专题课堂(三十一) 实际问题与二次函数（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 广东专用）

专题课堂(三十一)　实际问题与二次函数 数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 利用二次函数解决实际问题的一般步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系，并将已知条件转化为点的坐标； (2)列出二次函数的表达式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； (3)在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值． 1. 如图，某校要用20 m长的篱笆，一面靠墙(墙长10 m)，围成一个矩形花圃，设矩形花圃垂直于墙的一边长为x m，花圃的面积为y m2. (1)求y与x的函数关系式； (2)当矩形花圃的面积为48 m2时，求x的值. 解：(1)由题意得y＝x(20－2x)＝－2x2＋20x　(2)当y＝48时，即－2x2＋20x＝48，解得x＝4或x＝6，经过检验x＝4不合题意，所以x＝6 2. 如图是抛物线形拱桥的剖面图，拱底宽12 m，拱高8 m，设计警戒水位为6 m，当拱桥内水位达到警戒水位时，求拱桥内的水面宽度． 解：如图建立平面直角坐标系，设抛物线的表达式为y＝ax2＋c，由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(36a＋c＝0，,c＝8，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(2,9)，,c＝8，)) ∴y＝－ eq \f(2,9) x2＋8；当y＝6时，即6＝－ eq \f(2,9) x2＋8，解得x＝±3，∴拱桥内的水面宽度为6 m 3. (2022·兰州)掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图①是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为 eq \f(5,3) m，当水平距离为3 m时，实心球行进至最高点3 m处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准(女生)，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70 m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 解：(1)根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a(x－3)2＋3，把(0， eq \f(5,3) )代入表达式得： eq \f(5,3) ＝a(0－3)2＋3，解得a＝－ eq \f(4,27) ，∴y关于x的函数表达式为y＝－ eq \f(4,27) (x－3)2＋3　 (2)该女生在此项考试中是得满分，理由：令y＝0，则－ eq \f(4,27) (x－3)2＋3＝0，解得x1＝7.5，x2＝－1.5(舍去)，∵7.5>6.70，∴该女生在此项考试中是得满分 4. (2022·宁波)为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x(2≤x≤8，且x为整数)构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克． (1)求y关于x的函数表达式； (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 解：(1)∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，∴y＝4－0.5(x－2)＝－0.5x＋5.答：y关于x的函数表达式为y＝－0.5x＋5(2≤x≤8，且x为整数)　 (2)设每平方米小番茄产量为W千克，根据题意得W＝x(－0.5x＋5)＝－0.5(x－5)2＋12.5，∵－0.5<0，∴当x＝5时，W有最大值，最大值为12.5.答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克 5. (2022·青岛)李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱． (1)请求出这种水果批发价y(元/千克)与购进数量x(箱)之间的函数关系式； (2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)根据题意得：y＝8.2－0.2(x－1)＝－0.2x＋8.4.∴这种水果批发价y(元/千克)与购进数量x(箱)之间的函数关系式为y＝－0.2x＋8.4 (2)设李大爷每天所获利润是w元，由题意得：w＝[12－0.5(x－1)－(－0.2x＋8.4)]×10x＝－3x2＋41x＝－3(x－ eq \f(41,6) )2＋ eq \f(1681,12) ，∴－3<0，x为正整数，且|6－ eq \f(41,6) |>|7－ eq \f(41,6) |，∴x＝7时，w取最大值，最大值为－3×(7－ eq \f(41,6) )2＋ eq \f(1681,12) ＝140(元).答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润是140元 6. (广东中考)端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． (1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价； (2)设猪肉粽每盒售价x元(50≤x≤65)，y表示该商家每天销售猪肉粽的利润(单位：元)，求y关于x的函数表达式并求最大利润． 解：(1)设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价(a－10)元，则 eq \f(8000,a) ＝ eq \f(6000,a－10) ，解得a＝40，经检验a＝40是方程的解，∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元　 (2)由题意得当猪肉粽每盒售价x元(50≤x≤65)时，每天可售[100－2(x－50)]盒，∴y＝(x－40)[100－2(x－50)]＝－2x2＋280x－8000，配方，得y＝－2(x－70)2＋1800，∵x＜70时，y随x的增大而增大，∴当x＝65时，y有最大值，最大值为：－2(65－70)2＋1800＝1750(元).答：y关于x的函数表达式为y＝－2x2＋280x－8000(50≤x≤65)，且最大利润为1750元 7. (2023·清远月考)某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y(单位：千克)和每千克的售价x(单位：元)满足一次函数关系(如图所示)，其中50≤x≤80. (1)求y关于x的函数表达式； (2)若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)设y＝kx＋b，将(50，100)，(80，40)代入，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50k＋b＝100，,80k＋b＝40，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝200，)) ∴y＝－2x＋200 (50≤x≤80)　 (2)设电商每天获得的利润为w元，则w＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8000＝－2(x－70)2＋1800，∵－2＜0，且对称轴是直线x＝70，又∵50≤x≤80，∴当x＝70时，w取得最大值为1800，答：该电商将该商品的售价定为70元时才能使获得的利润最大，最大利润是1800元 $$