第一章 特殊的平行四边形 期末复习检测 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

2025-2026北师大九年级上册第一章特殊的平行四边形期末复习检测 卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共0分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，四边形ABCD是菱形，CD=5,BD=8,AE1BC于点E,则AE的长是() A B.6 c磐 D.12 D G 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,AD/BC,则下列说法错误的是() A.若AC=BD,则四边形ABCD是矩形 B.若BD平分LABC,则四边形ABCD是菱形 C.若AB 1 BC且AC⊥BD,则四边形ABCD是正方形 D.若AB=BC且AC⊥BD,则四边形ABCD是正方形 3.如图，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是AD,BD,BC,CA的中点，若四边形EFGH是矩形，则 四边形ABCD需满足的条件是() A.AB⊥DC B.AC=BD C.AC⊥BD D.AB=DC 4.如图，矩形ABCD中，DE1AC于E,且∠ADE:∠EDC=3:2,则∠BDE的度数为() A.36° B.27° B N 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,BD是对角线，分别以点B,D为圆心，大于BD的长为半径画 弧，两弧分别相交于点M,N,作直线MN分别交AD,BC于点E,F,则AE=() 第1页，共6页 A月 B日 C.1 D 6.如图，三个边长为6c的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点0是其中一个正方形的中心，则重叠部 分（阴影）的面积为() A.9cm2 B.18cm2 C.12cm2 D.24cm2 7.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE1BC于点E,PF⊥CD于点F,连接AP,EF,则下列结 论中，不正确的是() A.AP=EF B.AP⊥EF C.PD=2EC D.BP2+DP2=2AP2 H B 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 8.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH连接EG,BD相交于 点O、BD与HC相交于点P若G0=GP,则方C的值是() 正方形EFGH A.1+V2 B.2+V2 C.5-V2 D 9.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC,BD相交于点O,P是对角线BD上的一动点，且PM⊥AB 于点M,PN⊥AD于点N.有以下结论：①△ABC为等边三角形：②0B=V30A;③LMPN=60°；④PM+ PN=BD.其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图，矩形ABCD中，AB=√3，BC=1,动点E,F分别从点A,C同时出发，以每秒1个单位长度的速 度沿AB,CD向终点B,D运动，过点E,F作直线l,过点A作直线的垂线，垂足为G,则AG的最大值为() A.V3 B号 C.2 D.1 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AD于点E,再分别以点 C,E为圆心，大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F,作射线BF交CD于点G,则CG的长为一· 第2页，共6页 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,D是AB上一点，DE1AC于点E,DF1BC 于点F,连接EF,则EF的最小值为cm. D 第11题图 第12题图 第13题图 13.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点M,N分别是边AD,CD的中点，连接MN,OM. 若MN=3,S娄形ABcD=24,则OM的长为 14.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(-2,0)，点E在边CD上.将△BCE 沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为(O,6),则点E的坐标为一 D B AO 第15题图 第14题图 I5.如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在AB,BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处，若EG⊥CD, BE=4,DG=3,则AE的长为· 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题9分)如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，CE/AD,AE⊥AD,EF1AC. (1)求证：四边形ADCE是矩形： (2)若BC=4,CE=3,求EF的长. 第3页，共6页 17.(本小题9分)如图，在口ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点（不与点A,D重合），EG的延长线与 BC的延长线相交于点F,连接CE,DF. (1)求证：四边形CEDF是平行四边形. (2)填空：若AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°. ①当AE=时，四边形CEDF是矩形： ②当AE=时，四边形CEDF是菱形. 18.(本小题9分)如图，□ABCD的对角线相交于点O,AE1BD,DF1AC.请从下面三个选项中，选择一个 作为条件，使□ABCD是矩形， ①AE=DF;②AF=DE;③BE=CF (1)你添加的条件是_（填写序号），求证：口ABCD是矩形： (②)在(1)的结论下，若E是BO的中点，AB=8,求点E,F之间的距离. 19.(本小题8分)如图，在边长为3的正方形ABCD的外侧，作等腰△ADE,EA=ED=乏若F为BE的中点， 连接AF并延长，与CD相交于点G,求AG的长 B 20.(本小题9分)如图，己知四边形ABCD是正方形，AB=2V2,点E为对角线AC上一动点，连接DE,过点 E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. (1)求证：矩形DEFG是正方形. (2)探究：CE+CG是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 第4页，共6页 21.(本小题10分)请阅读下列材料，并完成相应的任务. 三等分角是古希腊三大几何问题之一.如图1，任意锐角LABC可看作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角， 以B为端点的射线BF交CA于点E,交DA的延长线于点F若EF=2AB,则射线BF是LABC的一条三等分线， 证明：如图2，取EF的中点G,连接AG…。 图1 图2 B 图3 任务：(1)完成材料中的证明过程. (2)如图3，在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与外角∠CBE的平分线相交于点F.若BF=2AC,则LF的度 数为一· 22.(本小题10分)如图，正方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P为平面内一点，且BP1CP过点O作OE1OP 交PB的延长线于点E (1)探究BE与PC之间的数量关系，并说明理由： (2)直接写出BP,CP,OP三者之间存在的关系. 第5页，共6页 23.(本小题10分)(1)【初步感知】 C CM、 图1 图2 图3 图4 如图1，在正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC边上的点，且∠EDF=45°，求出图中线段EF,AE,FC之 间的数量关系 ①小盐同学经过分析后，将△ADE绕着点D逆时针旋转90°到△CDM位置，如图1，根据“旋转的性质”分 析CM与AE之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段EF,AE,FC之间的数量关系： ②小田同学经过分析后，将LEDF沿DF进行翻折，得到∠MDF,射线DM交边BC的延长线于点M,如图2， 根据全等的性质也得到了线段EF,AE,FC之间的数量关系， 任选一位同学的分析，可以得到线段EF,AE,FC之间的数量关系是 (②)【类比探究】如图3，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD的延长线上，且LEAF=45°，连接EF, 试问线段EF,BE,DF之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由 (3)【拓展应用】如图4，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°，∠EAF=45°，且BC=8, DC=10,CF=6,直接写出BE的长. 第6页，共6页1.【答案】A 2.【答案】D 3.【答案】A 4.【答案】C 5.【答案】B 6.【答案】B 7.【答案】C 8.【答案】B 9.【答案】D 10.【答案】D 11.【答案】9 12.【答案】2.4 13.【答案】 14.【答案】(3,10) 15.【答案】年 16.【答案】【小题1】 证明：：AB=AC,D是BC的中点， :AD⊥BC 即∠ADC=∠ADB=90°. CE AD, ·∠ECD=∠ADB=90°. :AE⊥AD, ∠EAD=90°， :∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°， ·四边形ABCD是矩形 【小题2】 参考答案 第1页，共1页 解：：D是BC的中点，BC=4, ·BD=CD=BC=2 由(1)可知，四边形ADCE是矩形， ÷AE=CD=2,∠AEC=90°， 在Rt△AEC中，AE=2,CE=3,由勾股定理，得AC= :EF⊥AC :SAEC=AC·EF=AE.CE. “F=器-器-誓 13 17.【答案】【小题1】 解：证明：：四边形ABCD是平行四边形， ·AD//BC∴∠FCG=∠EDG,∠CFG=∠DEG. 又：G是CD的中点， ·CG=DG ·△FCG≌△EDG .FG=EG. 又：CG=DG, :四边形CEDF是平行四边形 【小题2】 icm 2 cm 18.【答案】【小题1】 ①， 证明：：AE⊥BD,DF⊥AC, :∠AE0=∠DF0=90° ∠A0E=∠DOF, ∠AE0=∠DFO 在△AEO和△DF0中， AE=DF, 第1页，共1页 VAE2+CE2=13 ·△AE0兰△DFO(AAS, :A0=D0. :四边形ABCD为平行四边形， :A0=C0,B0=D0, .A0+CO=BO+DO,AC=BD, :口ABCD是矩形 (条件任选一个证明即可， @ ③条件证明略) 【小题2】 如图，连接EF :口ABCD为矩形， 0A=0B=0C=0D,∠ABC=90°： :E是B0的中点，AE⊥B0,·AB=A0, :AB=A0=B0,·△A0B为等边三角形， :∠BA0=60°，÷∠ACB=90°-∠BA0=30°， AC=2AB=16, 在Rt△ABC中，BC=VAC2-AB2=85, :0D=0C,∠0CD=∠BA0=60°， ·△ODC为等边三角形， :DF⊥OC, ·F是OC的中点， :EF是△OBC的中位线， :EF=专BC=4W3,即点E,F之间的距离为45 19.【答案】V13 第1页，共 1页 20.【答案】【小题1】 证明：如图，过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N, BM F :四边形ABCD是正方形， :CE平分∠BCD,∠MCN=90°. :EM⊥BC,EN⊥CD, :EM=EN,∠EMF=∠END=90. 又∠MCN=90°，·四边形EMCN是正方形. :∠MEN=90°. :∠NED十∠NEF=90°，∠MEF+∠NEF=90°， ·∠MEF=∠NED.÷△MEF≌△NED(ASA. ·EF=ED.·矩形DEFG是正方形 当点F在BC的延长线上时，同理可证矩形DEFG是正方形， 【小题2】 解：CE+CG是定值，定值为4 :四边形ABCD和四边形DEFG均是正方形， ·AD=CD,DE=DG,∠ADC=∠EDG=90° ·∠ADE+∠EDC=90°，∠CDG+∠EDC=90°， :∠ADE=∠CDG.·△ADE≌△CDG(SAS.·AE=CG :CE+CG=CE+AE=AC=AB2+BC2=4. 21.【答案】【小题1】 证明：：四边形BCAD是矩形，·AD/BC,∠DAC=90°.·∠F=∠CBF,∠EAF= 的中点，·AG=专EF=FG.∠F=∠GAF:EF=2AB, 第1页，共1页 d3晋9‘。06 ·AG=AB.·∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F=2∠CBF,·∠ABC=3∠CBF,:射线BF是 ∠ABC的一条三等分线. 【小题2】 300 22.【答案】【小题1】 BE=PC理由略 【小题2】 BP+CP=20P 23.【答案】【小题1】 EF=AE十FC 【小题2】 BE=DF+EF,在线段BC上取一点G,使BG=DF,连接AG,:四边形ABCD是正方形， :AB=AD,∠B=∠ADC=∠BAD=90°.：点F在CD的延长线上， :∠ADF=180°-∠ADC=180°-90°=90°，在·ABG和△ADF中， (AB=AD ∠B=∠ADF,·△ABG≌△ADF SAS ∠BAG=∠DAP,AG=AF.:∠EAF=45°， BG-DF ·∠DAF+∠DAE=45°，·∠BAG+∠DAE=45° :∠EAG=∠BAD-(∠BAG+∠DAE)=90°-45°=45，在△EAG和△EAF中， (AG-AF ∠EAG=∠EAF=45°，·△EAG≌△EAF SAS:EG=ER,÷BE=BG+GE=DF+EF AE-AE B G 【小题3】 在DC上取一点G,使得DG=BE,:∠BAD=∠BCD=90°，·∠ABC+∠D=180°， ∠ABE+∠ABC=180°，：∠ABE=∠D.:AB=AD,BE=DG,·△ABE≌△ADG(SAS, 第1页，共1页 :AE=AG,∠BAE=∠DAG.:∠EAF=45°，·∠EAB+∠BAF=∠DAG+∠BAF=45, :∠BAD=90°，·∠FAG=∠FAE=45°.：AE=AG,AF=AF,·△AFE≌△AFG(SAS, :EF=FG,设BE=x,则EC=EB十BC=8十x,·DF=CF十DC=FG十DG=EF十BE=16 ，EF=16-BE=16-x,在Rt ECF中，EC2+CF2=EF2,(x+8)2+62=(16-x)2, “X=号，：BE=早，÷BE的长为翠. G 第1页，共1页 2025-2026北师大九年级上册第一章特殊的平行四边形期末复习检测卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是(    ) A. B. C. D. 第3题图 第2题图 第1题图 2.如图，四边形的对角线，相交于点，，，则下列说法错误的是(    ) A. 若，则四边形是矩形 B. 若平分，则四边形是菱形 C. 若且，则四边形是正方形 D. 若且，则四边形是正方形 3.如图，在四边形中，点，，，分别是，，，的中点，若四边形是矩形，则四边形需满足的条件是(    ) A. B. C. D. 4.如图，矩形中，于，且：：，则的度数为(    ) A. B. C. D. 第6题图 第5题图 第4题图 5.如图，在矩形中，，，是对角线，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点，，作直线分别交，于点，，则(    ) A. B. C. D. 6.如图，三个边长为的正方形按如图所示的方式重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则重叠部分阴影的面积为(    ) A. B. C. D. 7.如图，点是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，，则下列结论中，不正确的是(    ) A. B. C. D. 第10题图 第9题图 第8题图 第7题图 8.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形连接，相交于点、与相交于点若，则的值是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在菱形中，，对角线，相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点有以下结论：为等边三角形；；；其中正确的有  (    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10.如图，矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，以每秒个单位长度的速度沿，向终点，运动，过点，作直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，在矩形中，，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为          ． 12.如图，在中，，，，是上一点，于点，于点，连接，则的最小值为          ． 第13题图 第12题图 第11题图 13.如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别是边，的中点，连接，若，，则的长为          ． 14.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为          ． 第15题图 第14题图 15.如图，在菱形中，点，分别在，上，沿翻折后，点落在边上的处，若，，，则的长为          ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分如图，在中，，是的中点，，，． 求证：四边形是矩形； 若，，求的长． 17.本小题9分如图，在中，是的中点，是边上的动点不与点，重合，的延长线与的延长线相交于点，连接，． 求证：四边形是平行四边形． 填空：若，，． 当          时，四边形是矩形； 当          时，四边形是菱形． 18.本小题分如图，▱的对角线相交于点，，请从下面三个选项中，选择一个作为条件，使▱是矩形． ． 你添加的条件是          填写序号，求证：▱是矩形 在的结论下，若是的中点，，求点，之间的距离． 19.本小题分如图，在边长为的正方形的外侧，作等腰，，若为的中点，连接并延长，与相交于点，求的长 20.本小题9分如图，已知四边形是正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． 求证：矩形是正方形． 探究：是否为定值若是，求出这个定值若不是，请说明理由． 21.本小题分请阅读下列材料，并完成相应的任务． 三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图，任意锐角可看作矩形的对角线和边的夹角，以为端点的射线交于点，交的延长线于点若，则射线是的一条三等分线． 证明：如图，取的中点，连接 任务：完成材料中的证明过程． 如图，在矩形中，对角线的延长线与外角的平分线相交于点若，则的度数为          ． 22.本小题10分如图，正方形中，为对角线的中点，为平面内一点，且过点作交的延长线于点． 探究与之间的数量关系，并说明理由； 直接写出，，三者之间存在的关系． 23.本小题10分 【初步感知】 如图，在正方形中，，分别是，边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． 小盐同学经过分析后，将绕着点逆时针旋转到位置，如图，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系； 小田同学经过分析后，将沿进行翻折，得到，射线交边的延长线于点，如图，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系． 任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是          ． 【类比探究】 如图，正方形中，、分别在边、的延长线上，且，连接，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【拓展应用】 如图，在四边形中，，，，且，，，直接写出的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $