精品解析：上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期学生综合素质摸底（开学）考试数学试题

2027届上海市师范大学附属中学高一新生综合素质摸底试卷 数学 试卷 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、考试中途不得传借文具. 2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分. 3.不得携带任何手机，电子手表等通讯设备，开考后一经发现，直接以作弊论处. 4.请将答案写在答题纸上，保持字迹清晰. 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 0______N（选填“”或“∉”） 2. 设满足的解集为的所组成的集合为A，则______. 3. 化简：=_________. 4. 若，则的最小值为______. 5. 若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为______． 6. 若一元二次方程的两根分别为a，b，则______. 7. 下列不等式中，不成立是______．（填序号） ①若，则；②若，则；③若，则； ④若，则；⑤若，若；⑥若，则； ⑦若，，则；⑧若，，则． 8. 已知关于x的不等式组的整数解的集合为,则实数k的取值范围是______． 9. 如图，设I为全集，则阴影部分所表示的集合是_______（请用各集合的交，并，补表示） 10. 已知集合，，其中，全集.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为______. 11. 已知不等式的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为___________. 12. 集合有5个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素乘积为，则______. 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 已知a，b，，则“”的必要不充分条件可以是下列的选项（ ） A B. C. D. 14. 如果，那么下列不等式成立的是（　　） A B. C. D. 15. 集合，，，且，，则（　　） A. B. C. D. 不属于，，中任意一个 16. 已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（ ） A. 不存在有序数组，使得 B. 存在唯一有序数组，使得 C. 有且只有两组有序数组，使得 D. 存在无穷多组有序数组，使得 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知R子集U为一个数集，集合. （1）设，求：集合A的非空真子集个数； （2）设，证明：若，则. 18. 命题：关于的方程有两个相异负根．命题：关于 的不等式对恒成立． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 19. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，当车速为v（单位：m/s），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且）. 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 距离 （1）请写出报警距离d（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间的表达式；若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以速度v行驶，求：当时，汽车撞上固定障碍物的最短时间t （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80m，则：车辆设计的最高速应小于多少km/h. 20. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题. 设集合________，集合； （1）若集合B的子集有2个，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围. 21. 已知集合具有性质：对任意，与至少一个属于. （1）分别判断集合与是否具有性质P，并说明理由； （2）具有性质P，当时，求：集合A； （3）当时，请直接写出的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2027届上海市师范大学附属中学高一新生综合素质摸底试卷 数学 试卷 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、考试中途不得传借文具. 2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分. 3.不得携带任何手机，电子手表等通讯设备，开考后一经发现，直接以作弊论处. 4.请将答案写在答题纸上，保持字迹清晰. 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 0______N（选填“”或“∉”） 【答案】 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系填空即可. 【详解】N是自然数集，包括0，所以. 故答案为： 2. 设满足的解集为的所组成的集合为A，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次不等式的解集与二次系数的关系即可得解. 【详解】因为的二次系数为， 所以若存在解集，则其解集形式为， 其中为的两根， 显然不存在满足的解集为的 所以. 故答案为： 3. 化简：=_________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则计算即可. 【详解】解:由题意可知， 所以. 故答案为：1 4. 若，则最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 5. 若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为______． 【答案】-3 【解析】 【分析】由题意可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，再根据f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，求得f（x）的最小值，可得 m的最大值． 【详解】解：由已知可关于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0对任意x∈（0，1]恒成立，可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立， 又f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数， ∴f（x）min＝f（1）＝﹣3， ∴m≤﹣3，即 m的最大值为﹣3， 故答案为-3． 【点睛】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，函数的恒成立问题，属于中档题． 6. 若一元二次方程的两根分别为a，b，则______. 【答案】 【解析】 【分析】应用韦达定理化简计算即可. 【详解】因为一元二次方程的两根分别为a，b， 所以， 所以 .. 故答案为：. 7. 下列不等式中，不成立的是______．（填序号） ①若，则；②若，则；③若，则； ④若，则；⑤若，若；⑥若，则； ⑦若，，则；⑧若，，则． 【答案】①③⑥ 【解析】 【分析】根据不等式的性质一一判断即可. 【详解】对于①,若,则,所以①不成立； 对于②，由可知，所以成立，故②成立； 对于③，如满足，但，所以③不成立； 对于④，因为，所以，即，所以④成立； 对于⑤，由可得，所以⑤成立； 对于⑥，若，则，所以⑥不成立； 对于⑦，因为，所以， 且，所以，所以⑦成立； 对于⑧，因为，所以，所以，所以⑧成立， 故答案为: ①③⑥. 8. 已知关于x的不等式组的整数解的集合为,则实数k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】解出不等式组中的不含参数的一元二次方程，对k进行分类讨论，使不等式组的整数解的集合为，根据数轴即可得出结果. 【详解】由，解得或， 由，即， 当时，的解为， 故不等式组的解集为， 因为，不符合不等式组的解集中有整数，故舍去； 当时，不等式为 ，即， 所以不等式无解，不符合题意，故舍去； 当时，的解为， 若需不等式组的整数解的集合为， 由数轴可知只需，解得， 综上，实数k取值范围是. 故答案为：. 9. 如图，设I为全集，则阴影部分所表示的集合是_______（请用各集合的交，并，补表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用交集和补集的定义表示阴影部分所表示的集合. 【详解】由图可知，阴影部分的元素满足的条件是： 在集合中，但不在集合中， 所以可以表示为：. 故答案为：. 10. 已知集合，，其中，全集.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】由，即， 因为，所以，解得， 即， 若“”是“”的必要不充分条件，所以，则， 又，所以（两等号不能同时取得），解得， 所以实数的取值范围. 故答案为： 11. 已知不等式的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】讨论与的大小，从而求出不等式的解集，根据解集中一定有，然后讨论三个整数的可能性，分别求出的取值范围，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 当时，解得，解集为，其中解集中一定有元素， 若三个整数是时，可得，此时解集为空集； 若三个整数是时，，解得； 若三个整数是时，，此时解集为空集； 当时，解得，解集，其中解集中一定有元素， 若三个整数是时，可得，此时解集为空集； 若三个整数是时，，解得； 若三个整数是时，，此时解集为空集， 综上可得，. 故答案为：. 12. 集合有5个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素乘积为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意集合的所有非空子集为可以分成种情况，分别分析种情况中，所有元素乘积，综合即可得答案. 【详解】集合的所有非空子集为可以分成以下几种情况： 含元素的子集共有个，这些子集中所有元素的乘积； 不含元素，含有元素，且含有其他元素的子集共有个； 不含元素，不含元素，但含有其他元素的子集共有个； 其中中除外元素是一一对应的，则乘积互为相反数，故的和为； 只含元素的子集，只有个，此时； 综上所述：所有自己中元素乘积. 故答案为：. 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 已知a，b，，则“”的必要不充分条件可以是下列的选项（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式性质进行推导，结合取值验证可得. 【详解】A选项：取，满足，但，所以不是的必要条件，A错误； B选项：若，，则，所以不是的必要条件，B错误； C选项：若，，则，若，则，则有，所以，是的必要条件； 取，显然满足，但，所以不是的充分条件. 综上，是的必要不充分条件，C正确； D选项：取，显然满足，但，所以不是的充分条件，D错误. 故选：C 14. 如果，那么下列不等式成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于，不妨令，，代入各个选项检验，只有正确，从而得出结论． 【详解】解：由于，不妨令，，可得，，故A不正确． 可得，，，故B不正确． 可得，，，故C不正确． 故选：D． 15. 集合，，，且，，则（　　） A. B. C. D. 不属于，，中的任意一个 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，，可得，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：B. 16. 已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（ ） A. 不存在有序数组，使得 B. 存在唯一有序数组，使得 C. 有且只有两组有序数组，使得 D. 存在无穷多组有序数组，使得 【答案】D 【解析】 【分析】根据，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论． 【详解】由题意不等式的解集为， 即的解集是， 则不等式的解是或，不等式的解集是， 设，，， 所以，， 和是方程的两根， 则，， 又， 所以是的一根， 所以存在无数对，使得． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论． 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 已知R的子集U为一个数集，集合. （1）设，求：集合A的非空真子集个数； （2）设，证明：若，则. 【答案】（1）254 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先分类讨论求出集合A，然后求出集合A的非空真子集个数； （2）结合条件设，将7x变形为，即可证明. 【小问1详解】 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，； 所以，它有8个元素，有个非空真子集； 【小问2详解】 因为，所以设， 所以，得证. 18. 命题：关于的方程有两个相异负根．命题：关于 的不等式对恒成立． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用二次函数的性质求命题为真命题时实数的取值范围； （2）先确定命题成立时实数的取值范围，再分类讨论求解得结果. 【小问1详解】 命题：关于的方程有两个相异负根． 则，解得：. 若命题为真命题，则实数的取值范围为. 【小问2详解】 命题：关于的不等式对恒成立, ，解得：. 若这两个命题中，有且仅有一个是真命题， 若真假，，解得：， 若真假，，解得：， 综上：实数的取值范围为：. 19. 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段（如图所示），分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，当车速为v（单位：m/s），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且）. 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 距离 （1）请写出报警距离d（单位：m）与车速v（单位：m/s）之间的表达式；若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以速度v行驶，求：当时，汽车撞上固定障碍物的最短时间t （2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80m，则：车辆设计的最高速应小于多少km/h. 【答案】（1），最短时间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，结合距离、速度、时间的关系，利用基本不等式进行求解即可； （2）由题意得到不等式，结合常变量分离法、一元二次不等式的解法进行求解即可. 【小问1详解】 ， 当时，， 因此有， 即，当且仅当时取等号， 即当时，汽车撞上固定障碍物最短时间为； 【小问2详解】 当时， 当时，满足题意， 当时， 在时恒成立， 由， 于是有， 而，于是有， 综上所述：，而， 所以车辆设计的最高速应小于. 20. 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题. 设集合________，集合； （1）若集合B的子集有2个，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合子集个数与元素个数的关系和一元二次方程的实数根的个数求解即可. （2）结合，求解即可. 【小问1详解】 因为集合B的子集有2个，则集合B的元素有一个,则方程有两个相等的实数解， 则 解得. 【小问2详解】 若选①，则，，因为， 则且方程的解为或， 则则a的取值范围为. 若选②，因为，则 且方程的解为或， 则则a的取值范围为. 21. 已知集合具有性质：对任意，与至少一个属于. （1）分别判断集合与是否具有性质P，并说明理由； （2）具有性质P，当时，求：集合A； （3）当时，请直接写出的值. 【答案】（1）集合C具有性质P，集合D不具有性质P，理由见解析 （2） （3） 【解析】 分析】（1）对于集合中，结合性质，逐项判定，可得证得具有性质；对于集合，集合且，证得集合不具备性质. （2）根据题，求得，再由，得到，结合集合元素的互异性得到，求得，即可求解； （3）根据题意，求得，且，进而求得，得到，即可求解. 【小问1详解】 解：对于集合中， 由， 所以集合具有性质； 对于集合中，因为，， 所以集合不具备性质. 【小问2详解】 解：因为且集合具备性质， 又由，所以，，所以， 又因为，所以，则， 根据集合元素的互异性知，， 因为，所以， 所以集合. 【小问3详解】 解：因为集合具有性质： 由，则，所以， 又因为，所以， 因为，所以，则， 所以， 可得， 即， 所以， 当时，可得. 【点睛】方法点睛：与集合新定义有关的问题的求解策略 1、通过给出一个新的集合定义或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决； 3、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$