专题课堂(十六) 三角形相似的基本类型（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 广东专用）

数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 专题课堂(十六)　三角形相似的基本类型 1. 相似三角形是全等三角形的拔高，是中考和学校考试的难点，它经常和全等三角形，勾股定理，面积法，等积变换，函数和圆结合起来在综合题中出现． 2. 关于相似三角形的基本模型，其中包括A字型，X字型，双垂型，K字型和旋转型等．如： 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要添加适当辅助线，就能构造出基本图形，从而使问题得以解决． 类型之一　A字型 1. 如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ACB＝∠ADC.求证：△ABC∽△ACD. 证明：在△ABC与△ACD中，∵∠ACB＝∠ADC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD 2. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝5，AB＝8，AE＝4，AC＝10.求证：△ADE∽△ACB. 解：∵AD＝5，AB＝8，AE＝4，AC＝10，∴ eq \f(AD,AC) ＝ eq \f(AE,AB) ＝ eq \f(1,2) ，又∵∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB 证明：∵AC，BD相交于点O，∴∠AOB＝∠DOC，又∵∠ABO＝∠C，∴△AOB∽△DOC 类型之二　X字型 3. 如图，AC，BD相交于点O，且∠ABO＝∠C.求证：△AOB∽△DOC. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，BE∥CD，∴∠E＝∠DCF，∴△EBC∽△CDF 4. 如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F.求证：△EBC∽△CDF. 类型之三　双垂型 5. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，且AC＝2，CD＝ eq \r(3) ，CB＝2 eq \r(3) ，AD＝1，BD＝3，试找出图中各对相似的三角形，并指出它们的相似比． 解： 如图，∵CD⊥AB，∴∠3＝∠4＝90°，∴∠2＋∠A＝90°，∠1＋∠B＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠ACB＝∠3＝∠4.∴∠1＝∠A，∠2＝∠B.∴△ADC∽△CDB，△CDB∽△ACB，△ADC∽△ACB.∴图中相似的三角形有3对，∵AC＝2，CD＝ eq \r(3) ，CB＝2 eq \r(3) ，AD＝1，BD＝3，∴其相似比分别为1∶ eq \r(3) ， eq \r(3) ∶2，1∶2 6. 如图，在四边形ABDC中，AB∥CD，∠A＝∠C＝90°，AC＝CD，AB＝ eq \f(1,4) CD，E是AC的中点，求证：△ABE∽△CED. 证明：∵AC＝CD，E是AC的中点，∴AE＝EC＝ eq \f(1,2) CD，∵AB＝ eq \f(1,4) CD，∴ eq \f(AB,EC) ＝ eq \f(AE,CD) ＝ eq \f(1,2) ，∵∠A＝∠C，∴△ABE∽△CED 类型之四　K字型 7. 如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG. 证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BEF＋∠BFE＝90°，∵∠EFG＝90°，∴∠BFE＋∠CFG＝90°，∴∠BEF＝∠CFG，∴△EBF∽△FCG 8. 如图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F在CD上，且CD＝4DF，连接EF，BE.求证：△ABE∽△DEF. 证明：设AB＝4k，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4k，∠A＝∠D＝90°，∵CD＝4DF，点E为AD的中点，∴DF＝k，AE＝ED＝2k，∴ eq \f(AE,DF) ＝ eq \f(AB,ED) ＝2，又∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABE∽△DEF 类型之五　旋转型 9. 如图，在△ABC与△ADE中，AB·ED＝AE·BC，∠B＝∠E.求证：△ABC∽△AED. 证明：∵AB·ED＝AE·BC，∴ eq \f(AB,AE) ＝ eq \f(BC,ED) .∵∠B＝∠E，∴△ABC∽△AED 10. 如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE.求证： (1)△BAC∽△DAE； (2)△BAD∽△CAE. 证明：(1)∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE.∴△BAC∽△DAE (2)∵△BAC∽△DAE，∴ eq \f(AB,AD) ＝ eq \f(AC,AE) ，∴ eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(AD,AE) ，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE $$