1.4二次函数的应用 （第一课时）课件-2024-2025学年浙教版数学九年级上册

1.4二次函数的应用（第一课时） 温故 实际问题 抽象 归纳 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 图象 性质 二次函数的图象是一条顶点坐标为 的抛物线，当a＞0(a＜0)时，抛物线开口向上（向下），顶点是抛物线上的最低点（最高点）. 实际问题 的答案 探索 【问题1】如图，在一面靠墙的空地上用长为12 m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，怎样设计能使花圃的面积最大？ 怎么设未知数呢？ 解：设AB长为x m，则 x x x 12﹣3x 矩形面积最大值问题 S=x(12－3x) x 解：设BC长为x m，则 对比 探索 【问题1】如图，在一面靠墙的空地上用长为12 m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，怎样设计能使花圃的面积最大？ 如何确定自变量取值范围？ 解：设AB长为x m，则 x x x 12﹣3x 矩形面积最大值问题 S=x(12－3x) x＞0， 12－3x＞0， ∴0＜x＜4. ∵a=－3＜0，b=12，c=0， ∴ =－3(x－2)2＋12. ∴当x=2时，S最大值=12. 如何求最大面积？ S=x(12－3x). (0＜x＜4) S=－3x(x－4) y=a(x﹣x1)(x﹣x2) ∴与x轴的交点为(0，0)，(4，0)， ∴ 探索 如何求最大面积？ 答：当AB=2米，BC=6米时，花圃的面积最大，最大面积为12平方米. 【归纳】通过配方或公式或图象，求最值及其相应自变量的值. 探索 【问题1】如图，在一面靠墙的空地上用长为12 m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，怎样设计能使花圃的面积最大？ x x x 解：设AB长为x m，则 12﹣3x x＞0， 0＜12－3x≤3， ∴3≤x＜4. S=x(12－3x) 当自变量范围发生变化时，面积最值是否会发生变化？ 若墙的长度为3 m，靠墙这一边不超过墙，又该如何设计面积最大的花圃呢？ 探索 S=x(12－3x) =－3x2＋12x ∴ 3≤x＜4 ∵a=－3＜0，当3≤x＜4时， y随x的增大而减小， ∴当x=3时，S最大值=3×(12－9)=9. 答：当AB=3米，BC=3米时，花圃的面积最大，最大面积为9平方米. 【发现】最值不一定会在顶点取得，必须在自变量的取值范围内取得. (3≤x＜4) 当自变量范围发生变化时，面积最值是否会发生变化？ 归纳 实际问题 二次函数 最值问题 二次函数 图象与性质 实际问题 的答案 建模 建立函数模型解决最值问题的基本步骤： （1）理解问题情境，厘清涉及哪些变量； （2）选择自变量； （3）利用问题情境中蕴含的数量关系列函数表达式，并确定自变量的取值范围； （4）求函数的最大值或最小值和相应自变量的值. 注意：求得的最值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 问题解决的步骤：理解问题—制订计划—执行计划—回 顾. 归纳 巩固 【问题2】图1中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形（图2）.如果制作一个窗户边框的材料的总长度为6m，那么如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大（结果精确到0.01m）？ 图1 图2 单位：m （1）理解问题情境，厘清变量； 变量： 半圆的半径 矩形的边长 透光面积 巩固 x y 解：设半圆的半径为x(m)，窗框矩形部分的另一边长为y(m)，则 x （2）选择自变量； x＞0， y＞0， （3）列函数表达式并确定自变量的取值范围； 2x πx 巩固 x y x （4）在自变量的取值范围内求出最值及其相应自变量的值； ∴ ∴ 答：当窗户半圆的半径约为0.35 m，窗框矩形部分的另一边长约为1.23 m时，窗户的透光面积最大，最大值约为1.05 m2. 【归纳】合理选择自变量. 巩固 【练习】如图，B船位于A船正东26 km处. 现在A，B两船同时出发，A船以12 km/h的速度朝正北方向行驶，B船以5 km/h的速度朝正西方向行驶. 何时两船相距最近？最近距离是多少？ 解：设经过t(h)后，A，B两船分别到达A′,B′处，则 距离最小值问题 12t t＞0 巩固 距离最小值问题 12t (t＞0) 答：经过 h，两船之间的距离最近，最近距离为24 km. 【归纳】化归为二次函数最值. 建构 实际问题 面积最大问题 距离最小问题 二次函数最值 抽象、建模、化归 实际问题 的答案 利用二次函数的图象和性质求解 自变量范围 问题解决的步骤 同学们，再见！ $$