精品解析：上海市宝山区上海交通大学附属中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

2024~2025学年上海市交通大学附属中学九年级上学期9月月考数学试卷 数学试卷 （考试时间100分钟 满分150分） 考生注意： 1．带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具 2．不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3．考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分． 4．答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 一．选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 设的整数部分是a，小数部分是b，的整数部分是c，小数部分是d，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数整数部分的有关计算，无理数的大小估算,实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算法则及无理数的估算是解题的关键．先求无理数和的整数部分和小数部分，得出a，b，c，d的值，然后代入中计算，求得，再进行实数的估算得出答案． 【详解】解：的整数部分是a，小数部分是b， ，， 的整数部分是c，小数部分是d， ，， ， ，， ， ． 故选A． 2. 同一圆中，半圆的直径（ ）整圆的直径． A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本概念，根据同一个圆中，半圆与整圆直径相同即可解答． 【详解】解：半径决定圆的大小，同一圆中，半圆、扇形和整圆对应的半径都相等，则直径也相等．   故选：C． 3. 2024年的春晚节目《年锦》用东方美学风韵惊艳了观众，节目巧妙地选用了汉、唐、宋、明不同朝代寓意吉祥祝福的代表纹样，与华丽的舞美技术相融合，织出一幅跨越千载的纹样变迁图卷．下列几幅纹样是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键；因此此题可根据“一个图形沿某个点旋转180度能够与原图完全重合的图形”进行求解即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，故符合题意； B、不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是中心对称图形，故不符合题意； 故选A． 4. 布袋里有 100 个球， 其中有红球 28 个， 绿球 20 个， 黄球 12 个， 蓝球 20 个， 白球 10 个， 黑球 10 个， 从袋中任意摸出球来， 若要一次摸出至少 15 个同色的球， 则需要从袋中摸出球至少（ ） A. 85 个 B. 75个 C. 个 D. 16 个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况先摸出9个黑球，14个白球，再摸出另三色中一色的14个球，此时再任意摸出一个小球即可保证15个小球颜色相同． 根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况． 【详解】解：最坏情况考虑就行了，摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球，最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同，即最少要摸：个球； 故选B． 5. 如图，公园里有一段长20米的墙，工人师傅计划利用墙和40米的栅栏围成一个面积为198平方米的封闭矩形绿化区域，设矩形中垂直于墙的一边的栅栏长为x米，下列说法正确的是（ ） A. 由题意得 B. x的取值范围是 C. 只有一种围法 D. 只有两种围法 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．由题意可得平行于墙的一边长为米，即可建立一元二次方程求解． 【详解】解：∵垂直于墙的一边长为米， ∴平行于墙的一边长为米， 则：，故A错误； ∵， 解得：，故B错误； 对于方程，化简得：， 解方程得：，， ∵ ∴， 故只有一种围法，故C正确、D错误； 故选：C． 6. 现有四根木棒，其长度分别为3，4，9，d，若长度为d的木棒与其它任意两根木棒都能围成三角形，则d可能是（ ） A. 9.1 B. 5.8 C. 7.2 D. 6.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边”求出的取值范围即可． 【详解】解：当长度分别为3，4，的木棒组成三角形时，，即； 当长度分别为3，9，的木棒组成三角形时，，即； 当长度分别为4，9，的木棒组成三角形时，，即， 长度为的木棒与其它任意两根木棒都能围成三角形， ， 选项D符合题意． 故选：D． 二．填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 一块面积为的正方形桌布，其边长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用以及一元二次方程，结合已知条件求出平方根即可． 【详解】解：设正方形桌布的边长为 则 解得：或（舍） 故答案为：． 8. 某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打_______折． 【答案】8.8 【解析】 【分析】设打x折，由题意可得，然后求解即可． 【详解】解：设打x折，由题意得， 解得：； 故答案为8.8． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键． 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 【答案】x≥8 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： x8≥0， 解得：x≥8． 故答案为：x≥8． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键． 10. 若函数的图象经过点和，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数系数得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴， ∴． 故答案为：3 11. 已知一次函数的图象经过点和，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】把点和代入，可得，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，即， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键． 12. 某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两种劳动工具单价间的关系，可得出乙种劳动工具单价为元，利用数量=总价÷单价，结合乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元， ∴乙种劳动工具单价为元． 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 13. 在中，是中线，G是重心，向量，向进，那么向量_________（用向量、表示） 【答案】 【解析】 【分析】先求解，，再利用三角形的重心的性质可得答案． 【详解】解：如图，∵是中线，， ∴， ∵， ∴， 根据三角形的重心性质，， ∴； 故答案为：． 【点睛】此题考查了平面向量的三角形法则和重心性质（三角形的重心是各中线的交点，重心性质是说三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中点的线段长的），难度不大． 14. 如图，在中，，在中，，．用一条始终绷直的弹性染色线连接，从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边始终在线段上，则的外部被染色的区域面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质，解题的关键是把问题转化为求梯形的面积．过点作的垂线交于，同时在图上标出如图，需要知道的是的被染色的区域面积是，所以需要利用勾股定理，相似三角形、平行四边形的判定及性质，求出相应边长，即可求解． 【详解】解：过点作的垂线交于，同时在图上标出如下图： ，，， ， 在中，，，． ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 同理可证：， ， ， ， 的外部被染色的区域面积为， 故答案为：21． 15. 如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是___________． 【答案】－1 【解析】 【分析】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F，可证，得比例线段，由，得线段长度，，代入比例线段求解． 【详解】如图，过点A作，点C作，垂足分别为G，F 由题意知，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角坐标系内点坐标的含义，添加辅助线构建相似三角形是解题的关键． 16. 如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为m， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设反比例函数的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义． 17. 定义为不大于x的最大整数，若，则x的最大整数为________． 【答案】35 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义可得，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴x的最大整数为35， 故答案为：35． 18. 如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，，然后将两个等式相加即可得． 【详解】解：是等边三角形， ， ∵折叠得到， ， ，， 平分等边的面积， ， ， 又， ， ，， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 三．解答题（满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角形值，零指数幂，负整数指数幂和化简绝对值，先计算特殊角三角形值，零指数幂，负整数指数幂和化简绝对值，再计算加减法即可． 【详解】原式 ． 20. 解方程组：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查二元二次方程的解法，掌握二元二次方程的解法是解题的关键． 由得或，从而将原方程组化成两个二元一次方程组，分别求二元一次方程组的解即可． 【详解】解：， 将变形可得， 即或， 故方程组可变形得或， 解得或， 故原方程组的解为或． 21. 如图，是的角平分线，交于点E，交于点F． （1）试判断四边形的形状并说明理由； （2）若，写出图中四个面积都相等的三角形． 【答案】（1） 四边形是菱形， 理由如下∵，， 四边形是平行四边形，， ∵是的角平分线， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质． （1）先证四边形是平行四边形，，再证，则，即可证明结论； （2）由（1）可得平行四边形是菱形即可得出，再证明，得到，同理可得，即可解决问题． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由（1）可知平行四边形是菱形 ， ∴ ∵，是的角平分线 ∴ ∴ , 为直角三角形， ∴,， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 同理可得， ． 22. 井字棋是老少皆宜的游戏，规则是：两个游戏者轮流在的格子里留下标记，任意三个标记形成一条直线即为获胜，小张是班里的井字棋高手，每步均为最佳着法． （1）小吴执先手去挑战小张，若无论小张如何落子，小吴前两步都会将两个子放在一条直线上，求：小吴输棋的概率； （2）小吴不服，让小张执先手，小张第一步选择下中间，若小吴除了第一步均不会犯错，求：小吴和棋的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单事件的概率，正确找出所求概率对应事件的情形数是解题的关键， （）由小吴落子于中心点不输棋得到，有种会输棋的情形，从而根据概率公式求解即可； （2）由小张执先手，小张第一步选择下中间，此时还有个空位，小吴只有下周围个角处才能和棋，共有种等可能的情形，其中和棋的情形有种，根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小吴执先手去挑战小张，小吴只有落子在最中间时才不输棋，共有种等可能的情形，其中有种不会输棋，则有种会输棋的情形， ∴小吴输棋的概率为； 【小问2详解】 解：小张执先手，小张第一步选择下中间，此时还有个空位，小吴只有下周围个角处才能和棋， ∴共有种等可能的情形，其中和棋的情形有种， ∴小吴和棋的概率为． 23. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB． （1）求证：AE⊥CD； （2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB． 【答案】略 【解析】 【详解】试题分析：（1）先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出CD=AD，由∠CAD+∠ABC=90°可得出∠ACD+∠EAC=90°，进而可得出∠AFC=90°； （2）根据AE⊥CD可得出∠EFC=90°，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的中点可知CE=BE，故，根据∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论． 试题解析：（1）∵AC2=CE•CB， ∴． 又∵∠ACB=∠ECA=90° ∴△ACB∽△ECA， ∴∠ABC=∠EAC． ∵点D是AB的中点， ∴CD=AD， ∴∠ACD=∠CAD ∵∠CAD+∠ABC=90°， ∴∠ACD+∠EAC=90° ∴∠AFC=90°， ∴AE⊥CD （2）∵AE⊥CD， ∴∠EFC=90°， ∴∠ACE=∠EFC 又∵∠AEC=∠CEF， ∴△ECF∽△EAC ∴ ∵点E是BC的中点， ∴CE=BE， ∴ ∵∠BEF=∠AEB， ∴△BEF∽△AEB ∴∠EBF=∠EAB． 【考点】相似三角形的判定与性质． 24. 新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点” （1）如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由； （2）若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围； （3）求直线的最值点． 【答案】（1）不存在，理由如下： 设抛物线M的解析式为， ∵抛物线M经过和点和， ∴，解得 ∴抛物线M的解析式为， ∴抛物线M的开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， ∵， 由抛物线M的增减性可得，当时，随x的增大而增大， ∴随x的增大而增大，即不存在最大值， ∴抛物线M上不存在最值点． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）采用待定系数法求出抛物线M的解析式为，根据二次函数的性质得到当时，y随x的增大而增大，由可得当时，随x的增大而增大，即不存在最大值，即可解答； （2）结合图象即可求解； （3）对于直线，有，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：∵直线交抛物线M于，两点， ∴由图象可得，直线不低于抛物线时，x的取值范围为． 【小问3详解】 解：对于直线，有 ， ∴当时，有最大值， 此时， ∴直线的最值点为． 【点睛】本题考查新定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，直线与抛物线的交点问题等，正确理解函数的“最值点”是解题的关键． 25. 已知为等边三角形，于点，点为边上一点，点为线段上一点，连接，且点在线段的中垂线上． （1）如图1，若，连接，为的中点，连接，求：线段的长； （2）如图2，将绕点逆时针方向旋转一定的角度得到，连接，点为的中点，连接，求：的值； （3）如图3，在（2）问的条件下，线段与线段交于点，连接，交线段于点，当时，求：的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点过点作垂直于点，利用等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，求得和的长度，利用勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质求解； （2）作出如图的辅助线，证明四边形是平行四边形，再证明，即可证明结论； （3）作出如图的辅助线，证明再解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 三角形是等边三角形，, ， ， 过点作垂直于点， 点在线段的中垂线上， 根据等腰三角形三线合一可知：， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ； 【小问2详解】 取的中点，取的中点，连接， 点是的中点，点是的中点，点是的中点， ， ， , 四边形是平行四边形， ， ，  ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 由（2） 可知，， ， ， ， ， 作且，连接， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ，  在和中， ， ， ，  ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，旋转的性质，特殊角的三角函数，熟练掌握等边三角形的性质，活用勾股定理、特殊角的三角函数等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上海市交通大学附属中学九年级上学期9月月考数学试卷 数学试卷 （考试时间100分钟 满分150分） 考生注意： 1．带2B铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具 2．不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外． 3．考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分． 4．答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负． 一．选择题（共6题，每题4分，满分24分） 1. 设的整数部分是a，小数部分是b，的整数部分是c，小数部分是d，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 同一圆中，半圆的直径（ ）整圆的直径． A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 不确定 3. 2024年的春晚节目《年锦》用东方美学风韵惊艳了观众，节目巧妙地选用了汉、唐、宋、明不同朝代寓意吉祥祝福的代表纹样，与华丽的舞美技术相融合，织出一幅跨越千载的纹样变迁图卷．下列几幅纹样是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 布袋里有 100 个球， 其中有红球 28 个， 绿球 20 个， 黄球 12 个， 蓝球 20 个， 白球 10 个， 黑球 10 个， 从袋中任意摸出球来， 若要一次摸出至少 15 个同色的球， 则需要从袋中摸出球至少（ ） A. 85 个 B. 75个 C. 个 D. 16 个 5. 如图，公园里有一段长20米的墙，工人师傅计划利用墙和40米的栅栏围成一个面积为198平方米的封闭矩形绿化区域，设矩形中垂直于墙的一边的栅栏长为x米，下列说法正确的是（ ） A. 由题意得 B. x的取值范围是 C. 只有一种围法 D. 只有两种围法 6. 现有四根木棒，其长度分别为3，4，9，d，若长度为d的木棒与其它任意两根木棒都能围成三角形，则d可能是（ ） A. 9.1 B. 5.8 C. 7.2 D. 6.5 二．填空题（共12题，每题4分，满分48分） 7. 一块面积为的正方形桌布，其边长为_________． 8. 某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于，则最多可打_______折． 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________． 10. 若函数的图象经过点和，则m的值为______． 11. 已知一次函数的图象经过点和，则________________． 12. 某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为______． 13. 在中，是中线，G是重心，向量，向进，那么向量_________（用向量、表示） 14. 如图，在中，，在中，，．用一条始终绷直的弹性染色线连接，从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边始终在线段上，则的外部被染色的区域面积是______． 15. 如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是___________． 16. 如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是__________． 17. 定义为不大于x的最大整数，若，则x的最大整数为________． 18. 如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是________． 三．解答题（满分78分） 19. 计算：． 20. 解方程组：． 21. 如图，是的角平分线，交于点E，交于点F． （1）试判断四边形的形状并说明理由； （2）若，写出图中四个面积都相等的三角形． 22. 井字棋是老少皆宜的游戏，规则是：两个游戏者轮流在的格子里留下标记，任意三个标记形成一条直线即为获胜，小张是班里的井字棋高手，每步均为最佳着法． （1）小吴执先手去挑战小张，若无论小张如何落子，小吴前两步都会将两个子放在一条直线上，求：小吴输棋的概率； （2）小吴不服，让小张执先手，小张第一步选择下中间，若小吴除了第一步均不会犯错，求：小吴和棋的概率． 23. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB． （1）求证：AE⊥CD； （2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB． 24. 新定义：在平面直角坐标系中，函数自变量与因变量乘积最大时的点坐标成为该函数的“最值点” （1）如图，若抛物线M经过和点和，则M上是否存在最值点？若存在，请求出最值点，若不存在，请说明理由； （2）若直线交抛物线于A，两点，则直线不低于抛物线时，请直接写出自变量x的取值范围； （3）求直线的最值点． 25. 已知为等边三角形，于点，点为边上一点，点为线段上一点，连接，且点在线段的中垂线上． （1）如图1，若，连接，为的中点，连接，求：线段的长； （2）如图2，将绕点逆时针方向旋转一定的角度得到，连接，点为的中点，连接，求：的值； （3）如图3，在（2）问的条件下，线段与线段交于点，连接，交线段于点，当时，求：的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $