精品解析：重庆市第一中学2024-2025学年高三上学期适应性月考（一）数学试题

【考试时间：9月27日14：30~16：30】 数学试题卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合,再由集合交集运算即可求解. 【详解】 所以 所以集合的子集个数为8 故选：B 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质可得必要性，举反例可说明不充分性，即可求解. 【详解】当时，，故， 故“”是“”的必要条件， 当时，比如，但是，故“”是“”的不充分条件， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 3. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的形式，结合对数和指数运算公式，即可求解. 【详解】因为，所以， . 故选：D. 4. 已知角α，β都是锐角，且，是方程的两个不等实根则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，进而由同角三角函数的关系可求的正余弦值，进而利用两角和的余弦公式可求的值. 【详解】由，可得 或， 又，是方程的两个不等实根，不妨设，， 又都是锐角，所以由同角的三角函数关系可得，， . 故选：A. 5. 我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将 五人排成一行形成甲队，要求与 相邻，在 的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为（ ） A. 432 B. 864 C. 1728 D. 2592 【答案】C 【解析】 【分析】先计算甲队的排列总数，分别要用上捆绑法和除序法；然后再利用插空法计算乙队的排列总数，最后利用计数原理计算总的排列方法数即可. 【详解】甲队，先用捆绑法，将与 捆绑有 种，将与 看作一个整体，再用除序法得种，利用计数原理可知，一共为 种； 乙队，利用插空法得种； 按照计数原理可知，一共种. 故选：C 6. 在 中，若，且，则 的外接圆的面积为（ ） A. 4π B. 8π C. 16π D. 64π 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理边角化可得，即可求解余弦值，进而可得正弦值，利用正弦定理即可得半径求解. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 设，，， ，则， 由正弦定理得，，即， 则外接圆面积为， 故选：C． 7. 若次多项式满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式．如，由可得切比雪夫多项式，同理可得．利用上述信息计算（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切比雪夫多项式得，即可取，结合二倍角公式以及同角关系求解. 【详解】由于,， 即，变形可得， 即，解可得：或（舍， 则有，即， 故选：A 8. 若，，（其中e为自然对数的底数），则实数a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别构造函数和，求导即可得到函数的单调性，进而可求解. 【详解】设, 则 当单调递增，当单调递减，所以，故,当且仅当等号成立， 故，故，即， 设，则， 故当单调递增，当单调递减， 因此，因此，当且仅当时取等号， 故，即， 故， 故选：D 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ） A. 数据 ，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1 B. 已知随机变量，若，，则 C. 若事件M，N的概率满足，且，则M与N相互独立 D. 若一组样本数据（，2，…，n）的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算判断A，由二项分布的数学期望与方差公式计算可判断B，根据相互独立事件及条件概率的概率公式计算可判断C，根据相关系数的定义可判断D. 【详解】对于选项A，8个数据从小到大排列，由于， 所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数，故A正确； 对于选项B，因为，，， 所以，解得，故B正确； 对于选项C，由，可得， 即，即，所以M与N相互独立，故C正确； 对于选项D，因为样本点都在直线上，说明是负相关且线性相关性很强， 所以相关系数为 ，故D错误. 故选：ABC. 10. 若 ， ，且 ，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C. D. 若实数，则的最小值为8 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式和正弦函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，由， 可得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2，故A正确； 对于B，由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，所以B错误； 对于C，因为 ， ，且 ，所以， 又，所以，故C错误； 对于D，因为， 当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为8，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的一个周期为π B. 函数的一个对称中心为 C. 函数在区间上单调递增 D. 方程在区间上共有6个不同实根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据即可判断A，根据可判断B，利用三角恒等变换得，即可利用复合函数的单调性求解C，利用一元二次方程以及三角函数的性质和图象即可求解D. 【详解】对于A，，故函数的一个周期为π，A正确， 对于B，， 故关于对称，B错误， 对于C， 令，由于时，，故， 故，开口向下，且对称轴为， 故在单调递减，且在单调递减， 因此单调递增，故C正确， 对于D，由于， 令，则， 故或，进而得或或或， 当时，， 作出 ，的图象如下： 故或分别有2个交点，或，分别有1个交点， 故方程在区间上共有6个不同实根，D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：利用和差角公式以及二倍角公式将化简为，结合复合函数的单调性以及二次方程求解. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数在 处取得极值，则函数的极大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用函数取得极值得，并代入原函数求单调性检验；所得的单调性，利用函数的极值的定义即可求解 【详解】，则， 因为函数在 处取得极值， 所以，故， 则， 令，解得 或；令，解得； 所以在 ， 上单调递增，在上单调递减， 故 是极值点，符合要求，故 且为极大值点，的极大值为. 故答案为：2. 13. 已知函数，直线和点是的一组相邻的称轴和对称中心，且在区间上单调递减，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出周期，从而求出，又因为且在区间上单调递减从而求出，再由，即可求解. 【详解】根据题意可得周期，所以，所以， 则时单调递减，即， 又因为在区间上单调递减，所以 则，解得：， 又因为，所以， 又因为，解得， 所以. 故答案为：. 14. 函数及其导函数的定义域均为R，，且为奇函数，______． 【答案】 【解析】 【分析】求导得，进一步得，根据奇函数的性质得，进而联合可得，可得为等差数列，即可根据等差数列的性质求解. 【详解】对求导可得，故，则， 又为奇函数，所以，因此，故， 故， 因此可得，故为等差数列，且公差为 ，首项为 ， ， 故答案为： 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 锐角 的内角所对的边分别为 ，若，且，. （1）求边 的值； （2）求内角的角平分线的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变换运算求解可得，即可利用余弦定理求解或 ，利用锐角三角形即可得 ； （2）利用等面积法，结合三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：， 即， 又因为，则，可得， 又因为，所以． 由余弦定理可得，即， 则，解得：，或 ， 由于三角形为锐角三角形，故，故，进而只取 ， 故 . 【小问2详解】 根据面积关系可得， 即， 解得：． 16. 已知函数． （1）若，求的值； （2）若先将的图象上每个点的横坐标变为原来倍，再将函数图象向右平移个单位，将函数图象上每个点的纵坐标变为原来的2倍，再将函数图象向上平移个单位，得到函数图象，求在上的值域和单调递减区间． 【答案】（1） （2）的值域为，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）化简可得的解析式，进而可得可得，利用二倍角的余弦公式可求的值； （2）求得的解析式，结合已知可求的值域与单调递减区间. 【小问1详解】 ； 又，可得， . 【小问2详解】 将的图象上每个点的横坐标变为原来倍，可得解析式为， 再将函数图象向右平移个单位，可得函数的解析式为， 将函数图象上每个点的纵坐标变为原来的2倍，， 再将函数图象向上平移个单位，得到函数， 由，可得，， 所以，所以的值域为； 由，得 又，所以在上单调递减. 17. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 （1）根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； （2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中 . 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）无关联 （2） 1 2 3 （3）875 【解析】 【分析】（1）计算的值，将其与对应的小概率值比较即得； （2）先算出抽取的8件产品中的合格品与不合格品的数目，再从中抽取3件，根据合格品件数的可能值运用超几何分布概率计算出概率，列出分布列计算数学期望即得； （3）分析得出，利用二项分布概率公式得出再利用作商法分析得时，事件“”的概率最大. 【小问1详解】 零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联； 则， 故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立， 因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联； 【小问2详解】 依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中， 合格产品有件，不合格产品有2件， 而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有1，2，3． 则，，， 故的分布为： 1 2 3 则； 【小问3详解】 依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为， 故，则， 由， 故由可解得， 因，故当时，； 故由可解得， 即当时，； 故当事件“”的概率最大时，． 18. 在平面直角坐标系中，若点绕着原点O逆时针旋转θ角后得到点，则，．已知曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线：． （1）求曲线的方程； （2）已知，分别是曲线的上、下焦点，M，N是曲线上两动点且它们分布在y轴同侧、x轴异侧，，若，求实数λ的值； （3）在（2）问中，若与的交点为P，则是否存在两个定点，，使得为定值？若存在，求，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3），分别为，且定值为6 【解析】 【分析】（1）利用旋转可得相关点坐标，即可代入求解， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，根据向量共线的坐标关系可得，进而得，利用两点距离公式，代入化简即可求解， （3）根据平行得相似，即可根据相似比，结合双曲线定义即可化简求解. 【小问1详解】 由于曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线：， 故曲线绕原点逆时针旋转后得到曲线：． 设是上任意一点，绕着原点O逆时针旋转θ角后得到点， 则，， 由于在上，所以，化简得， 故的方程为， 【小问2详解】 设直线，,, 联立直线与双曲线的方程，消去得， ， 所以由韦达定理可得，， 因为，故，， 即， ，化简得， 代入可得，故， 结合，故， 由可得 ， 由于在双曲线上，故， 所以， 代入和可得， 故 【小问3详解】 由双曲线方程可得， 不妨设，由（2）知， 故， 由于，则，， ， 因此 ， 故存在两个定点，，使得为定值， 且，分别为，且定值为6 【点睛】关键点点睛：利用向量共线坐标关系得，利用得，代入两点距离化简可得，第三中，利用（2）的结合和相似，结合双曲线的定义求解. 19. 已知曲线（， 为自然对数的底数）在处的切线的倾斜角为，函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数t的最大值； （2）证明：函数的图象与函数的图象在内有5个不同的交点； （3）记（2）中的5个交点分别为A，B，C，D，E，横坐标依次为，，，，（），求证：． 【答案】（1） （2）答案见详解 （3）答案见详解 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的单调递增区间，即可求出实数t的最大值； （2）将问题转化为利用导数证明函数在内有5个零点； （3）通过观察可知，，即转化为求证，再根据和均在区间，且在单调递减，所以只需证明即可. 【小问1详解】 ， ，即， ，， 令 ，解得，所以在区间上单调递增， 又因为在区间上单调递增，所以实数 的最大值为； 【小问2详解】 证明：令，， 设，则， 令，解得， ， ，， 因为在上单调递减，且， 所以在上， 所以在内单调递减，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，在内单调递减， 又 ，，，，， 所以存在，，，使得， 因此当，， 递减；当，， 递增；当，， 递减；当，， 递增；当，， 递减； 又，，，，， 所以 ，，，， 使得，又因为， 所以在内有5个零点， 所以函数的图象与函数的图象在内有5个不同的交点； 【小问3详解】 证明：由（2）可知，，又，所以， ，，所以, 所以要证，即证，即证， 因为，，所以， 所以， 又，，所以， 又因为，递减， 又，所以， 所以在单调递减，所以只需证明， 又， 又，所以，，， 所以， 所以，所以， 即证. 【点睛】求解两个函数和交点的问题通常转化为函数零点的问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【考试时间：9月27日14：30~16：30】 数学试题卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则集合的子集个数为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 4. 已知角α，β都是锐角，且，是方程的两个不等实根则（ ） A. B. C. D. 5. 我校田径队有十名队员，分别记为，为完成某训练任务，现将十名队员分成甲、乙两队．其中将 五人排成一行形成甲队，要求与 相邻，在 的左边，剩下的五位同学排成一行形成乙队，要求与不相邻，则不同的排列方法种数为（ ） A. 432 B. 864 C. 1728 D. 2592 6. 在中，若，且，则的外接圆的面积为（ ） A. 4π B. 8π C. 16π D. 64π 7. 若次多项式满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式．如，由可得切比雪夫多项式，同理可得．利用上述信息计算（ ） A. B. C. D. 8. 若，，（其中e为自然对数的底数），则实数a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是（ ） A. 数据 ，0，2，4，5，6，8，9的第25百分位数是1 B. 已知随机变量，若，，则 C. 若事件M，N的概率满足，且，则M与N相互独立 D. 若一组样本数据（，2，…，n）的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 10. 若 ， ，且 ，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为 C. D. 若实数，则的最小值为8 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的一个周期为π B. 函数的一个对称中心为 C. 函数在区间上单调递增 D. 方程在区间上共有6个不同实根 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数在处取得极值，则函数的极大值为______． 13. 已知函数，直线和点是的一组相邻的称轴和对称中心，且在区间上单调递减，则______． 14. 函数及其导函数的定义域均为R，，且为奇函数，______． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 锐角的内角所对的边分别为 ，若，且，. （1）求边 的值； （2）求内角的角平分线的长． 16. 已知函数． （1）若，求的值； （2）若先将的图象上每个点的横坐标变为原来倍，再将函数图象向右平移个单位，将函数图象上每个点的纵坐标变为原来的2倍，再将函数图象向上平移个单位，得到函数图象，求在上的值域和单调递减区间． 17. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 （1）根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； （2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中 . 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 18. 在平面直角坐标系中，若点绕着原点O逆时针旋转θ角后得到点，则，．已知曲线绕原点顺时针旋转后得到曲线：． （1）求曲线的方程； （2）已知，分别是曲线的上、下焦点，M，N是曲线上两动点且它们分布在y轴同侧、x轴异侧，，若，求实数λ的值； （3）在（2）问中，若与的交点为P，则是否存在两个定点，，使得为定值？若存在，求，的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知曲线（， 为自然对数的底数）在 处的切线的倾斜角为，函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数t的最大值； （2）证明：函数的图象与函数的图象在内有5个不同的交点； （3）记（2）中的5个交点分别为A，B，C，D，E，横坐标依次为，，，，（），求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $