专题课堂(九) 一元二次方程根与系数的关系（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 广东专用）

数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 专题课堂(九)　一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系，又名韦达定理，在ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，方程的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝－ eq \f(b,a) ，x1x2＝ eq \f(c,a) ，它是中学数学方程中根与系数的重要关系，在培养数学思维、模型思想、创新意识、运用知识解决问题能力等方面有着十分重要的意义． 类型之一　利用根与系数的关系求代数式的值 1. 方程3x2－x－1＝0的两根是x1，x2，求下列式子的值． (1) eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) ； (2)(x1－1)(x2－1). 解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝ eq \f(1,3) ，x1x2＝－ eq \f(1,3) .(1) eq \f(1,x1) ＋ eq \f(1,x2) ＝ eq \f(x1＋x2,x1x2) ＝－1　(2)(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝－ eq \f(1,3) － eq \f(1,3) ＋1＝ eq \f(1,3) 2. 方程2x2＋3x＝－1的根为x1，x2，求下列各式的值. (1)x12＋x22; (2)2x12＋2x1－x2＋3x1x2. 解：∵方程2x2＋3x＝－1的根为x1，x2，∴x1＋x2＝－ eq \f(3,2) ，x1x2＝ eq \f(1,2) ，2x12＋3x1＝－1.(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝ eq \f(9,4) －1＝ eq \f(5,4) 　(2)2x12＋2x1－x2＋3x1x2＝2x12＋3x1－(x1＋x2)＋3x1x2＝－1＋ eq \f(3,2) ＋ eq \f(3,2) ＝2 类型之二　利用判别式、根与系数的关系求字母的取值范围 3. 已知关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值． 解：(1)根据题意得Δ＝(－4)2－4(－2m＋5)＞0，解得m＞ eq \f(1,2) 　(2)设x1，x2是方程的两根，根据题意得x1＋x2＝4＞0，∴x1x2＝－2m＋5＞0，解得m＜ eq \f(5,2) ，由(1)知m> eq \f(1,2) ，所以m的范围为 eq \f(1,2) ＜m＜ eq \f(5,2) ，所以m＝1或m＝2(不符合条件，舍去)，所以整数m的值为1 4. 已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0. (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根x1，x2，且x1＋x2＋3x1x2＝1，求m的值． 解：(1)∵Δ＝(2m＋1)2－4×1×(m－2)＝4m2＋4m＋1－4m＋8＝4m2＋9＞0，∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根　(2)由根与系数的关系得出x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m－2，由x1＋x2＋3x1x2＝1，得－(2m＋1)＋3(m－2)＝1，解得m＝8 5. 已知关于x的一元二次方程x2－6x＋2m－1＝0有x1，x2两实数根． (1)若x1＝1，求x2及m的值； (2)是否存在实数m，满足(x1－1)(x2－1)＝ eq \f(6,m－5) ？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)根据题意得Δ＝(－6)2－4(2m－1)≥0，解得m≤5，x1＋x2＝6，x1x2＝2m－1，∵x1＝1，∴1＋x2＝6，x2＝2m－1，∴x2＝5，m＝3　(2)存在．∵(x1－1)(x2－1)＝ eq \f(6,m－5) ，∴x1x2－(x1＋x2)＋1＝ eq \f(6,m－5) ，即2m－1－6＋1＝ eq \f(6,m－5) ，整理得m2－8m＋12＝0，解得m1＝2，m2＝6，∵m≤5且m≠5，∴m＝2 $$