第11讲 椭圆及其标准方程（七大考点）-2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版）

2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第11讲 椭圆及其标准方程 学习目标： 1．了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2．掌握椭圆的定义和标准方程. 3．会求椭圆的标准方程. 重点难点： 重点：理解椭圆的定义及椭圆的标准方程，掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程 难点：理解椭圆标准方程的推导过程，领会坐标法的应用 知识点一、椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集． 知识点二、椭圆的标准方程 椭圆 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 焦距 的关系 考点01 椭圆的定义 1．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 2．平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，若，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 4．已知椭圆的左、右焦点分别为．点在上，且．，则（    ） A． B．1 C． D．2 5．已知P是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点．若，则 ． 6．已知椭圆的右焦点为，直线交于两点，且轴，则 . 考点02 椭圆的标准方程 7．一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为 . 9．已知椭圆经过点，，则的标准方程为 ． 10．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于y轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为 ． 11．求下列椭圆的方程. (1)过且与有相同的焦点； (2)经过点，. 12．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点． 13．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆有相同焦点，且过点； (2)经过点P，Q. 考点03 椭圆方程的充要条件 14．方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 15．（多选）已知曲线，则（    ） A．若，则曲线表示圆，其半径为 B．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 C．若曲线过点，则是椭圆 D．若，则曲线不表示任何图形 16．（多选）方程()表示的曲线可能是（    ） A．一条直线 B．圆 C．椭圆 D．线段 17．（多选）已知曲线．下列结论正确的有（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 18．（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（    ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C为椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 19．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 . 考点04 椭圆中焦点三角形的周长面积问题 20．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 21．已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 22．（多选）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 23．（多选）已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（   ）. A． B． C． D． 24．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，写出的周长的一个可能取值 ． 25．已知椭圆的右焦点为，记与轴正半轴的交点为，点在上，则周长的最大值为 ． 26．已知椭圆的左､右焦点分别为为坐标原点，点在上，且，则 . 考点05 椭圆上两点距离的最值问题 27．已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 28．已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．10 D．18 29．已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 30．为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 31．已知是椭圆的焦点，点是上的动点，则的取值范围为 . 考点06 椭圆上两线段的和差最值问题 32．设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 33．设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 34．已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D．6 35．已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 36．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是 . 37．已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，点，当周长最大时，直线的方程为 . 38．已知F是椭圆C：的左焦点，点P为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为 ． 考点07 椭圆的轨迹问题 39．动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 40．已知，过点且斜率不为零的直线交于，两点，过点作交于，则 ；点的轨迹方程为 ． 41．已知过点的直线与相交于点C，过点的直线与相交于点D，若直线CD与圆相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为 ． 42．摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线(基线)上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点运动的轨迹就得到内摆线.已知基线圆的方程为，半径为2的动圆内切于定圆作无滑动的滚动，切点的初始位置为.若，则的最小值为 ；若，且已知线段的中点的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为 . 43．已知定点，动点满足.设点的轨迹为，则轨迹的方程为 . 44．已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 45．已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程．    基础试炼 一、单选题 1．已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点且，则（    ） A． B． C． D．2 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C．3 D．5 3．已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 5．下列是真命题的是（    ） A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆 B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段 C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆 6．已知椭圆：，则（    ） A．的长轴长为 B．当时，的焦点在轴上 C．的焦距可能为4 D．的短轴长与长轴长的平方和为定值 三、填空题 7．已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于两点，则的周长为 ． 8．斜率为的直线与椭圆相交于两点，的中点为，则 ． 9．设，为椭圆C：的左右焦点，M为椭圆C上一点，且在第一象限，若为等腰三角形，则线段的长为 ． 四、解答题 10．已知是椭圆的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 11．已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 12．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)经过点. 高阶突破 1．已知点为椭圆上一点，过原点的直线交椭圆于两点，为椭圆上另一动点，若，则（    ） A．2 B． C．0 D．1 2．已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．设点 P是椭圆 上一点, 分别为椭圆C的左、右焦点, 且的重心为G，若 则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知焦点在轴上的椭圆的左右焦点分别为，经过的直线与交于两点，若，，，则的方程为：（    ）. A． B． C． D． 5．（多选）设点，的坐标分别为，动点满足：，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹方程为 B． C．存在4个点，使得的面积为 D． 6．已知动点P在椭圆C：上，若点A的坐标为，点M满足，，则的最小值是 ． 7．已知、是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最短距离为 ． 8．已知圆，圆，动圆P以点P为圆心，且与圆外切，与圆内切. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)已知点为轨迹C上任意一点，求的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高二数学上学期考点剖析及分层精练（人教A版） 第11讲 椭圆及其标准方程 学习目标： 1．了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2．掌握椭圆的定义和标准方程. 3．会求椭圆的标准方程. 重点难点： 重点：理解椭圆的定义及椭圆的标准方程，掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程 难点：理解椭圆标准方程的推导过程，领会坐标法的应用 知识点一、椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集． 知识点二、椭圆的标准方程 椭圆 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 焦距 的关系 考点01 椭圆的定义 1．设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段 【答案】D 【详解】因为，所以， 当且仅当时等号成立， 当时，，而，此时点的轨迹是线段； 当时，， 此时点的轨迹是以、为焦点的椭圆． 综上所述，点的轨迹是以、为焦点的椭圆或线段. 故选：D. 2．平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】平面内一点M到两定点，的距离之和为， 所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆， 且，，则， 椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的方程为． 故选：. 3．已知分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，若，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由椭圆，可得，所以， 因为分别是椭圆的左、右焦点，为上一点， 所以，又，所以. 故选：C. 4．已知椭圆的左、右焦点分别为．点在上，且．，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】依题意，，令椭圆的半焦距为c， 由，得，即， 因此，即，所以，即. 故选：B 5．已知P是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点．若，则 ． 【答案】14 【详解】因为所以又则 故答案为：14. 6．已知椭圆的右焦点为，直线交于两点，且轴，则 . 【答案】/ 【详解】    如图所示，椭圆的右焦点为，由轴得. 设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性易知四边形是平行四边形， 所以，又结合椭圆的定义可得： ， 故. 故答案为：. 考点02 椭圆的标准方程 7．一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故， 且，故， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B 8．焦点在轴上，焦距为，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】由焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 由焦距为可得，解得； 又椭圆点，故，所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为：. 9．已知椭圆经过点，，则的标准方程为 ． 【答案】 【详解】设，则， 解得， 所以的标准方程为， 故答案为：. 10．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于y轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，如图： ，由椭圆的对称性可得：， 又，由勾股定理可得：， 所以，， 又，则， 椭圆标准方程为． 故答案为：． 11．求下列椭圆的方程. (1)过且与有相同的焦点； (2)经过点，. 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由方程可知，其焦点的坐标为，即. 则， 设所求椭圆方程， 因为椭圆过点，代入方程得， 解得（舍去），， 故椭圆的标准方程为； （2）方法一  ①当椭圆的焦点在轴上时， 设标准方程为， 依题意有，解得， 因为，所以方程组无解． ②当椭圆的焦点在轴上时， 设标准方程为， 依题意有，解得， 所以所求椭圆的方程为； 方法二  设所求椭圆的方程为， 依题意得，解得， 故所求椭圆的方程为， 即. 12．求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为． 又椭圆经过点和， 所以解得 所以所求椭圆的标准方程为． （2）由于椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 设椭圆的半焦距为，则， 又， 所以， 所以， 所以所求椭圆的标准方程为． 13．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆有相同焦点，且过点； (2)经过点P，Q. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为. 又椭圆过点，将代入方程得， 解得或 (舍去). 故所求椭圆的标准方程为. （2）法一：①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为. 依题意，有，解得 由知不符合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为. 依题意，有，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 法二：设椭圆的方程为. 则解得， 所以所求椭圆的方程为， 故椭圆的标准方程为. 考点03 椭圆方程的充要条件 14．方程表示椭圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】若表示椭圆，则有， 解得或. 故选：D. 15．（多选）已知曲线，则（    ） A．若，则曲线表示圆，其半径为 B．若，则曲线是椭圆，其焦点在轴上 C．若曲线过点，则是椭圆 D．若，则曲线不表示任何图形 【答案】AC 【详解】若，曲线可化为，其表示半径为的圆，A正确； 当时，曲线可化为，表示椭圆，因为，所以其焦点在轴上，B错误； 对于C，依题意得解得则曲线为椭圆，C正确； 取，此时曲线，其表示两条直线，D错误. 故选：AC. 16．（多选）方程()表示的曲线可能是（    ） A．一条直线 B．圆 C．椭圆 D．线段 【答案】BC 【详解】当，则，可得，即曲线是圆； 当，则，可得，即，曲线是两条直线； 当，则，可得， 则，曲线是椭圆； 故选：BC. 17．（多选）已知曲线．下列结论正确的有（    ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是椭圆，其焦点在轴上 C．若，则是圆，其半径为 D．若，，则是两条直线 【答案】AD 【详解】方程，化为，表示椭圆，且其焦点在轴上，则，即，故A正确； 若，表示椭圆，且其焦点在x轴上，则，即，故B错误； ，表示圆，即，其半径为故C错误； 当，时，，则是两条直线，故D正确， 故选：AD 18．（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（    ） A．曲线C可能是圆 B．若，则C为椭圆 C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则 D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则 【答案】AD 【详解】当即时，方程为， 表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A正确，选项B错误； 若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故选项C错误； 若C为椭圆，且焦点在y轴上，则，解得，故选项D正确. 故选：AD. 19．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可得解得，故实数的取值范围是. 故答案为：. 考点04 椭圆中焦点三角形的周长面积问题 20．已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【详解】由椭圆定义可得， 又因为，所以由勾股定理可得， 即，解得， 则的面积为. 故选：D. 21．已知点为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，设线段的中点为，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得． 如图，因为分别是和的中点，所以， 根据椭圆定义，可得，又因为， 所以， 所以， 故的面积为． 故选：A． 22．（多选）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（   ） A．， B．为直角三角形 C．的面积为6 D．的面积为12 【答案】ABC 【详解】由，得，则 ， 因为P是椭圆上一点，所以， 因为，所以，，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以为直角三角形，所以B正确， 对于CD，因为为直角三角形，，所以，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 23．（多选）已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（   ）. A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】椭圆的焦点，设， 由为直角三角形，则直角可能为 若为直角，则，由，得； 若为直角，则，由，得； 若为直角，则在圆上， 由，解得， 所以点坐标可能是AD. 故选：AD 24．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，写出的周长的一个可能取值 ． 【答案】4（答案不唯一） 【详解】如图：    设椭圆左焦点为， 则，当且仅当直线经过左焦点时，取得最大值， 又，,，所以， 所以的周长的取值范围为：. 所以的周长可以为4． 故答案为：4（答案不唯一） 25．已知椭圆的右焦点为，记与轴正半轴的交点为，点在上，则周长的最大值为 ． 【答案】 【详解】设椭圆的左焦点为，则，而，则， 则的周长为， 而，则， 当且仅当三点共线时取等号， 所以周长的最大值为． 故答案为：    26．已知椭圆的左､右焦点分别为为坐标原点，点在上，且，则 . 【答案】/ 【详解】由题意知椭圆方程为，则， 设，则， 而，由余弦定理得， 即，所以. 因为O为的中点，故， 所以， ， 所以，即， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用数量积的运算法则转化为的关系式，从而得解. 考点05 椭圆上两点距离的最值问题 27．已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，的角平分线与的交点恰好在轴上，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，点只能在第一、四象限，不妨设点在第一象限，如图所示：    设，又， 由题意可知，直线的斜率一定存在， 所以，直线，即，则点， 直线，化为一般形式得， 因为点在的角平分线上，所以点到直线与的距离相等， 点到直线的距离， 点到直线的距离， 于是，化简得， 即， 又点在椭圆上，所以，得， 因此，，即， 解得或，点在第一象限，所以，， 则点， 所以. 故选：C. 【点睛】思路点睛：首先设点的坐标，再求出直线，直线的表达式以及点的坐标，最后再根据点到角两边的距离相等以及点在椭圆上，解出点的坐标，最后再求线段的长度. 28．已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【详解】易知， 设，则，可得， 所以 ； 由二次函数性质可得当时，取得最大值为9. 故选：B 29．已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 30．为椭圆：上一点，，则最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 则 ， 由于，故当时，取最小值， 故选：D 31．已知是椭圆的焦点，点是上的动点，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】不妨取为椭圆的左焦点，设， 由椭圆可得，且满足，即； 因此， 又易知，所以可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 考点06 椭圆上两线段的和差最值问题 32．设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 定点到直线最短距离是过定点直线的垂线段， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故选：C 33．设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】，所以，所以轴， 因为，所以在椭圆内部，且， 所以， 即求的最大值， 由于，当三点共线时最大， 此时，， 所以. 故选：B. 34．已知F为椭圆的右焦点，P为C上一点，Q为圆上一点，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D．6 【答案】B 【详解】由题意知，，设椭圆的左焦点为， 如图，P为C上一点，Q为圆上一点，，半径为1， ， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：B 35．已知椭圆的左焦点为，为上的动点，点，则的最大值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】由椭圆方程可知：， 设右焦点为，则，，且，即， 如图所示，    可得：， 当且仅当在线段上时，等号成立， 所以的最大值为3. 故选：C. 36．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，M是椭圆上的动点，点A(1，1)，则的最大值是 . 【答案】5 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 所以，，， 所以． 如图，因为（当M在的延长线上时取等号），， 所以． 所以的最大值为5， 故答案为：5 37．已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，点，当周长最大时，直线的方程为 . 【答案】 【详解】 椭圆方程：，，，，如图所示设椭圆的左焦点为， ， 则，，如图，当，，共线时取等号， 的周长，当且仅当三点，，共线时取等号． 则直线的方程：，整理得.    故答案为： 38．已知F是椭圆C：的左焦点，点P为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为 ． 【答案】11 【详解】由条件可知，，，则， 设椭圆的右焦点为，且， 所以，当点（点在第四象限）三点共线时，等号成立， 且, 所以的最大值为. 故答案为：11 考点07 椭圆的轨迹问题 39．动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是集合. 由此得，将上式两边平方并化简，得， 即. 所以动点的轨迹方程为. 故选：B. 40．已知，过点且斜率不为零的直线交于，两点，过点作交于，则 ；点的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】    如图所示， 由的方程得圆心，半径为， 因为，所以， 又，所以， 则，所以， 又， 所以， 又斜率不为，所以点不在轴上， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且点不在轴上， 则，，所以， 即点的轨迹方程为， 故答案为：，. 41．已知过点的直线与相交于点C，过点的直线与相交于点D，若直线CD与圆相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】设点，，，， 则直线CD的方程为， 因为直线CD与圆相切，则，可得； 又因为直线AC与BD的交点为M， 所以，解得，可得， 所以点M的轨迹方程为． 故答案为：. 42．摆线是一类重要的曲线，许多机器零件的轮廓线都是摆线，摆线的实用价值与椭圆、抛物线相比毫不逊色.摆线是研究一个动圆在一条曲线(基线)上滚动时，动圆上一点的轨迹.由于采用不同类型的曲线作为基线，产生了摆线族的大家庭.当基线是圆且动圆内切于定圆作无滑动的滚动时，切点运动的轨迹就得到内摆线.已知基线圆的方程为，半径为2的动圆内切于定圆作无滑动的滚动，切点的初始位置为.若，则的最小值为 ；若，且已知线段的中点的轨迹为椭圆，则该椭圆的方程为 . 【答案】 4 【详解】当时，的最小值为. 当时，初始位置为，圆的四分之一弧长为， 圆的半周长为，所以的轨迹过点，所以， 椭圆焦点在轴上，所以椭圆方程为： 故答案为：4；. 43．已知定点，动点满足.设点的轨迹为，则轨迹的方程为 . 【答案】 【详解】设动点，则. 又， . 化简得，即， 动点的轨迹的方程为. 故答案为：. 44．已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 【答案】或 【详解】由题意可知，共有两种情况，设动圆半径为，， 动圆与圆内切，与圆内切，所以 所以，此时动圆圆心的轨迹是椭圆，， 所以动圆圆心的轨迹方程为； 动圆与圆外切，与圆内切，所以， 所以，此时动圆圆心的轨迹为椭圆，， 动圆圆心的轨迹方程为， 故答案为：或． 45．已知点为圆上任意一点，点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程．    【答案】 【详解】由题意，线段的中垂线交于点， 所以, 即， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设点的轨迹方程， 所以，则， 所以动点的轨迹方程为．    基础试炼 一、单选题 1．已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】椭圆得，，， 设，，则， ，， ， ， ，即． 故选：A． 2．已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【详解】由椭圆的定义可知，且， 因为，所以， 又，故， 所以． 故选：C 3．已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得，故椭圆的方程为. 故选：B 4．点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以， 所以， 设的内切圆半径为， 因为 所以，得. 故选：B 二、多选题 5．下列是真命题的是（    ） A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆 B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段 C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆 【答案】BD 【详解】对于A，，根据椭圆定义，点的轨迹不存在，故A错误； 对于B，点的轨迹为线段，故B正确； 对于C，到定点距离相等的点的轨迹为线段的垂直平分线，故错误； 对于D，到定点的距离的和为， 所以点的轨迹为椭圆，故D正确． 故选：BD. 6．已知椭圆：，则（    ） A．的长轴长为 B．当时，的焦点在轴上 C．的焦距可能为4 D．的短轴长与长轴长的平方和为定值 【答案】BCD 【详解】若，则椭圆焦点在轴上，，长轴长为：，A错误. 当时，，则的焦点在轴上，B正确. 当时，的焦距为4，C正确. 因为，所以，D正确. 故选：BCD 三、填空题 7．已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与交于两点，则的周长为 ． 【答案】 【详解】设椭圆的右焦点为，连接，，， 依题意可得长半轴长，半焦距，且， 所以为等边三角形，则直线过， 所以 ，即的周长为. 故答案为： 8．斜率为的直线与椭圆相交于两点，的中点为，则 ． 【答案】/ 【详解】设直线的方程为，代入椭圆方程， 可得， 由韦达定理可得， 则， 则，则， 所以. 故答案为： 9．设，为椭圆C：的左右焦点，M为椭圆C上一点，且在第一象限，若为等腰三角形，则线段的长为 ． 【答案】2 【详解】依题意，， 由椭圆定义，知， 由为等腰三角形，知，所以. 故答案为：2 四、解答题 10．已知是椭圆的两点，的中点的坐标为． (1)求直线的方程； (2)求两点间距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知的斜率存在，设为，设，则直线方程为，联立方程 则， 经检验符合题意，则直线的方程为． （2）由（1）可知联立后的方程为， ． 11．已知方程＝1. (1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围； (3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （2）依题意，有，解得. 故实数m的取值范围为. （3）依题意，有，解得，且， 故实数m的取值范围是. 12．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)经过点. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）焦点在轴上的椭圆方程设为：. 由于椭圆经过两个点和， 所以，解得， 所以所求的椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的方程为：， 由于椭圆经过点， ，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 高阶突破 1．已知点为椭圆上一点，过原点的直线交椭圆于两点，为椭圆上另一动点，若，则（    ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】设点，则， 即，又， 则， 因为，所以． 故选：C.    2．已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知椭圆的蒙日圆的半径为，因为， 所以为蒙日圆的直径，所以， 所以， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为， 所以，则. 故选：A. 3．设点 P是椭圆 上一点, 分别为椭圆C的左、右焦点, 且的重心为G，若 则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示： 由椭圆的定义知，，而，得， 而，得， 在中，由余弦定理得，， 所以， 得， 根据三角形的重心性质，可知，，故， 所以， 故选：B 4．已知焦点在轴上的椭圆的左右焦点分别为，经过的直线与交于两点，若，，，则的方程为：（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，可知， 则，， 可得，，即，，则， 由椭圆定义可得，即， 且，则， 即 ，可得，， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 5．（多选）设点，的坐标分别为，动点满足：，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹方程为 B． C．存在4个点，使得的面积为 D． 【答案】AD 【详解】对于A，由得，， 所以点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，即， 则，故点的轨迹方程为，A正确. 对于B，D，将的坐标代入椭圆方程左边得，所以点在椭圆内部， 如图所示，所以，当且仅当点运动到点处时，等号成立，故B错误； ， 因为，所以， 当且仅当点运动到点处时，等号成立，故D正确. 对于C，，其中为点到直线的距离，若，则， 由于当点为椭圆的右顶点时，取得最大值3，故满足条件的点只有一个，C错误. 故选：AD.    6．已知动点P在椭圆C：上，若点A的坐标为，点M满足，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】因为，所以点M的轨迹为以A为圆心，半径为1的圆，如图，    因为，所以，， 要想使最小，只需最小， 设，，则， 其中， 因为，所以当时，取得最小值， 即，此时． 故答案为：. 7．已知、是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最短距离为 ． 【答案】1 【详解】由题意知： ， 设 的延长线交 的延长线于点 ， ， 为线段 中点， 由椭圆定义知： ， 分别为 和 中点， ， 点轨迹是以 为圆心，为半径的圆， 由椭圆方程知： 短轴端点为 ， 当点 在轴上时，其到临近的短轴端点的距离最近，最近距离为. 故答案为： 1 . 8．已知圆，圆，动圆P以点P为圆心，且与圆外切，与圆内切. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)已知点为轨迹C上任意一点，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设动圆圆心，设动圆的半径为r，由题意有 ，，消r得到：， 动圆圆心P的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆， 故，， 故轨迹的方程为：. （2）因为点为（1）所求轨迹上任意一点，则，且， 所以， 当时，取最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$