精品解析：广东省江门市广雅中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题B卷

江门市广雅中学2024-2025学年第一学期9月月考 高二年级数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 试卷类型：B 一、单选题（8小题，共40分） 1. 将直线绕着原点逆时针旋转，得到的新直线的斜率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线的倾斜角，然后旋转后可得到新直线的倾斜角，进而求出新直线的斜率. 【详解】由题意可知，直线方程可转化为， 从而，则直线的倾斜角， 则直线逆时针旋转后倾斜角为， 即所得新直线的斜率为． 故选：B. 2. 已知直线l过点且方向向量为，则l在x轴上的截距为（ ） A. B. 1 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方向向量求得直线的斜率，然后利用点斜式可求得直线方程，再令，即可得到本题答案. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率， 又直线过点，所以直线方程为，即， 令，得，所以在x轴上的截距为-1. 故选：A 3. 直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于（　　） A. B. 2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】 如图,圆(x＋1)2＋y2＝3的圆心为M(−1,0)， 圆半径|AM|=， 圆心M (−1,0)到直线x+y−1=0的距离： |， ∴直线x+y−1=0被圆(x+1)2+y2=3截得的弦长： 故选B. 点睛: 本题考查圆的标准方程以及直线和圆的位置关系.判断直线与圆的位置关系一般有两种方法： 1．代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二元方 程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直 线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判 断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大． 2．几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．当直线与圆相交时,可利用垂径定理得出圆心到直线的距离,弦长和半径的勾股关系. 4. 已知圆，过x轴上的点P(1,0)向圆C引切线，则切线长为 A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的方程求出圆心和半径,求出的值，根据切线的长为,计算求得结果. 【详解】圆, 即， 表示以C(1,3)为圆心，半径R＝1的圆． |PC|＝＝3， 故切线的长为＝2，故选B． 【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，以及切线长公式的应用，属于中档题.过点向圆作切线（为切点），则切线长. 5. 若圆和圆相切，则等于 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据的圆标准方程求得两圆的圆心与半径，再根据两圆内切、外切的条件,分别求得的值并验证即可得结果. 【详解】圆的圆心，半径为5； 圆的圆心，半径为r. 若它们相内切，则圆心距等于半径之差，即＝|r－5|， 求得r＝18或－8，不满足5<r<10. 若它们相外切，则圆心距等于半径之和，即＝|r＋5|， 求得r＝8或－18(舍去)，故选C． 【点睛】本题主要考查圆的方程以及圆与圆的位置关系，属于基础题. 两圆半径为，两圆心间的距离为，比较与及与的大小，即可得到两圆的位置关系. 6. 离心率为2的双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】双曲线离线，焦点在y轴上时，双曲线渐近线方程为． 【详解】由题意，双曲线的离心率为，则，即， ∴双曲线的渐近线方程为，即． 故选：C． 7. 椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用点差法计算即可求得结果. 【详解】设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2)， 代入椭圆得， 两式相减得， 即， 即，又 即， 即， ∴弦所在的直线的斜率为， 故选：C. 8. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出以原点为圆心以c为半径的圆与椭圆有交点，即，从而结合，即可求出椭圆离心率e的取值范围. 【详解】因为椭圆上存在点P，使， 所以以原点为圆心以c为半径的圆与椭圆有交点， 即，所以，又因为，所以， 即，又因为， 所以，  所以椭圆的离心率e的取值范围为  故选：B 二、多选题（3小题，每题6分，共18分） 9. 若两条平行直线：与：之间距离是，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，相加即可得到答案. 【详解】由题意，，，所以，所以：，即， 由两平行直线间的距离公式得，解得或， 所以或. 故选：AB 【点睛】本题考查两直线的位置关系以及平行直线间的距离公式，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 10. 已知圆与圆，则（ ） A. 两圆的圆心距为 B. 两圆的公切线有3条 C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D. 两圆相交，且公共弦的长度为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标，求出两圆圆心距，判断A；判断两圆的位置关系，即可判断B；将两圆方程相减，即可得两圆公共弦所在的直线方程，判断C；利用几何法求得公共弦长，判断D. 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为 与圆的圆心为，半径为， 故两圆的圆心距为，A正确； 对于B，由于， 即圆与圆相交，两圆的公切线有2条，B错误； 对于C，由B可知两圆相交， 将圆与圆的方程相减， 得，即公共弦所在的直线方程为，C正确； 对于D，由B可知两圆相交，而， 到直线的距离为， 故两圆公共弦的长度为，D错误， 故选：AC 11. 已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 的面积为1 C. 到双曲线的一条渐近线的距离为2 D. 以为直径的圆的方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】 由双曲线方程求出的值，得到左右焦点的坐标，渐近线方程，由求出点的横纵坐标的关系，可求出点的坐标，进而可判断各选项 【详解】解：对于A，由得，所以双曲线的渐近线方程为，所以A正确； 对于B，由双曲线，可得，则，设，则， 所以，得， 因为点是双曲线上，所以，解得，所以的面积为，所以B正确； 对于C，到一条渐近线距离为，所以C错误； 对于D，由于 ，所以以为直径的圆的圆心为（0，0），半径为，所以圆的方程为，所以D错误， 故选：AB 【点睛】此题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题 三、填空题（3小题，共15分） 12. 抛物线的焦点到准线的距离为_________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，因为抛物线，即，即焦点到准线的距离为. 考点：抛物线的性质． 13. 若圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用圆的对称性与基本不等式中“1”的妙用解题. 【详解】由题可知圆的圆心为，若圆上存在两点关于对称， 则说明直线过圆心，即，即，且， 故. 当且仅当，即时取得等号. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于__________. 【答案】6 【解析】 【分析】利用双曲线的性质，得到，代入所求式子，结合两点距离直线最短原理，计算最小值，即可． 【详解】结合题意，绘制图像： 根据双曲线的性质可知，得到，所以 ，而，所以 ，所以最小值为6. 【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了两点距离公式，难度中等． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为. （1）求直线l的方程； （2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程． 【答案】（1）3x＋4y－14＝0 （2）3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0 【解析】 【分析】（1）由点斜式直接求解即可； （2）由题可设直线m的方程为3x＋4y＋c＝0，再利用点到直线的距离的公式即得. 【小问1详解】 由直线的点斜式方程得， 整理得直线l的方程为3x＋4y－14＝0. 【小问2详解】 ∵直线m与l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋c＝0，∴， 即|14＋c|＝15. ∴c＝1或c＝－29. 故所求直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0. 16. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆的位置关系； （2）若直线与圆交于不同的两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）直线与圆相交； （2）直线的方程为或 【解析】 【分析】（1）先求出直线l过的定点坐标，判断定点在圆内，则直线l必与圆相交； （2）由圆的半径和弦长求得圆心到直线l的距离，以此列方程求解m的值，即可求出直线l的方程. 【小问1详解】 直线，整理得， 令，解得 即直线l过定点. 将P点坐标代入圆C方程得， 故P点在圆C内，直线与圆相交. 【小问2详解】 圆，整理得 即，. 因为， 所以圆心C到直线l的距离为. 又， 所以 故直线的方程为或. 17. 已知椭圆及直线. (1)当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围； (2)求直线被此椭圆截得的弦长的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）将直线方程代入椭圆方程，求得，由，即可求得实数m的取值范围；（2）由（1）可知，由韦达定理及弦长公式可知丨AB丨=，即可求最值． 试题解析：(1)由消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.① 上面方程的判别式Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)． ∵直线l与椭圆有公共点， ∴Δ≥0，据此可解得. 故所求实数m的取值范围为． (2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由①得：x1＋x2＝， 故|AB|＝ ＝ ， 当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为. 18. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． （1）求线段AB的中点P的轨迹的方程； （2）若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)设中点P的坐标为，利用中点坐标公式将点A的坐标用表示出来，再代入圆的方程即可； (2)作出图象，由题意可得的最小值为，的最小值为， 所以的最小值为，取关于x轴的对称点，则有Q为直线与x轴的交点时，取得最小值，由两点间的距离公式求解即可. 【小问1详解】 解：设点P的坐标为，点A的坐标为，由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，．于是有，．① 因为点A在圆上运动， 所以点A的坐标满足方程，即．② 把①代入②，得， 整理，得， 所以点P的轨迹的方程为． 【小问2详解】 解：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 所以．③ 当且仅当A在线段上且C在线段上时，取等号． 取关于x轴的对称点， 当点Q为直线与x轴的交点时，取得最小值， 且， 所以的最小值为． 19. 已知动点(其中)到定点的距离比点到轴的距离大1. （1）求点的轨迹的方程； （2）过椭圆的右顶点作直线交曲线于､两点，其中为坐标原点 ①求证：； ②设､分别与椭圆相交于点､，证明：原点到直线的距离为定值. 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据题意有，化简可得答案. （2）直线的方程为,与抛物线方程联立， ①由，将韦达定理代入可证明. ②由①可得，设､，直线的方程为，则，由方程联立，韦达定理可得，再由点到直线的距离公式可证明. 【详解】（1）设由题意， 两边平方，整理得： 所以所求点的轨迹方程为. （2）①设过椭圆的右顶点的直线的方程为. 代入抛物线方程，得 设､，则 ∴. ∴. ②设､，直线的方程为， 代入，得. 于是，. 从而 ∵，∴. 代入，整理得. ∴原点到直线的距离为定值. 【点睛】本题考查求轨迹方程，考查方程联立韦达定理的应用，考查“设而不求”方法的应用，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江门市广雅中学2024-2025学年第一学期9月月考 高二年级数学试卷 （时间：120分钟，满分：150分） 试卷类型：B 一、单选题（8小题，共40分） 1. 将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率为( ) A. B. C. D. 2. 已知直线l过点且方向向量为，则l在x轴上的截距为（ ） A. B. 1 C. D. 5 3. 直线x+y﹣1＝0被圆（x+1）2+y2＝3截得的弦长等于（　　） A. B. 2 C. 2 D. 4 4. 已知圆，过x轴上的点P(1,0)向圆C引切线，则切线长为 A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 5. 若圆和圆相切，则等于 A 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 离心率为2的双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，若椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（3小题，每题6分，共18分） 9. 若两条平行直线：与：之间的距离是，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆与圆，则（ ） A. 两圆圆心距为 B. 两圆的公切线有3条 C. 两圆相交，且公共弦所在的直线方程为 D. 两圆相交，且公共弦的长度为 11. 已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线的渐近线方程为 B. 的面积为1 C. 到双曲线的一条渐近线的距离为2 D. 以为直径的圆的方程为 三、填空题（3小题，共15分） 12. 抛物线的焦点到准线的距离为_________． 13. 若圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是______. 14. 已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于__________. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为. （1）求直线l的方程； （2）若直线m与直线l平行，且点P到直线m距离为3，求直线m的方程． 16. 已知圆，直线. （1）判断直线与圆的位置关系； （2）若直线与圆交于不同的两点，且，求直线的方程. 17 已知椭圆及直线. (1)当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围； (2)求直线被此椭圆截得的弦长的最大值． 18. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． （1）求线段AB的中点P的轨迹的方程； （2）若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值． 19. 已知动点(其中)到定点的距离比点到轴的距离大1. （1）求点的轨迹的方程； （2）过椭圆的右顶点作直线交曲线于､两点，其中为坐标原点 ①求证：； ②设､分别与椭圆相交于点､，证明：原点到直线的距离为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$