精品解析：山西省平遥中学校2024-2025学年高一上学期阶段性考试（9月）数学试题

2024—2025学年度高一数学阶段性考试 （2024年9月22日） 答题时间：45min满分：100分 答题说明：请同学们把答案规范地写到答题纸上相应的位置. 一､选择题（共七道题，每题6分，共计42分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ） A. 27 B. 23 C. 25 D. 29 3. 设集合，其中为自然数集，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，若，则实数a的值可以是（ ）． A. B. C. 0 D. 7. 若，则下列不等式中一定不成立的是（    ） A. B. C. D. 二､填空题（共四道题，每题6分，共计24分） 8 设集合，，若，则 ______. 9. 满足条件的集合的个数为__________. 10. 已知，则最小值为____________ 11. 命题“对任意，总存在，使得”成立，则的取值范围为__________. 三､解答题（共两道题，共计34分） 12. 已知命题，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围. 13. 已知集合. （1）若，求实数取值范围； （2）若集合中仅有一个整数元素，求. 附加题：（选做） 14. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 15. 某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值. 解：利用，得到， 于是，， 当且仅当时，取到最小值. （1）老师请你模仿例题，研究上的最小值；（提示：，当且仅当时，等号成立） （2）研究上的最小值； （3）当时，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度高一数学阶段性考试 （2024年9月22日） 答题时间：45min满分：100分 答题说明：请同学们把答案规范地写到答题纸上相应的位置. 一､选择题（共七道题，每题6分，共计42分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将集合化简，然后求解即可. 【详解】由题可知， 所以 又因为 所以 故选：C 2. 某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ） A. 27 B. 23 C. 25 D. 29 【答案】A 【解析】 【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题. 详解】作出韦恩图，如图所示， 可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人， 同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为. 故选：A. 3. 设集合，其中为自然数集，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，结合子集的定义即可判断A：求得，即可判断B，C；结合，，即可判断D． 【详解】解：集合，， 对于A，由子集的定义知：，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，，故不成立，故D错误． 故选：C 4. 如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给定义以及充分条件与必要条件的定义推导即可. 【详解】如果，比如，则有， 根据定义，， 即“”不是“”的充分条件， 如果，则有， ，所以“”是“”的必要条件； 故“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 5. 一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确一元二次方程有一个正根和一个负根的的充要条件，再确定它的充分不必要条件. 【详解】因为“一元二次方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”， 所以：“一元二次方程有一个正根和一个负根”的一个充分不必要条件是“（）”，即选项D正确. 故选：D 6. 已知集合，若，则实数a的值可以是（ ）． A. B. C. 0 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，求得，再分和，求得集合，结合，即可求解. 【详解】由方程，解得或，即， 当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意； 当时，由，可得 此时， 要使得，可得或，解得或. 综上可得，实数的值为或或. 故选：BCD. 7. 若，则下列不等式中一定不成立的是（    ） A B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质及作差法判断即可AD,根据特殊值法可判断BC. 【详解】对于A， ，所以，所以，所以，故选项A一定不成立； 对于B，不妨取，，则，故选项B可能成立； 对于C，不妨取，，则，故选项C可能成立； 对于D，，故，故选项D一定不成立； 故选：AD． 二､填空题（共四道题，每题6分，共计24分） 8. 设集合，，若，则 ______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故答案为：1. 9. 满足条件的集合的个数为__________. 【答案】16 【解析】 【分析】由题意可得集合为的子集，且中必包含元素，写出满足条件的集合，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 即集合为的子集，且中必包含元素， 又因为的含元素的子集为： 共16个. 故答案为：16 10. 已知，则的最小值为____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】由于，所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 11. 命题“对任意的，总存在，使得”成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】问题转化为函数与有交点，数形结合求参数的取值范围. 【详解】由. 问题转化为函数与有交点，其中，. 由图可知： . 若，则上式显然成立； 若，则，又对任意都成立，所以； 若，则，又对任意都成立，所以. 综上可知，的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：“对任意的，总存在，使得”转化为：“对对任意的，的值一定在函数（）的值域内”，再分情况讨论，求的取值范围. 三､解答题（共两道题，共计34分） 12. 已知命题，命题. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意知为真命题，结合x的范围，即可得答案； （2）讨论命题p，q的真假，由此可得实数的取值范围。 【小问1详解】 因为命题为真命题，即为真命题， 即，由于，故； 【小问2详解】 为真命题时， 由于，则此时恒成立，故； 命题真命题时， 时，，符合题意； 时，，即，此时且； 综上，； 所以，当p真q假时；当p假q真时. 13. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若集合中仅有一个整数元素，求. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出，根据题意列出不等式组，即可求得答案； （2）根据题意讨论整数元素可能是和，列出相应的不等式求出m的范围，结合集合的并集运算，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意， 知或，, 因为，故，解得； 【小问2详解】 中的整数元素为， 而集合中仅有一个整数元素， 当该整数元素为时，， 此时，则； 当该整数元素为时，， 此时，则. 附加题：（选做） 14. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 最大值为1 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形为关于的二次函数求最值判断C，利用条件变形可得，转化为关于的式子由均值不等式判断D. 【详解】由正数满足，可得，解得，即， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； 由正数满足，可得， 解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确； ，由A知， 由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误； 由可得，即，所以， 所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 15 某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求的最小值. 解：利用，得到， 于是，， 当且仅当时，取到最小值. （1）老师请你模仿例题，研究上的最小值；（提示：，当且仅当时，等号成立） （2）研究上的最小值； （3）当时，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据例题，将变形为，再利用求解即可； （2）根据例题，将变形为，再利用求解即可； （3）根据例题，将变形为，再利用求解即可； 【小问1详解】 因为， 利用，得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. 【小问2详解】 因为， 利用，得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. 【小问3详解】 因为， 利用，得到， 于是，， 当且仅当时，取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$