第一章 单元复习(一) 特殊平行四边形（作业课件）-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学上册（北师大版 广东专用）

数学 九年级全册 北师版 原创新课堂 单元复习(一)　特殊平行四边形 1. 菱形的性质：四条边相等；对角线互相垂直． 判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形． 2. 【例1】 菱形的对角线长分别为6和8，则菱形的周长是______，面积是______． 20 24 3. 矩形的性质：四个角都是直角；对角线相等；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 判定：对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形． 4. 【例2】 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，BC＝4，则△AOB的周长为_______． 8 5. 正方形的性质：四个角都是直角，四条边相等；对角线相等且互相垂直平分． 判定：对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形． 6. 【例3】 (2022·河源月考)如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠CBF的度数为________． 75° 7. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝50°，DE⊥AB于点E.则∠BDE的度数为( ) 　　　　　　　　　　　　　 A．25° B．35° C．40° D．50° A 8. (2022·自贡)如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(－2，5)，则点C的坐标是( ) A．(5，－2)　B．(2，－5) C．(2，5) D．(－2，－5) B 9. (2023·绍关模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为( ) 　　　　　　　　　　　　　 A．1 B．2 C．3 D．4 A 10. 如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，∠BED的角平分线交BC于点F.若AB＝6，BC＝16，则FC的长度为( ) 　　　　　　　　　　　　　 A．4 B．5 C．6 D．7 C 12. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是________________________(写出一个即可). AE＝AF(答案不唯一) 13. 如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形，点E，F分别在线段AB，AD上．若BE＝FD＝2 cm，矩形AEGF的周长为20 cm，则图中阴影部分的面积为______cm2. 【解析】∵矩形AEGF的周长为20 cm，∴AF＋AE＝10 cm，∵AB＝AE＋BE，AD＝AF＋DF，BE＝FD＝2 cm，∴阴影部分的面积＝AB·AD－AE·AF＝(AE＋2)(AF＋2)－AE·AF＝24(cm2)，故答案为：24 24 14. (2022·佛山期末)如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E在CD上，若CE＝3，△ABE的面积为8，则△DBE的周长为____________． 15. (2023·广州月考)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD和CD上的点，且∠ABE＝∠CBF.求证：DE＝DF. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，AB＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠ABE＝∠CBF， ∴△ABE≌△CBF(ASA)， ∴AE＝CF， ∴AD－AE＝CD－CF， ∴DE＝DF 16. 如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：四边形BEDF是菱形． 证明：连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是正方形， ∴BO＝DO，AO＝CO，AC⊥BD， ∵AF＝CE， ∴EO＝FO， ∴四边形BEDF是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形 17. (2022·云南)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°. (1)求证：四边形ABDF是矩形； (2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S. 18. (2022·遵义)将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上． (1)求证：△ADE≌△CDG； (2)若AE＝BE＝2，求BF的长． 【解析】利用三角形的内角和定理可得∠B＝60°，由直角三角形斜边的中线性质定理可得CE＝BE＝2，利用等边三角形的性质可得DE＝BD＝ eq \f(1,2) BE＝ eq \f(1,2) ×2＝1，故选：A 11. (2022·吉林)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝ eq \f(1,4) AC，连接EF.若AC＝10，则EF＝____. eq \f(5,2) 4 eq \r(2) ＋6 【解析】根据正方形的性质，可以得到AB＝AD＝BC，AB⊥AD，再根据△ABE的面积为8，可以得到AB＝AD＝4，故BD＝4 eq \r(2) ，然后根据CE＝3和勾股定理，可得BE＝ eq \r(32＋42) ＝5，∵BC＝CD＝AB＝4，则DE＝CD－CE＝1，∴△DBE的周长＝BD＋DE＋BE＝4 eq \r(2) ＋1＋5＝4 eq \r(2) ＋6，故答案为：4 eq \r(2) ＋6 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE，在△BEA和△FED eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠FDE，,AE＝DE，,∠BEA＝∠FED，)) ∴△BEA≌△FED(ASA)，∴EF＝EB，又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，又∵∠BDF＝90°，∴四边形ABDF是矩形　(2)由(1)得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，∴AF＝ eq \r(AD2－DF2) ＝ eq \r(52－32) ＝4，∴S矩形ABDF＝DF·AF＝3×4＝12，DB＝AF＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3，∴S△BCD＝ eq \f(1,2) BD·CD＝ eq \f(1,2) ×4×3＝6，∴S四边形ABCF＝S矩形ABDF＋S△BCD＝12＋6＝18 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，四边形HEFG是菱形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADB＝∠CDB，∠EHB＝∠GHB，∠ADB－∠EHB＝∠CDB－∠GHB，即∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD，,∠ADE＝∠CDG，,ED＝GD，)) ∴△ADE≌△CDG(SAS)　 (2)过E作EQ⊥DF于Q，则∠EQB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD＝AB＝AE＋BE＝2＋2＝4，∠EBQ＝∠CBD＝45°，∴∠QEB＝45°＝∠EBQ，∴EQ＝BQ，∵BE＝2，∴2EQ2＝22，∴EQ＝BQ＝ eq \r(2) (负数已舍去)，在Rt△DAE中，由勾股定理得：DE＝ eq \r(AD2＋AE2) ＝ eq \r(42＋22) ＝2 eq \r(5) ，∵四边形EFGH是菱形，∴EF＝DE＝2 eq \r(5) ，∴QF＝ eq \r(EF2－EQ2) ＝ eq \r(（2\r(5)）2－（\r(2)）2) ＝3 eq \r(2) ，∴BF＝QF－QB＝3 eq \r(2) － eq \r(2) ＝2 eq \r(2) $$