第3章勾股定理《数学活动_探寻“勾股数”》课件-2024-2025学年苏科版数学八年级上册

数学活动 探寻“勾股数” 勾股定理，又称商高定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理，是用代数思想解决几何问题的重要工具，是数形结合的重要纽带。 商高（西周数学家） 一、知识背景，引入情景 哥伦比亚大学的 “普林顿322”古巴比伦泥板 满足的三个正整数勾股数。 一、知识背景，引入情景 例1 分别以下列四组数为一个三角形的三边长：①0.6，0.8，1；②5，12，13；③8，15，17；④4，5，6．其中能构成直角三角形的勾股数的组数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 一、知识背景，引入情景 正整数 × × √ √ B 你能说出哪些常见的勾股数？ 3，4，5 5，12，13 6，8，10 7，24，25 …… 8，15，17 二、发现问题，提出问题 9，12，15 猜想： 则为正整数时，的整数倍 探究1 如何找到更多的勾股数呢？ 3，4，5 6，8，10 …… 9，12，15 12，16，20 ，4，（为正整数） 若是一组勾股数， 验证： 二、发现问题，提出问题 是一组勾股数。 15，20，25 若是一组勾股数，则为正整数时， 的整数倍是一组勾股数。 方法一： 二、发现问题，提出问题 哥伦比亚大学的 “普林顿322”古巴比伦泥板 “普林顿322”泥板上的数据有规律吗？古人是如何想到的呢？ 二、发现问题，提出问题 ①3，4，5 ②5，12，13 ③6，8，10 ④7，24，25 ⑥9，40，41 ⑦10，24，26 ⑤8，15，17 请你观察以下几组勾股数并分类，分类的依据是什么？ ⑧12，35，37 三、个例研究，规律探寻 b 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 探究2 完成表格填空，观察表中数据并回答问题。 (1)你有哪些发现？ 奇数 9 25 49 81 1 1 1 1 9 25 49 81 三、个例研究，规律探寻 探究2 完成表格填空，观察表中数据并回答问题。 (2)若13，则b =_______， =_______。 (3)若（为正整数）， 则b =__________， =______________。 三、个例研究，规律探寻 因为，又， 所以1，将， 所以，解得=84，85。 因为，又 所以1，将， 解得=， 当为正整数时，、、 +1是一组勾股数。 验 、、+1是一组勾股数。 猜想： 如何验证这个猜想？ 三、个例研究，规律探寻 当为正整数时， 、、+1是一组勾股数。 三、个例研究，规律探寻 方法二： (毕达哥拉斯构造法) 古希腊著名哲学家、 数学家毕达哥拉斯 b 6 8 10 8 15 17 10 24 26 12 35 37 探究3 完成表格填空，观察表中数据并回答问题。 36 64 100 144 2 2 2 18 32 50 72 2 三、个例研究，规律探寻 (1)你有哪些发现？ 是偶数 (2)若16，则b =_______， =_______。 (3)若（为正整数）， 则b =__________， =__________。 探究3 完成表格填空，观察表中数据并回答问题。 三、个例研究，规律探寻 因为，又， 所以，将16代入， 所以4，解得=63，65。 因为，又， 所以4，将代入， 所以， 解得=， 当为正整数时，、、 是一组勾股数。 验 、、是一组勾股数。 猜想： 请你验证这个猜想。 三、个例研究，规律探寻 当为正整数时， 、、是一组勾股数。 三、个例研究，规律探寻 方法三： (柏拉图构造法) 古希腊著名哲学家柏拉图 探究4 构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“两个数的平方和（或差）等于第三个数的平方”，即满足以下形式： 四、拓展思路，方法再探 四、拓展思路，方法再探 已知 ，即可 设= （为任意正整数，且） 所以、 是一组勾股数。 四、拓展思路，方法再探 方法四： 当为任意正整数，且时， 、、是一组勾股数。 （丢番图构造法) 古希腊数学家丢番图 四、拓展思路，方法再探 （刘徽构造法) 中国魏晋时期数学家刘徽 当为同奇偶的正整数，且时， 是一组勾股数。 拓展： 例2 阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数 .世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著 作《九章算术》, 其勾股数组公式为 应用：当时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长. 四、拓展思路，方法再探 分类讨论 1当时 =5， =11， 解：因为， 所以 2当时 =5， 代入得=12，=13。 3当时 =9，解得=， 因为，所以=， 代入得=4，b=3。 解得=（舍去） 综上所述，另外两条边长为12、13或者3、4。 四、拓展思路，方法再探 若是一组勾股数，则为正整数时，的整数倍也是一组勾股数。 方法一 当、、是一组勾股数。 方法二 当、、是一组勾股数。 方法三 五、归纳小结，能力提升 方法四 当为任意正整数，且时，、、是一组勾股数。 …… 发现问题，提出问题 整理结论，解决问题 验证猜想，得出结论 个例研究，提出猜想 一般 特殊 一般 （类比） 五、归纳小结，能力提升 $$