精品解析：四川省成都市成飞中学2024-2025学年高一上学期新生入学分班质量检测数学试题

2024-2025学年四川省成都市成飞中学高一新生入学分班质量检测数学试题 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 若分式的值为，则的值是（ ） A. 或 B. C. D. 2. 已知一次函数，当函数值时，自变量取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在菱形中，与相交于点，，则菱形边长等于（ ） A 10 B. C. 5 D. 6 4. 把直线沿水平方向平移4cm，平移后的图象为直线，则直线与直线之间的距离为（ ） A. 等于4cm B. 小于4cm C. 大于4cm D. 小于或等于4cm 5. 在中，已知，则的度数是（ ） A B. C. D. 或 6. 如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，是中位线，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，且，则______. 10. 在平面直角坐标系第一象限内，边长为1的正方形的边均平行于坐标轴，点的坐标为.如图，若曲线 与此正方形的边有交点，则的取值范围是______. 11. 某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于10%，则至多可以打_____折． 12. 当______时，分式方程会产生增根． 13. 如图，在中，为等边三角形，点E为围成的区域（包括各边）内的一点，过点E作，交直线AC于点M，作，交直线AB于点N，则的最大值为_____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两个中，点、、都是格点． （1）将△向左平移6个单位长度得到△．请画出△； （2）将△绕点按逆时针方向旋转得到△，请画出△． 15. 如图所示，点P的坐标为，把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q． （1）写出点Q的坐标是________； （2）若把点Q向右平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的点落在第四象限，求的取值范围； （3）在（2）条件下，当取何值，代数式取得最小值． 16. 铜仁市积极推动某公园建设，通过旅游带动一方经济，计划经过若干年使公园绿化总面积新增450万平方米．自2016年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.5倍，这样可以提前3年完成任务． （1）求实际每年绿化面积是多少万平方米 （2）为加大公园绿化力度，市政府决定从2019年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？ 17. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为a．直线交x轴于E，交y轴于F，且a、b、c分别满足，． （1）求直线的解析式并直接写出正方形的对角线的交点D的坐标； （2）直线沿x轴正方向以每秒移动1个单位长度的速度平移，设平移的时间为t秒，问是否存在t的值，使直线EF平分正方形的面积？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）点P为正方形对角线AC上的动点（端点A、C除外），，交直线AB于M，求的值． 18. 如图，在中，点E，F分别在上，且，求证：四边形是平行四边形． B卷 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，已知EF是的中位线，交AB于点D，CD与EF交于点G，若，，则AC的长为___________． 20. 如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点、重合），且交于，交于，则阴影部分的面积是__________． 21. 已知不等式组的解集是，则的值是的___． 22. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是_____. 23. 计算_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 分解因式：． 25. 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究： ①如图1，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． ②如图3，在中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由； （3）问题解决： 如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG，GE，已知．求GE的长度． 26. 商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件，当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件．据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为55元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？ （2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年四川省成都市成飞中学高一新生入学分班质量检测数学试题 A卷（100分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 若分式的值为，则的值是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零，进而得出答案． 【详解】因为分式的值为， 所以， 解得：或． 故选：A 2. 已知一次函数，当函数值时，自变量的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出一元一次不等式的解，即可判断得答案. 【详解】由，得，解得， 因此自变量的取值范围在数轴上2的右侧，B正确. 故选：B 3. 如图，在菱形中，与相交于点，，则菱形边长等于（ ） A. 10 B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出的长，再在直角中，利用勾股定理列式进行计算，即可得解． 【详解】因为四边形是菱形，且 可得，且， 在直角中，可得， 所以菱形的边长是． 故选：C． 4. 把直线沿水平方向平移4cm，平移后的图象为直线，则直线与直线之间的距离为（ ） A. 等于4cm B. 小于4cm C. 大于4cm D. 小于或等于4cm 【答案】D 【解析】 【分析】分直线与轴垂直和不垂直两种情况讨论可得结果. 【详解】若直线垂直于轴，将直线沿水平方向平移4cm，得到直线，则直线与直线之间的距离为4cm； 若直线与轴不垂直，将直线沿水平方向平移4cm，得到直线，则直线与直线之间的距离小于4cm. 故选：D 5. 在中，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的对角相等即可得出答案． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴. 故选：B． 6. 如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，利用勾股定理计算出即可． 【详解】 把圆柱沿母线AC剪开后展开，点展开后的对应点为， 则蚂蚁爬行的最短路径为， 如图，由题意可知，， 在，， 所以它爬行的最短路程为， 故选：C 7. 如图，在中，，是中位线，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先由含30°角的直角三角形的性质，得出BC的长，再由三角形的中位线定理得出DE的长，即可得到答案． 【详解】在中，，可得， 又因为为中位线，可得. 故选：A. 8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数作答． 【详解】根据二次根式的意义，被开方数，解得． 故选：D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 如图，在四边形中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，且，则______. 【答案】45 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理易证是等腰三角形，然后根据平行线的性质和三角形外角的性质求出，再求等腰直角三角形底角即可得. 【详解】是的中点，、分别是、的中点， ， ， 又，， 是等腰三角形， ， ， ， . 故答案为：45. 10. 在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形的边均平行于坐标轴，点的坐标为.如图，若曲线 与此正方形的边有交点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出点的坐标，然后分别把的坐标代入求得的值，即可求得的取值范围． 【详解】当反比例函数经过点时，即， 解得：（负根舍去）； 根据题意可得点的坐标， 当反比例函数经过点时，即， 解得：（负根舍去）， 由图形可知取值范围为． 故答案为：． 11. 某种商品的进价为400元，出售时标价为500元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于10%，则至多可以打_____折． 【答案】8.8 【解析】 【分析】设打折，则售价是元．根据利润率不低于就可以列出不等式，求出的范围． 【详解】解：要保持利润率不低于，设可打折． 则， 解得． 故答案为：8.8． 12. 当______时，分式方程会产生增根． 【答案】6 【解析】 【分析】解分式方程，根据增根的含义：使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根，即可求得． 【详解】去分母得，解得， 而此方程的最简公分母为， 令，即增根为． 即，解得． 故答案为：6 13. 如图，在中，为等边三角形，点E为围成的区域（包括各边）内的一点，过点E作，交直线AC于点M，作，交直线AB于点N，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形将转化为NH，将，即过A点作，过作交的延长线于点，，由围成的区域（包括各边）内的一点到直线AP的最大值时E在D点时，通过直角三角形性质和勾股定理求出即可得到结论． 【详解】过点作，过作交的延长线于点， 因为，，则四边形是平行四边形， 设，， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴在同一直线上， ， 由图可知：△BCD围成的区域（包括各边）内的一点到直线AM距离最大的点在D点， 过D点作，垂足为． 当在点时，=取最大值． ∵， ∴，四边形是矩形， ∴， ∵为等边三角形，， ∴=， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两个中，点、、都是格点． （1）将△向左平移6个单位长度得到△．请画出△； （2）将△绕点按逆时针方向旋转得到△，请画出△． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）将点A、B、C分别向左平移6个单位长度，得出对应点，即可得出△； （2）将点A、B、C分别绕点O按逆时针方向旋转180°，得出对应点，即可得出△． 【小问1详解】 如图所示：△，即为所求； 【小问2详解】 如图所示：△即为所求． 15. 如图所示，点P的坐标为，把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q． （1）写出点Q的坐标是________； （2）若把点Q向右平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的点落在第四象限，求的取值范围； （3）在（2）条件下，当取何值，代数式取得最小值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）作轴于A，轴于B，则，证明，可得，结合点P的坐标和点位置即得； （2）利用点平移的规律表示出点的坐标，然后根据第四象限点的坐标特征得到a的不等式组，解不等式即得； （3）由（2）得，，代入所求式子得，结合二次函数的图象特征和的范围，即可求得最小值． 【小问1详解】 如图，作轴于A，轴于B，则， 且， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P的坐标为， ∴， ∴点Q的坐标为； 【小问2详解】 把点向右平移a个单位长度，向下平移a个单位长度后， 得到的点M的坐标为， 因M在第四象限，故，解得， 即a的范围为； 【小问3详解】 由（2）得，， ∴ ， ∴当时，代数式的最小值为0． 16. 铜仁市积极推动某公园建设，通过旅游带动一方经济，计划经过若干年使公园绿化总面积新增450万平方米．自2016年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.5倍，这样可以提前3年完成任务． （1）求实际每年绿化面积是多少万平方米 （2）为加大公园绿化力度，市政府决定从2019年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？ 【答案】（1）实际每年绿化面积为75万平方米； （2）平均每年绿化面积至少还要增加375万平方米． 【解析】 【分析】（1）设原计划每年绿化面积为万平方米，则实际每年绿化面积为万平方米．根据“实际每年绿化面积是原计划的1.5倍，这样可提前3年完成任务”列出方程； （2）设平均每年绿化面积增加a万平方米．则由“完成新增绿化面积不超过2年”列出不等式． 【小问1详解】 设原计划每年绿化面积为x万平方米， ，解得， 经检验，是此分式方程的解． 可得， 答：实际每年绿化面积为万平方米． 【小问2详解】 设平均每年绿化面积至少还要增加a万平方米， ，解得． 答：平均每年绿化面积至少还要增加万平方米． 17. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为a．直线交x轴于E，交y轴于F，且a、b、c分别满足，． （1）求直线的解析式并直接写出正方形的对角线的交点D的坐标； （2）直线沿x轴正方向以每秒移动1个单位长度的速度平移，设平移的时间为t秒，问是否存在t的值，使直线EF平分正方形的面积？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； （3）点P为正方形的对角线AC上的动点（端点A、C除外），，交直线AB于M，求的值． 【答案】（1）； （2）存在，5； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b，c的值，进而确定出直线，得到正方形的边长，即可确定出D坐标； （2）存在，理由为：对于直线，令求出x的值，确定出E坐标，根据题意得：当直线EF平移到过D点时正好平分正方形的面积，设平移后的直线方程为，将D坐标代入求出b的值，确定出平移后直线解析式，进而确定出此直线与x轴的交点，从而求出平移距离，得到t的值； （3）过P点作，交于N、Q，交CB、OA于G、H，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用角平分线定理得到，利用AAS得到三角形OPH与三角形MPQ全等，得到，根据四边形为正方形，得到，由三角形CGP为等腰直角三角形得到，即可求出所求式子的值． 【小问1详解】 ∵，， ∴ ∴直线的解析式为：， ∵正方形的对角线的交点D，且正方形边长为4， ∴； 【小问2详解】 存在，理由为： 对于直线， 当时，，则E点的坐标为， 根据题意，当直线EF平移到过D点时正好平分正方形的面积， 设平移后的直线为，代入D点坐标，得，即， ∴平移后的直线方程为， 令，得到，此时直线和x轴的交点坐标为， 平移的距离为，则秒； 【小问3详解】 过P点作，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H， ∵ ∴ ∴ ∵AC为平分线，且 ∴ 在和中， ∴， ∴， ∵四边形CNPG为正方形， ∴， ∴ 即． 【点睛】关键点点睛：结合已知条件通过证，四边形为正方形，四边形是矩形，四边形是矩形，并由此得到是关键. 18. 如图，在中，点E，F分别在上，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和题设条件可推得AF∥EC和AF=EC，再由平行四边形的判定定理即可证得． 【详解】在中，且， ∵，∴．又因 ∴四边形是平行四边形. B卷 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，已知EF是的中位线，交AB于点D，CD与EF交于点G，若，，则AC的长为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】由三角形中位线定理得出，，，证出GE是△BCD的中位线，得出，，由线段垂直平分线的性质得出，再由勾股定理即可求出AC的长． 【详解】是的中位线， ，，， 是CD的中点， ∴GE是的中位线， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， . 故答案为：8． 20. 如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点、重合），且交于，交于，则阴影部分的面积是__________． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】根据题意可得阴影部分的面积等于的面积，因为的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积． 【详解】 设，交于点， 四边形为菱形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形． ． 即阴影部分的面积等于的面积． 面积等于菱形的面积的一半， 又菱形的面积为：， 图中阴影部分的面积为：． 故答案为：. 21. 已知不等式组的解集是，则的值是的___． 【答案】 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集求出的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】， 由①得，， 由②得，， 所以，不等式组的解集是， 不等式组的解集是， ，， 解得，， 所以，． 故答案为：． 22. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】若函数的图象经过第一、二、四象限，则，由此可以确定m的取值范围. 【详解】因为直线经过第一、二、四象限， 则，解得. 故答案是：. 23. 计算_____． 【答案】 【解析】 【分析】先分别进行二次根式的化简、二次根式的乘法运算，然后再进行二次根式的加减运算即可得． 【详解】. 故答案为:． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 分解因式：． 【答案】. 【解析】 【分析】原式提取公因式后，利用完全平方公式分解即可． 【详解】解：原式＝． 25. 定义：我们把对角线互相垂直四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由． （2）性质探究： ①如图1，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． ②如图3，在中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN的形状，并说明理由； （3）问题解决： 如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG，GE，已知．求GE的长度． 【答案】（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由见解析. （2）①，证明见解析；②四边形FMAN是矩形，理由见解析. （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）①根据垂直的定义和勾股定理解答即可；②根据在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，可得，再根据△ABD和△ACE是等腰三角形，可得，再由（1）可得，，从而判定四边形FMAN是矩形； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【小问1详解】 四边形ABCD是垂美四边形，理由如下： 连接AC、BD， 因为，则点A在线段BD的垂直平分线上， 又因为，则点C在线段BD的垂直平分线上， 所以直线AC是线段BD的垂直平分线，则， 所以四边形ABCD是垂美四边形； 【小问2详解】 ①，理由如下： 如图，已知四边形ABCD中，，垂足为E， 因为，则， 由勾股定理得， ， 所以； ②四边形FMAN是矩形，理由如下： 如图，连接AF， 因为在中，点F为斜边BC的中点， 则，可知和是等腰三角形， 则， 由（1）可得，， 因为，则， 所以四边形FMAN是矩形； 小问3详解】 连接CG、BE， 因为， 则，即 在和中，则，可得， 则， 因为，则，即， 所以四边形CGEB是垂美四边形， 由（2）得， 且，可得， 则，所以． 26. 商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件，当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件．据此规律，请回答： （1）当每件商品售价定为55元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？ （2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售定价为多少元时，商场日盈利可达到8000元？ 【答案】（1）每天可销售450件商品，商场获得的日盈利是6750元； （2）每件商品售价为60或80元时，商场日盈利达到8000元． 【解析】 【分析】(1)首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利； (2)设商场日盈利达到100元时，每件商品售价为x元，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列方程求解即可． 【小问1详解】 当每件商品售价为55元时，比每件商品售价50元高出5元，即(元)， 则每天可销售商品450件，即(件)， 商场可获日盈利为(元)． 答：每天可销售450件商品，商场获得的日盈利是6750元； 【小问2详解】 设商场日盈利达到8000元时，每件商品售价为x元． 则每件商品比50元高出元，每件可盈利元， 每日销售商品为(件)． 依题意得方程， 整理，得，解得或80． 答：每件商品售价为60或80元时，商场日盈利达到8000元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$