专题课堂(十五) 比例的性质与平行线分线段成比例（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 广东专用）

数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 专题课堂(十五)　比例的性质与平行线分线段成比例 1. 比例的性质：(1)如果 eq \f(a,b) ＝ eq \f(c,d) (b，d都不为0)，那么ad＝bc.如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么 eq \f(a,b) ＝ eq \f(c,d) ；(2)如果 eq \f(a,b) ＝ eq \f(c,d) ＝…＝ eq \f(m,n) (b＋d＋…＋n≠0)，那么 eq \f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n) ＝ eq \f(a,b) ；(3)合比性质：如果 eq \f(a,b) ＝ eq \f(c,d) ，那么 eq \f(a±b,b) ＝ eq \f(c±d,d) . 2. 平行线分线段成比例：(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；(2)平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例． 1. 已知x∶y∶z＝2∶3∶4，求： (1) eq \f(x＋y,z) 的值； (2)若x＋y＋z＝18，求x，y，z. 解：设x＝2k，y＝3k，z＝4k.(1) eq \f(x＋y,z) ＝ eq \f(2k＋3k,4k) ＝ eq \f(5,4) (2)∵x＋y＋z＝18，∴2k＋3k＋4k＝18，解得k＝2，∴x＝4，y＝6，z＝8 2. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC. (1)若AD＝5，DB＝6，EC＝12，求AE的长； (2)若AB＝10，AD＝4，AE＝6，求EC的长． 解：(1)∵DE∥BC，∴ eq \f(AD,DB) ＝ eq \f(AE,EC) ，即 eq \f(5,6) ＝ eq \f(AE,12) ，解得AE＝10 (2)∵DE∥BC，∴ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(AE,AC) ，即 eq \f(4,10) ＝ eq \f(6,AC) ，解得AC＝15，∴EC＝AC－AE＝9 解：∵DG∥EC，∴ eq \f(AD,AE) ＝ eq \f(AG,AC) ，∵EG∥BC，∴ eq \f(AG,AC) ＝ eq \f(AE,AB) ，∴ eq \f(AE,AB) ＝ eq \f(AD,AE) 3. 如图，在△ABC中，DG∥EC，EG∥BC，求证： eq \f(AE,AB) ＝ eq \f(AD,AE) . 解：过点O作OG∥BC交AC于点G，∵O为BD的中点，∴DG＝CG，∵AD∶DC＝1∶2，∴AD＝DG＝GC，∵OG∥BC，∴ eq \f(OG,EC) ＝ eq \f(AG,AC) ＝ eq \f(2,3) ， eq \f(OG,BC) ＝ eq \f(1,2) ，∴EC＝ eq \f(3,2) OG，BC＝2OG，∴BE∶EC＝(BC－EC)∶EC＝(2OG－ eq \f(3,2) OG)∶ eq \f(3,2) OG＝1∶3 4. 如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD∶DC＝1∶2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，求BE∶EC的值． 解：∵四边形ABCD为正方形，∴BF∥CD，∴ eq \f(BF,CD) ＝ eq \f(EF,ED) ，∵FG∥BE，∴GF∥AD，∴ eq \f(GF,AD) ＝ eq \f(EF,ED) ，∴ eq \f(GF,AD) ＝ eq \f(BF,CD) ，∵AD＝CD，∴GF＝BF 5. (2022·广州月考)如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过点F作FG∥BE交AE于点G，求证：GF＝FB. $$