精品解析：福建省福州黎明中学2025届高三上学期9月月考数学试题

2024-2025学年福州黎明中学高三9月份阶段性训练 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（是虚数单位），则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 4. 方程在内根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知某圆台上下底面半径（单位：cm）分别为2和5，高（单位：cm）为3，则该圆台的体积（单位：）是（ ） A. B. C. D. 6. 对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 7. 在钝角中，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量X，Y，其中，已知随机变量X的分布列如下表 X 1 2 3 4 5 p m n 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 函数的周期是 B. 函数的图像关于直线对称 C. 函数在上减函数 D. 函数最大值为 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的首项，公差，求第10项的值为__. 13. 已知双曲线，，为双曲线的左右焦点，过作斜率为正的直线交双曲线左支于，两点，若，，则双曲线的离心率是______． 14. 已知平面向量，的夹角为，与的夹角为，，和在上的投影为x，y，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知锐角ABC的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，． （1）求角B的大小； （2）求的取值范围． 16. 已知数列的前n项和为，且，递增的等比数列满足：． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性﹔ （2）若存在，求的取值范围． 18. 设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”. （1）若,试判断否为“平缓函数”并说明理由; （2）已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由. （3）若函数是“平缓函数”,且是以为周期周期函数,证明:对任意的,均有. 19. 点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知． （1）求数列、的通项公式； （2）记点到直线（即直线）的距离为， （I）求证：； （II）求证：，若值与（I）相同，则求此时的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年福州黎明中学高三9月份阶段性训练 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】先解一元二次不等式，得到集合中元素具体范围，再由集合运算求得. 【详解】集合， 集合， 所以. 故选：A. 2. 已知复数（是虚数单位），则的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则化简复数，再根据共轭复数的定义即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助向量坐标运算与向量平行的坐标表示计算即可得. 【详解】，， 由，则有， 解得. 故选：D. 4. 方程在内根的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两角和差的正弦公式进行化简，整体替换得到方程的根； 【详解】由题意，， 即，可得或， 解得或 又因为，所以， 故选：D. 5. 已知某圆台上下底面半径（单位：cm）分别为2和5，高（单位：cm）为3，则该圆台的体积（单位：）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，直接利用圆台的体积公式求解即可. 【详解】因为圆台上下底面半径分别为2 cm和5 cm，高为3 cm， 所以该圆台的体积为. 故选：C. 6. 对任意的实数，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过转换主参变量的方法来求得的取值范围. 【详解】依题意，对任意的实数，不等式恒成立， 整理得，令， 则，解得或. 故选：A 7. 在钝角中，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理、两角差的正弦公式和正切函数的性质求解即可. 【详解】由正弦定理得， 所以， 因为钝角中，， 当为锐角时，，得，则， 所以，则，所以； 当为钝角时，，得，则， 所以，则，所以； 综上：． 故选：C. 8. 已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式可化为，利用导数分析函数的单调性，作函数，的图象，由条件结合图象列不等式求的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 不等式化为：． 令，，， 故函数在上单调递增，在上单调递减． 当时，，当时，， 当时，， 当时，，当，且时，， 画出及的大致图象如下， 因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解， 且在的切线方程为，恰好过,故正整数解为． 故， 即． 故. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量X，Y，其中，已知随机变量X的分布列如下表 X 1 2 3 4 5 p m n 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由分布列的性质和期望公式求出可判断ABC；由方差公式可判断D. 【详解】由可得：①， 又因为，故C正确. 所以， 则②，所以由①②可得：，故A正确，B错误； , ，故D错误. 故选：AC. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 函数的周期是 B. 函数的图像关于直线对称 C. 函数在上是减函数 D. 函数的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】A：根据正弦型函数的周期公式进行求解即可； B：根据余弦型函数的对称性的性质进行判断即可 C：利用导数的性质进行求解判断即可； D：根据诱导公式，结合余弦弦型函数的单调性进行求解判断即可. 【详解】A：由正弦型函数的周期公式可知：该函数的周期为，故本命题是真命题； B：，令：， ，所以不是该函数的对称轴，因此本命题是假命题； C：，由， 即，所以该函数在上是增函数，所以本命题是假命题； D： ，显然该函数的最大值为，因此本命题是真命题， 故选：AD 11. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，是的极大值点 C. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 D. 存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的首项，公差，求第10项的值为__. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式求得正确答案. 【详解】依题意. 故答案为： 13. 已知双曲线，，为双曲线的左右焦点，过作斜率为正的直线交双曲线左支于，两点，若，，则双曲线的离心率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义分析可知为等腰直角三角形，且，，结合勾股定理列式求解即可. 【详解】因为，则，， 且，可知为等腰直角三角形， 则，， 且，即， 整理可得，所以双曲线的离心率. 故答案为：. 14. 已知平面向量，的夹角为，与的夹角为，，和在上的投影为x，y，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知与的夹角为，从而根据正弦定理可得，再根据投影的定义表示出，最后对化简变形通过正弦函数的性质即可求解. 【详解】因为平面向量，的夹角为，与的夹角为， 所以与的夹角为， 所以根据正弦定理可得，， 所以，所以， 因为，所以， 所以在上的投影为， 在上的投影为， 所以 因，所以，所以， 所以,所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查平面向量的综合问题，考查向量投影，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是根据向量投影的概念表示出，考查计算能力，属于难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知锐角ABC的三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，． （1）求角B的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式，结合正弦函数单调性求出角B. （2）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换，结合正弦函数性质求解即得. 【小问1详解】 在锐角中，，则，， 于是，即，而，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由，得， 由正弦定理得 ， 而，则，， 所以的取值范围是. 16. 已知数列的前n项和为，且，递增的等比数列满足：． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1），，（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）当时，；，故 由已知求出且，故． （2）由（1）得 两式相减得 试题解析：（1）当时， ，所以 ，方程的两根， ，所以解得 （2），则 将两式相减得： 所以. 考点：�已知数列前n项和为求数列通向公式�错位相减法求数列前n项和． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性﹔ （2）若存在，求的取值范围． 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）． 【解析】 【分析】(1)对函数求导，再按和分别讨论导函数值正负而得解； (2)构造函数，讨论时在的值的正负，时再分段讨论最小值情况即可得解. 【详解】(1)函数的定义域为(0，+∞)，， 当时，，则在上递增， 当时﹐由得， 由，得，由，得， 于是有在上递增，在上递减； 由，得， ，当时，，满足题意， 当时，令，，在上递增，则不合题意， 当时，由，得，由，得， 于是有在上递减，在上递增，， 则时，， 综上，的取值范围为． 【点睛】结论点睛：对于能成立问题，(1)函数f(x)定义区间为D，，a≥f(x)成立，则有a≥f(x)min；(2)函数f(x)定义区间为D，，a≤f(x)成立，则有a≤f(x)max. 18. 设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”. （1）若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由; （2）已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由. （3）若函数是“平缓函数”,且是以为周期周期函数,证明:对任意的,均有. 【答案】（1）不是,令,因为,则,,不满足对任意的,均成立,故不是“平缓函数”. （2）命题为真命题. 因为, 不妨令, 因为是“平缓函数”, 则, 所以, 故命题为真命题. （3）因为是以为周期的周期函数,不妨设, 当时,因为函数是“平缓函数”, 则; 当时,不妨设,则, 因为是以为周期的周期函数, 则, 因为函数是“平缓函数”, 所以 , 所以对任意的,均有, 因为是以为周期的周期函数, 所以对任意的,均有. 【解析】 【分析】（1）可令,根据“平缓函数”的定义判断即可; （2）根据导函数的定义,令,结合“平缓函数”的定义即可证明; （3）因为是以为周期的周期函数,不妨设,分为,根据函数是“平缓函数”即可证明; 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要是根据函数是“平缓函数”的定义和性质进行判断和证明,考查了学生的逻辑推理能力、运算能力,关键点点睛:第二问借助导函数的定义进行证明;第三问利用是以为周期的周期函数得,进行适当放缩即可证明. 19. 点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列．过曲线上的点作曲线的切线与曲线交于，过点作曲线的切线与曲线交于点，依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知． （1）求数列、的通项公式； （2）记点到直线（即直线）的距离为， （I）求证：； （II）求证：，若值与（I）相同，则求此时的最小值． 【答案】（1），； （2） （I）由（1）知：，， 所以直线的方程为：， 化简得：， 因为， 所以， ； （II） ， 与（I）中相同，当时，此时最小值为． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程，再联立切线方程与曲线方程求出切点的坐标，进而可得出数列、的通项公式； （2）（I）求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出，再利用等比数列前和公式求解即得； （II）根据（I）再结合指数函数的性质即可得解. 【小问1详解】 曲线上点处的切线的斜率为， 故得到的方程为， 联立方程，消去y得：， 化简得：，所以：或， 由得到点的坐标， 由就得到点的坐标， 所以：， 故数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以：，； 小问2详解】 （I）略 （II）略 【点睛】思路点睛：利用导数求函数在其上一点处的切线方程的基本步骤如下： （1）对函数求导得； （2）计算切线的斜率； （3）利用点斜式写出切线方程 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $