精品解析：重庆市实验外国语学校2024-2025学年高三上学期第三次考试数学试题

重庆实验外国语学校 2024—2025学年度（上）高2025届第3次考试 数学试题 （满分150分 120分钟完成） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备讲评）. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为全集，集合，所以， 又，所以， 故选：A. 2. （ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用诱导公式以及倍角公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 3. 函数是奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质，有，计算即可得. 【详解】因为，所以， 因为是奇函数，所以，即， 所以，则，解得， 因为，所以. 故选：B. 4. 设，则“”是“为第二象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 分析】根据同角三角函数关系及必要不充分条件定义判断即可. 【详解】因为，所以可以是第二象限角或第三象限角， 所以“”是“为第二象限角”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. 或7 B. 或 C. 7或-7 D. -7或 【答案】B 【解析】 【分析】根据辅助角公式可求，故可求的值. 【详解】因为，故， 故，故，故， 故选：B. 6. 已知函数在R上单调递增，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合二次函数及对数函数单调性列出不等式组，求解即得. 【详解】由函数在R上单调递增，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 7. 为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为整数）.已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多（ ）百元代金券 A. 5.4 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知代金券的取值，再根据随机变量的意义求概率，即可求分布列，再求期望可知，根据条件，结合基本不等式求的最大值，即可求解. 【详解】若摸到一红球一白球的概率， 若摸到2白球的概率，若摸到2红球的概率， 设可获得百元代金券为变量分布列如下， a b ab P , 手气最好者获得百元代金券 即，， 则， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 估计手气最好者至多获得18个百元代金券. 故选：D. 8. 函数与的图象有（ ）个交点 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先分析与的奇偶性，然后画出一半区间的图象，由奇函数的对称性判断求解即可 【详解】为奇函数， 当时，则，所以， 当时，则，所以， 所以总有，也是奇函数， 且，， 画出与在的函数图象， 由图象可知函数与在上有个交点， 由奇函数的对称性可知，在上有个交点， 所以函数与的图象总共有个交点， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列关于函数说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 最小正周期是 C. 图象关于点中心对称 D. 图象关于直线轴对称 【答案】AD 【解析】 【分析】结合三角函数的性质，利用整体代换思想依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，当时，，此时函数为增函数，所以函数在区间上单调递增，故A选项正确； 对于B选项，由函数周期公式，故B选项错误； 对于C选项，当时，，由于是的对称轴，故不是函数的中心对称，故错误； 对于D选项，当时，，由于是的对称轴，故直线是函数的对称轴，故D选项正确. 故选：AD 10. 已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 二项式系数最大的项是第4项 C. 展开式的常数项为540 D. 展开式含有 【答案】BC 【解析】 【分析】由二项式的展开式中各项系数之和是，求出，得到二项展开式的通项公式，逐项判断即可. 【详解】由于二项式的展开式中各项系数之和是， 所以令，则，所以， 所以二项式，所以展开后有项，故A错误； 二项式系数最大的项是第4项，故B正确； 二项式展开式的通项公式为， 所以当时，常数项为，故C正确； 当时，解得不是整数，所以展开式不含有项，故D错误. 故选：BC 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 若存在极值点，则 B. 若，则有且只有一个极值点 C. 若有两个极值点，则 D. 若1是的极大值点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出导函数，由题意可得有两个不相等的正根或一正一负根，可判断A；由，判断两根的情况，可判断B；由有两个极值点，可得有两个不相等的正根，得到，可判断C；由1是的极大值点，判断为较小的正根，即可判断D. 【详解】因为，所以， 若存在极值点， 则方程有2个不相等的实数根，且至少有一个根为正数， 则或，故A错误； 若，则， 则方程有2个不相等的实数根，且， 故方程恰有1个正根，即有且只有一个极值点，故B正确； 若有两个极值点，则方程有2个不相等的正根， 则，从而，故正确； 若1是的极大值点， 则易知方程有2个不相等的正根，且，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式求解即可. 【详解】， 故答案为： 13. 若某人打算将个数字，，，，进行排列得到密码，则可设置的不同密码有______种. 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊元素优先原则进行排列. 【详解】位密码，可先选择两个的位置，共种情况， 再将剩余个数字排列入剩余个位置中，共种情况， 则密码共有种情况， 故答案为：. 14. 如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，.若，则的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由倍角公式和辅助角公式可得，由题意，再由三角函数的定义即可求. 【详解】圆的半径为1. 又，为等边三角形. ，且为锐角. . 由三角函数的定义可得，. 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数的定义，倍角公式和辅助角公式，公式的熟练运用是解决问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求的值及的定义域； （2）求不等式的解集. 【答案】（1），定义域为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接利用，即可求得参数的值，继而可求得函数的定义域； （2）变化不等式，利用函数的单调性列出不等式组，解出即可. 【小问1详解】 因为， 解得． 所以， 由题意可得解得， 故的定义域为． 【小问2详解】 不等式等价于， 即， 由于在上单调递增， 则解得． 故不等式的解集为． 16. 某校机器人社团为了解市民对历年"数博会"科技成果的关注情况，在市内随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩近似服从正态分布，且. （1）估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数； （2）若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从市内随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）200人； （2）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）利用正态分布的性质求出，进而求出对应的人数. （2）根据给定条件，利用二项分布求出分布列及期望. 【小问1详解】 由问卷调查成绩近似服从正态分布，且， 则，于是， 所以抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数约为200人. 【小问2详解】 由（1）知，对“数博会”的关注度较高事件的概率为， 的可能取值为，， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望为. 17. 已知为锐角，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行化简即可； （2）根据（1）的结论，结合两角差的正弦公式进行求解即可. 【小问1详解】 ， . . 又为锐角， ， ； 【小问2详解】 由（1）可知， ，且为锐角， ， 18. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）证明：对任意的，有； （3）若，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再令根据导函数的单调性得出极值. （2）先构造函数，再求导得出函数单调性，得出函数最小值，得出，同乘即可得出证明不等式； （3）先构造函数，应用单调性可得，再分，三种情况分别证明即可. 【小问1详解】 因为， 令， 又因为单调递减；单调递增； 所以的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 令， 可得，令， 单调递增，， 单调递减； 单调递增； 所以， 所以， 所以，即得， 所以 小问3详解】 对任意的，令， 所以 令 单调递增，， 单调递减， 所以设，则即 可得， 当单调递增，所以，可得 所以， 当单调递减，所以，可得 对任意的，令， 所以 令 单调递减，， 单调递增， 所以， 当 因为单调递增，所以，可得可得， 因为单调递减，所以，可得可得， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：先构造函数，根据导函数得出函数单调性，应用单调性可得，再把分为，三种情况分别证明即可. 19. 已知函数，其中，整数． （1）当时，求函数的值域； （2）已知对任意的，有，求实数的取值范围； （3）求函数的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）当为奇数时，的最大值为，最小值为； 当为偶数时，的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）先配方，然后利用同角三角函数的基本关系以及二倍角公式化简，然后利用正弦函数的值域求函数的值域即可； （2）易知，当时，得，然后分别讨论时与时，不等式是否成立；最后得出结论； （3）易知当为奇数和为偶数情况不一样，当为奇数时，每一项都可能为，所以先讨论都非负的时候，此时才可能存在最大值，然后再讨论每项都为非正是，此时才可能存在最小值，然后利用第二问结论求解即可；当为偶数时，显然的每一项都是非负的，我们先判断函数的周期性，然后再一个周期上求解，需要求导计算其单调性，然后判断最值即可. 【小问1详解】 由题可知， 因为，易知， 得 故函数的值域为 【小问2详解】 显然，当时，得 当时，因为，所以 故，所以 当时，， 所以，故 综上所述， 【小问3详解】 由题可知，， 当为奇数时， 显然当同时非负时，才可能存在最大值， 即时， 若，则，此时 若，则，此时 当时，，因为 由（2）可知，此时 故的最大值为； 当同时非正时才可能存在最小值， 即 此时， 若，则，此时 若，则，此时 当时，，因为 由（2）可知，此时 所以 故的最小值为 当为偶数时， 因为， 所以 故此时周期为的周期函数， 那么我们不妨讨论的最值， 此时的最值即为函数的最值； 当为偶数时，则 此时， 令，解得，，或 易知，当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， ， 所以此时，的最大值为，最小值为; 综上所述， 当为奇数时，的最大值为，最小值为； 当为偶数时，的最大值为，最小值为. 【点睛】关键点点睛：函数，当为奇数时，是一个最小正周期为的周期函数，当为偶数时，是一个最小正周期为的周期函数；所以两种情况不一样，我们需要分别讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆实验外国语学校 2024—2025学年度（上）高2025届第3次考试 数学试题 （满分150分 120分钟完成） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整. 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备讲评）. 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ）． A. B. C. D. 3. 函数是奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 设，则“”是“为第二象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. 或7 B. 或 C. 7或-7 D. -7或 6. 已知函数在R上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为整数）.已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多（ ）百元代金券 A. 5.4 B. 9 C. 12 D. 18 8. 函数与的图象有（ ）个交点 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 最小正周期 C. 图象关于点中心对称 D. 图象关于直线轴对称 10. 已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 二项式系数最大的项是第4项 C. 展开式的常数项为540 D. 展开式含有 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 若存在极值点，则 B. 若，则有且只有一个极值点 C. 若有两个极值点，则 D. 若1是的极大值点，则 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：______． 13. 若某人打算将个数字，，，，进行排列得到密码，则可设置的不同密码有______种. 14. 如图，圆与轴正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，.若，则的值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知函数，且. （1）求的值及的定义域； （2）求不等式的解集. 16. 某校机器人社团为了解市民对历年"数博会"科技成果关注情况，在市内随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩近似服从正态分布，且. （1）估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数； （2）若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从市内随机抽取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 17. 已知为锐角，且． （1）求的值； （2）若，求的值． 18. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）证明：对任意，有； （3）若，证明：． 19. 已知函数，其中，整数． （1）当时，求函数的值域； （2）已知对任意的，有，求实数的取值范围； （3）求函数的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$