第一章 5 三角函数的应用（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学下册（北师大版 广东专用）

5　三角函数的应用 数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 30° 70° 2400 北偏东30° 南偏西54° 1. 仰角与俯角： (1)抬头看时，视线与水平线的夹角叫仰角，图中人眼看点A的仰角＝__________； (2)低头看时，视线与水平线的夹角叫俯角，图中人眼看点B的俯角＝__________． 2. 如图所示，飞机于空中A处探测地面B处，俯角α＝30°，飞行高度AC＝1200 m，那么飞机到目标B的距离AB为____________m. 3. 方向角：如题4图，在平面上过观测点O，作一条水平线(向右为东)和一条铅垂线(向上为北)，则从点O出发的视线与铅垂线(南北方向线)的夹角，叫做点O的方向角(或称为象限角). 4. 如图， 点A的方向角为________________， 点B的方向角为________________． 【典例导引】 知识点：三角函数应用问题 5. 【例1】 小晴同学想运用所学知识在自家阳台测对面大楼的高度．如图，她利用自制的测角仪测得该大楼顶部的仰角为45°，底部的俯角为38°；又用绳子测得测角仪距地面的高度AB为31.6 m．求该大楼的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78) 解：过点A作AH⊥CD于点H，则四边形ABDH是矩形，∴HD＝AB＝31.6 m，在Rt△ADH中，∠HAD＝38°，tan ∠HAD＝ eq \f(HD,AH) ，∴AH＝ eq \f(HD,tan ∠HAD) ＝ eq \f(31.6,tan 38°) ≈ eq \f(31.6,0.78) ≈40.51(m)，在Rt△ACH中，∠CAH＝45°，∴CH＝AH＝40.51 m，∴CD＝CH＋HD＝40.51＋31.6≈72.1(m)， 答：该大楼的高度约为72.1 m 【变式训练】 6. 如图，为测量建筑物CD的高度，在A点测得建筑物顶部D点的仰角为22°，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为58°(A，B，C三点在一条直线上)，求建筑物CD的高度．(结果保留整数，参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40，sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60) 解：在Rt△BDC中，∵tan ∠DBC＝ eq \f(CD,BC) ，∴BC≈ eq \f(CD,1.60) ，在Rt△ACD中，∵tan ∠DAC＝ eq \f(CD,AC) ，∴AC≈ eq \f(CD,0.40) ，∴AB＝AC－BC≈ eq \f(CD,0.40) － eq \f(CD,1.60) ＝30，解得CD＝16，建筑物CD的高度为16米 7. 【例2】 如图，海中一渔船在A处，且与小岛C相距70 n mile，若该渔船由西向东航行30 n mile，到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上．求该渔船此时与小岛C之间的距离． 解：过点C作CD⊥AB于点D，由题意得∠BCD＝30°，设BC＝x n mile，则在Rt△BCD中，BD＝BC·sin 30°＝ eq \f(1,2) x，CD＝BC·cos 30°＝ eq \f(\r(3),2) x，∴AD＝30＋ eq \f(1,2) x，∵AD2＋CD2＝AC2，即(30＋ eq \f(1,2) x)2＋( eq \f(\r(3),2) x)2＝702，解得x＝50(负值已舍去).答：渔船此时与C岛之间的距离为50 n mile 8. (2022·邵阳)如图，一艘轮船从点A处以30 km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1 h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上，已知在灯塔C的四周40 km内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．(提示： eq \r(2) ≈1.414， eq \r(3) ≈1.732) 解：安全，理由如下：过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，由题意可得，∠CAD＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－45°＝45°，AB＝30×1＝30(km)，在Rt△CBD中，设CD＝BD＝x km，则AD＝(x＋30)km，在Rt△ACD中，tan 30°＝ eq \f(CD,AD) ，即 eq \f(x,x＋30) ＝ eq \f(\r(3),3) ，解得x＝15 eq \r(3) ＋15≈40.98，∵40.98>40，∴这艘轮船继续向正东方向航行是安全的 A组　夯实基础 9. (2022·深圳期中)某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图(如图)，点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，求大桥BC的长度．(结果精确到1米，参考数据：sin 83°≈0.99，cos 83°≈0.12，tan 83°≈8.14) 解：在Rt△ABC中，由题意，得AC＝40米，∠A＝83°，∵tan A＝ eq \f(BC,AC) ，∴BC＝tan A·AC≈8.14×40≈326(米).答：大桥BC的长度约为326米 10. (2022·天津)如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔BC的高度为32 m，求这座山AB的高度．(结果取整数．参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90) 解：设AP＝x米，在Rt△APB中，∠APB＝35°，∴AB＝AP·tan 35°≈0.70x(米)，∵BC＝32米，∴AC＝AB＋BC＝(32＋0.7x)米，在Rt△APC中，∠APC＝42°，tan42°＝ eq \f(AC,AP) ＝ eq \f(0.7x＋32,x) ≈0.9，∴x＝160，经检验：x＝160是原方程的根，∴AB＝0.7x＝112(米)，∴这座山AB的高度约为112米 B组　能力提升 11. (2022·郴州)如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20 m，背水坡BC的坡度为i1＝1∶1.为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1∶ eq \r(3) ，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．(参考数据： eq \r(2) ≈1.41， eq \r(3) ≈1.73.结果精确到0.1 m) 解：在Rt△BCD中，∵BC的坡度为i1＝1∶1，∴ eq \f(CD,BD) ＝1，∴CD＝BD＝20米，在Rt△ACD中，∵AC的坡度为i2＝1∶ eq \r(3) ，∴ eq \f(CD,AD) ＝ eq \f(1,\r(3)) ，∴AD＝ eq \r(3) CD＝20 eq \r(3) 米，∴AB＝AD－BD＝20 eq \r(3) －20≈14.6(米)，∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米 12. (做一做变式)某商场准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式．如图，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10 m，坡角∠ABD为30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为16°，请你计算商场的层高AD和改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 16°≈0.28，cos 16°≈0.96，tan 16°≈0.29) 解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，∴AD＝ eq \f(1,2) AB＝ eq \f(1,2) ×10＝5(m)，在Rt△ACD中，sin C＝ eq \f(AD,AC) ，∴AC＝ eq \f(AD,sin 16°) ≈ eq \f(5,0.28) ≈17.9(m).答：商场的层高AD为5 m，改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为17.9 m C组　核心素养 13. (2022·辽宁)如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向．求此时货轮与A港口的距离．(结果取整数，参考数据：sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192， eq \r(2) ≈1.414) 解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，由题意得：∠BAC＝25°＋25°＝50°，∠BCA＝70°－25°＝45°，在Rt△ABD中，AB＝100海里，∴AD＝AB·cos 50°≈100×0.643＝64.3(海里)，BD＝AB·sin 50°≈100×0.766＝76.6(海里)，在Rt△BDC中，CD＝ eq \f(BD,tan 45°) ＝76.6(海里)，∴AC＝AD＋CD＝64.3＋76.6≈141(海里)，∴此时货轮与A港口的距离约为141海里 14. (2022·内江)如图所示，九(1)班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A，B之间的距离，他们在河边与AB平行的直线l上取相距60 m的C，D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°. (1)求河的宽度； (2)求古树A，B之间的距离．(结果保留根号) 解：(1)过点A作AE⊥l，垂足为E，设CE＝x米，∵CD＝60米，∴DE＝CE＋CD＝(x＋60)米，∠ACE＝180°－∠ACB－∠BCD＝45°，在Rt△AEC中，AE＝CE·tan45°＝x(米)，在Rt△ADE中，tan30°＝ eq \f(AE,ED) ，即 eq \f(x,x＋60) ＝ eq \f(\r(3),3) ，解得x＝30 eq \r(3) ＋30，经检验，x＝30 eq \r(3) ＋30是原方程的根，∴AE＝(30 eq \r(3) ＋30)米，即河的宽度为(30 eq \r(3) ＋30)米　 　 (2)过点B作BF⊥l，垂足为F，则CE＝AE＝BF＝(30 eq \r(3) ＋30)米，AB＝EF，∵∠BCD＝120°，∴∠BCF＝60°，在Rt△BCF中，CF＝ eq \f(BF,tan 60°) ＝ eq \f(30\r(3)＋30,\r(3)) ＝(30＋10 eq \r(3) )米，∴AB＝EF＝CE－CF＝30 eq \r(3) ＋30－(30＋10 eq \r(3) )＝20 eq \r(3) (米)，∴古树A，B之间的距离为20 eq \r(3) 米 $$