5题会操作，B类5题中每题正确操作的概率均为，且各题操作互不影响. （1）求李明被终止比赛的概率； （2）求李明获一等奖的概率； （3）现已知李明A类题全部操作正确，求李明B类题操作完后总分的期望. 【答案】（1） （2） （3）80 【解析】 【分析】（1）李明被终止比赛表示选出的4题2题不会操作且2题会操作，根据相互独立事件的概率公式计算； （2）李明获一等奖表示类4道题全部操作正确，且类3道题全部操作正确，由相互独立事件的概率公式计算； （3）类题全部操作正确后得分为，则的取值为：，且类题正确操作题数，通过二项分布的概率计算公式可以求得. 【小问1详解】 设“李明被终止比赛”事件为，表示选出的4题2题不会操作且2题会操作， 故李明被终止比赛的概率； 【小问2详解】 设李明获一等奖的事件为，事件即类4道题全部操作正确， 且类3道题全部操作正确，故由独立事件的概率公式可得； 【小问3详解】 设李明在竞赛中，类题全部操作正确后得分为，则的取值为：， 且类题正确操作题数，可得； ；； ， 从而. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若函数有唯一的极值点 . ①求实数取值范围； ②证明：. 【答案】（1）的极小值为，无极大值； （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）当时，求得，得出函数的单调性，结合极值的概念，即可求解； （2）①由（1）知，函数，得到在上单增，且，分和，两种情况讨论，结合函数的单调性与极值，即可求解； ②由①可知，根据题意，转化为在成立，令，求得，构建，利用导数求得在上递减，得到成立，得到，令，得到在内单调递增，得到，，进而得到在上单调递增，即可得到中. 【小问1详解】 由函数，可得其定义域为，且， 当时，可得， 则当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，函数的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 ①由（1）可知，分析的图像特征， 可得在上单调递增，且， 当时，则恒成立， 故函数在恒单调递增，即无极值点； 当时，令，解得舍去，， 则函数的单调递增区间为，单调递减区间为 即此时有唯一的极值点，且满足成立； 综上所述：当时，函数有唯一的极值点； ②由①可知，函数有唯一的极值点，且， 故 ， 即等价于在时恒成立， 令， 可得且, 当时，构建， 则， 由，则， 所以对恒成立，所以在上单调递增， 即对恒成立，故在上单调递减， 即在上有成立； 又当时，则， 令，则， 当时，，可得在内单调递增，则有， 故在内单调递增，则， 故当时，有， 则对上恒成立， 则在上单调递增，可得， 综上所述：对恒成立，即. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 19. 在不大于的正整数中，所有既不能被整除也不能被整除的个数记为. （1）求，的值； （2）求关于的表达式； （3）记表示不超过的最大整数，若，探究是否为定值，若是，求其值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 为定值，5 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合新定义的运算，即可求得和的值，得到答案； （2）在不大于的所有正整数中，能被2整除的数有个，能被3整除的数有个，进而得到的表达式； （3）由（2）知，当时，，得到；当时，结合不等式的放缩，求得，进而得到，当时，，求得，即可得到答案. 【小问1详解】 在不大于的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，共5个，所以； 在不大于的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，17，19，23，25，共9个，所以. 【小问2详解】 在不大于的所有正整数中，能被2整除的数有个，能被3整除的数有个， 能被2和3同时整除的数，即是能被6整除的数，其个数有个， 所以满足题意的表达式为. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，所以； 当时，， （上式放缩用到了糖水不等式，若，则） 则时，， 因为，所以当时，， 综上可得，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市涪陵第五中学2024-2025学年高三上学期 开学考试数学试题 （考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟） 一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分） 1. 命题的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中选取了男、女生各人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则（ ） 参考公式及数据：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 A. 参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多 B. 全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多 C. 若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 D. 若，依据的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关 5. 已知函数在内有最小值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 由于我国与以美国为首的西方国家在科技领域内的竞争日益激烈，美国加大了对我国一些高科技公司的打压，为突破西方的技术封锁和打压，我国的一些科技企业积极实施了独立自主､自力更生的策略，在一些领域取得了骄人的成绩.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子”问题，实现芯片制造的国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司2020年全年投入芯片制造方面的研发资金为120亿元，在此基础上，计划以后每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元的年份是（ ）参考数据：. A. 2024年 B. 2025年 C. 2026年 D. 2027年 7. 定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行数学建模比赛，决出了第1名到第5名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2名.”从这三个回答分析，5名同学可能的名次排列情况种数为（ ） A. 44 B. 46 C. 48 D. 54 二、 多选题 （本题共计3小题，总分18分） 9. 已知数据，满足：，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是（ ） A. 中位数不变 B. 若，则数据的第75百分位数为13 C. 平均数不变 D. 方差变小 10. 若，则下列说法正确的是（ ） A. 的展开式中奇数项的二项式系数之和为 B. C. D. 除以10的余数为9 11. 设都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意有(为常数)，，则（ ） A. B. C. 为周期函数 D. 三、 填空题 （本题共计3小题，总分15分） 12. 若，则的最小值为_________. 13. 函数的值域为_________． 14. 设定义域为的函数的导函数为，对任意的有恒成立，且在上成立.若，则实数的取值范围为__________. 四、 解答题 （本题共计5小题，总分77分） 15. 某工厂统计了某产品的原材料投入（万元）与利润（万元）间的几组数据如下： 原材料投入（万元） 82 84 85 86 88 利润（万元） 770 800 830 850 900 （1）根据经验可知原材料投入（万元）与利润（万元）间具有线性相关关系，求利润（万元）关于原材料投入（万元）的线性回归方程； （2）当原材料投入为100万元时，预估该产品的利润为多少万元？ 附：，. 16. 已知函数（）． （1）当时，过点作的切线，求该切线的方程； （2）若函数在定义域内有两个零点，求的取值范围． 17. 某物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一项基本操作：每位参赛选手从A类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的(否则终止比赛)，才能进行第二步技能操作：从B类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止.A类题操作正确得10分，B类题操作正确得20分.以两步操作得分总和决定优胜者.总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖.某校选手李明A类7题中有5题会操作，B类5题中每题正确操作的概率均为，且各题操作互不影响. （1）求李明被终止比赛的概率； （2）求李明获一等奖的概率； （3）现已知李明A类题全部操作正确，求李明B类题操作完后总分的期望. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的极值； （2）若函数有唯一的极值点 . ①求实数取值范围； ②证明：. 19. 在不大于的正整数中，所有既不能被整除也不能被整除的个数记为. （1）求，的值； （2）求关于的表达式； （3）记表示不超过的最大整数，若，探究是否为定值，若是，求其值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $