第一章 单元复习(七) 直角三角形的边角关系（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 广东专用）

单元复习(七)　直角三角形的边角关系 数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 a2＋b2＝c2 ∠A＋∠B＝90° 60° 4 24.2 D A D C 4 50 m 1. 锐角三角函数的定义及相关计算 (1)直角三角形中的边角关系： 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°： ①三边关系：____________________；(勾股定理) ②两锐角关系：____________________； eq \f(b,c) eq \f(a,c) eq \f(a,b) ③边角关系： sin A＝_________，sin B＝_________， cos A＝_________，cos B＝_________， tan A＝_________，tan B＝_________； (2)特殊角(30°，45°，60°)的三角函数值． eq \f(b,c) eq \f(a,c) eq \f(b,a) eq \f(3,4) 【例 1】 (1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A＝__________，cos A＝__________，tan A＝__________； (2)计算： eq \f(2sin260°－cos60°,tan260°＋4cos45°) ＝________________． eq \f(3,5) 3－2 eq \r(2) eq \f(4,5) 3. 解直角三角形 (1)已知一边一角解直角三角形； (2)已知两边解直角三角形． 注意：在作辅助线构造直角三角形时，尽量不要破坏特殊角． 4. 【例2】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则∠B＝________，AB＝________，AC＝________. 2 eq \r(3) 5. 解直角三角形的应用 (1)与仰角、俯角相关； (2)与坡角、坡度相关； (3)与方位角相关． 6. 【例3】 如图，建筑物BC上有一高为8 m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物BC的高约为__________m．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53≈1.33) 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则sin A的值是( ) A. eq \f(4,3) B． eq \f(3,4) C． eq \f(3,5) D． eq \f(4,5) 8. 如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则tan A＝( ) A. eq \f(4,3) B． eq \f(4,5) C． eq \f(3,5) D． eq \f(3,4) 9. (2022·广州期中)如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是( ) 　　　　　　　　　　　　　 A. eq \f(3,4) B． eq \f(4,3) C． eq \f(3,5) D． eq \f(4,5) 10. (2022·沈阳)如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT(PT与河岸PQ垂直)，测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝α，则河宽PT的长为( ) A.m sin α米　 B．m cos α米 C．m tan α米 D． eq \f(m,tan α) 米 11. 已知△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AB＝15，则cos B的值为__________． 12. (2022·扬州)在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若b2＝ac，则sin A的值为_____________． eq \f(4,5) eq \f(\r(5)－1,2) 13. (2022·珠海期末)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，sin B＝ eq \f(4,5) ，则AC＝________. 14. (2022·柳州)如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sin α＝ eq \f(3,5) ，堤坝高BC＝30 m，则迎水坡面AB的长度为__________. 15. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝ eq \r(3) ，解这个直角三角形． 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝ eq \r(3) ，∴AB＝2BC＝2 eq \r(3) ，∠B＝90°－∠A＝60°，∵tan A＝ eq \f(BC,AC) ，即 eq \f(\r(3),3) ＝ eq \f(\r(3),AC) ，∴AC＝3，∴∠B＝60°，AC＝3，AB＝2 eq \r(3) 16. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝5，tan ∠ABC＝ eq \f(3,4) ，求边AC的长． 解：过点A作AE⊥BC于点E，在Rt△ABE中，tan ∠ABC＝ eq \f(AE,BE) ＝ eq \f(3,4) ，AB＝5，∴AE＝3，BE＝4，∴CE＝BC－BE＝5－4＝1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC＝ eq \r(32＋12) ＝ eq \r(10) 17. (2022·河南)开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》造的，拂云阁是园内最高的建筑，某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15 m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5 m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度(结果精确到1 m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67). 解：延长EF交DC于点H，由题意得：∠DHF＝90°，EF＝AB＝15米，CH＝BF＝AE＝1.5米，设FH＝x米，∴EH＝EF＋FH＝(15＋x)米，在Rt△DFH中，∠DFH＝45°，∴DH＝FH·tan45°＝x(米)，在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，∴tan34°＝ eq \f(DH,EH) ＝ eq \f(x,x＋15) ≈0.67，∴x≈30.5，经检验：x≈30.5是原方程的根，∴DC＝DH＋CH＝30.5＋1.5＝32(米)，∴拂云阁DC的高度约为32米 18. (2022·广安)八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37°方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65°方向上，求菜园与果园之间的距离．(结果保留整数．参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 解：过点D作DH⊥AB于点H，过点D作DG⊥BC于点G，如图所示，则四边形GDHB是矩形，∴GD＝BH，DH＝GB，根据题意可知，CD＝300米，∠CDG＝37°，∴DG＝CD·cos37°≈300×0.80＝240(米)，CG＝CD·sin37°≈300×0.60＝180(米)，∴HB＝240米，∵AB＝450米，∠DAH＝65°，∴AH＝210米，∴DH＝AH·tan65°≈210×2.14＝449.4(米)，∴BC＝CG＋BG＝180＋449.4≈629(米)，∴菜园与果园之间的距离约为629米 $$