第一章 特殊平行四边形 单元测试卷-【原创新课堂】2023-2024学年九年级数学上册单元测试（北师大版 广东专用）

第一章《特殊平行四边形》 单元测试卷 (时间：90分钟　　满分：120分) 　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1. 若菱形的一条边长为8 cm，则这个菱形的周长为( A ) A．32 cm B．18 cm C．16 cm D．12 cm 2. 如图，四边形ABCD是菱形，两对角线的长分别为AC＝26 cm，BD＝10 cm，则菱形ABCD的面积是( B ) A．260 cm2 B．130 cm2 C．120 cm2 D．100 cm2 　　　　 3. 在直角三角形中，若斜边上的中线长为6，则斜边长为( C ) A．3 B．6 C．12 D．无法确定 4. 下列命题，是真命题的是( D ) A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．对角线互相平分的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 5. 如图，矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为( D ) A． cm B．2 cm C．2 cm D．4 cm 6. 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，若AE＝AB，则∠EBC的度数为( A ) A．22.5° B．30° C．45° D．67.5° 7. 已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是( B ) A．OA＝OC，OB＝OD B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形 C.当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形 D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形 8. 如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为( C ) A．45° B.60° C.67.5° D.77.5° 　　　　 9. 如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是( D ) A．OB＝CE B．△ACE是直角三角形 C．BC＝AE D．BE＝CE 10. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在第一象限，B，D均在y轴上，AB交x轴于点E，AF⊥x轴，垂足为F.若OE＝3，EF＝1.以下结论正确的个数是( C ) ①OA＝3AF；②AE平分∠OAF；③点C的坐标为(－4，－)；④BD＝6；⑤矩形ABCD的面积为24. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题(本大题5小题，每小题3分，共15分) 11. 如果正方形的对角线长为2，则正方形的面积是__2__． 12. 如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且AB＝BC，请你添加一个适当的条件__AB＝AD(答案不唯一)__，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可) 　　　 13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，则AC＝__10__． 14. “美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FBD＝55°，则∠A＝__110__°. 　　　 15. 如图，将边长为8的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，当两个三角形重叠的面积为15时，平移的距离等于__3或5__． 【解析】设AA′＝x，AC与A′B′相交于点E，判断出△AA′E是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得A′E＝x，再表示出A′D，然后根据平行四边形的面积公式列方程x(8－x)＝15，解得x1＝3，x2＝5，即平移的距离等于3或5.故答案为：3或5 三、解答题(一)(本大题3小题，每小题8分，共24分) 16. 如图，在菱形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.求证：BE＝DF. 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴BE＝DF 17. 如图，▱ABCD的对角线AC平分∠BAD.求证：▱ABCD是菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠ACB＝∠BAC，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形 18. 如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上的点，求证：AE＝CE. 证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE.在△ABE和△CBE中，∴△ABE≌△CBE(SAS)，∴AE＝CE 四、解答题(二)(本大题3小题，每小题9分，共27分) 19. 如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°. (1)请用尺规作图法，在AD上找点F，使AF＝BF；(不要求写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，连接BF，求∠DBF的度数． 解：(1)如图所示，点F即为所求 (2)∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C，∴∠ABC＝150°，∠ABC＋∠C＝180°，∴∠C＝∠A＝30°，∵EF垂直平分线段AB，∴AF＝FB，∴∠A＝∠FBA＝30°，∴∠DBF＝∠ABD－∠FBA＝45° 20. 如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF.连接AE，CD. (1)求证：四边形ABDF是平行四边形； (2)若AE＝AC，求证：AB＝DB. 解：(1)∵EB＝CF，∴EB＋EC＝CF＋EC，∴BC＝EF，∵AB＝DF，AC＝DE，∴△ABC≌△DFE(SSS)，∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形 (2)连接AD交BF于点O，∵四边形ABDF是平行四边形，∴OB＝OF，∵BE＝CF，∴OB－BE＝OF－CF，∴OE＝OC，∵AE＝AC，∴AO⊥EC，∴四边形ABDF是菱形，∴AB＝DB 21. 如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF. (1)求证：四边形BFDE是矩形； (2)已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求▱ABCD的面积． 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB.∵CF＝AE，∴CD－CF＝AB－AE，∴DF＝BE，∴四边形BFDE是平行四边形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四边形BFDE是矩形 (2)∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB，∴∠ADE＝30°，∴AE＝AD＝2，DE＝AE＝2，由(1)知四边形BFDE是矩形，∴BF＝DE＝2，∠ABF＝90°，∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝∠DAB＝30°，∴AB＝BF＝×2＝6，∴▱ABCD的面积＝AB·DE＝6×2＝12 五、解答题(三)(本大题2小题，每小题12分，共24分) 22. 如图，在矩形ABCD中，AD＜2AB，点E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交DC于点F，连接EF. (1)求证：△EGF≌△EDF； (2)若点F是CD的中点，BC＝8，求CD的长． 解：(1)∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，∴∠BGE＝∠A，AE＝GE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠EGF＝∠D＝90°，∵点E是AD的中点，∴EA＝ED，∴EG＝ED，在Rt△EGF与Rt△EDF中，∴Rt△EGF≌Rt△EDF(HL) (2)由(1)知Rt△EGF≌Rt△EDF，∴GF＝DF，∵点F是CD的中点，∴GF＝DF＝CF＝CD，在矩形ABCD中，∠C＝90°，AB＝CD，又由折叠可知AB＝GB，∴GB＝CD，∴BF＝GB＋GF＝CD，在Rt△BCF中，由勾股定理得：(CD)2＝82＋(CD)2，∵CD＞0，∴CD＝4 23. (1)如图①，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，求证：AP＝MN； (2)如图②，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N.求证：EF＝ME＋FN； (3)在(2)的条件下，若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值． 解：(1)过B点作BH∥MN交CD于点H，∵BM∥NH，∴四边形MBHN为平行四边形．∴BH＝MN.∵MN⊥AP，∴BH⊥AP，∴∠BAP＋∠ABH＝90°.又∵∠ABH＋∠CBH＝90°，∴∠BAP＝∠CBH.在△ABP和△BCH中，∠BAP＝∠CBH，AB＝BC，∠ABP＝∠BCH，∴△ABP≌△BCH(ASA)，∴AP＝BH，∴AP＝MN (2)连接FA，FP，FC.∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点，∴FA＝FC.又∵FE垂直平分AP，∴FA＝FP.∴FP＝FC.∴∠FPC＝∠FCP.∵∠FAB＝∠FCP，∴∠FAB＝∠FPC.又∵∠FPC＋∠FPB＝180°，∴∠FAB＋∠FPB＝180°.∴∠ABC＋∠AFP＝180°.∴∠AFP＝90°.∴FE＝AP.又∵AP＝MN，∴ME＋EF＋FN＝AP.∴EF＝ME＋FN (3)连接AC，由(2)知EF＝MN，∵MN＝AP，∴EF＝AP，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AC＝2.当点P和点B重合时，EF最小，最小值＝AP＝AB＝1.当点P和点C重合时，EF最大，最大值＝AP＝AC＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$