精品解析：广东省江门市新会区广雅中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题A卷

江门市广雅中学2024-2025学年第一学期9月月考 高二年级数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的斜率及在轴上的截距分别为（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】把直线方程化为斜截式，根据斜截式方程的定义求解即可. 【详解】直线，即， 故直线的斜率为，在轴上的截距为， 故选：C. 2. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的加减法、数量积以及模值坐标运算可判断. 【详解】解： 因为，，所以根据空间向量的加减法、数量积以及模值运算可判断： 对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确. 故选：D 3. 已知直线，，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一般式下两直线垂直的充要条件“”即可求解 【详解】由． 故选：A． 4. 若如图中的直线的斜率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出三条直线的倾斜角，结合直线斜率的定义和正切函数图象，数形结合得到答案. 【详解】设直线的倾斜角分别为，显然，且， 所以， 又在上单调递增，故， 所以. 故选：C 5. 已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】 . 故选：C. 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，，则， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 7. 如图所示，已知等腰直角三角形ADE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，且，F是线段CD的中点，则BD与EF所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，写出和的坐标利用夹角公式求出余弦值即可. 【详解】因为平面ADE⊥平面ABCD，平面平面ABCD=AD，AE⊥AD，平面ADE， 所以AE⊥平面ABCD， 又平面ABCD，所以AE⊥AB， 又AB⊥AD，所以AB，AD，AE两两垂直， 分别以AB、AD、AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 可得B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F（1，2，0）， ∴，， 设BD与EF所成的角大小为α， 则， 即BD与EF所成的角的余弦值为， 故选：D. 8. 如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义理解向量数量积的几何意义，结合图形即可计算得到. 【详解】因图中是四个相同的正方体排成的正四棱柱，故在上的投影都是， 所以，， 即的值只有一个． 故选：A. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）. A. B. 若，则 C. 点关于平面对称的点的坐标为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由向量的坐标运算可判断A，由数量积的坐标运算可判断B，由关于平面对称的点的坐标特点可判断C，由向量模的坐标运算可判断D. 【详解】对A，，故A正确； 对B，，所以，故B正确； 对C，点关于平面对称的点的坐标为，故C错误； 对D，，故D错误. 故选：AB. 10. 已知直线：，，，则下列结论错误的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 当时，直线的斜率不存在 D. 当时，直线与直线平行 【答案】ACD 【解析】 【分析】由直线的斜率和倾斜角，直线的位置关系对选项逐一判断， 【详解】对于A，当时，，直线恒过定点，故A错误， 对于B，当时，直线的斜率为，倾斜角为，故B正确， 对于C，当时，直线的斜率为0，故C错误， 对于D，当时，直线经过，两点，故直线与直线重合，故D错误， 故选：ACD 11. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与所成角的余弦值为 C. 平面的一个法向量是 D. 点到平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先写出需要的点的坐标，然后利用空间向量分别计算每个选项即可. 【详解】由题可知，,,,,,， 所以，故选项A错误； ,，所以，故选项B正确； ,，记， 则，故， 因为,平面， 所以垂直于平面，故选项C正确； ，所以点到平面的距离，故选项D正确； 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过点，且垂直于轴的直线方程是__________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程的知识求得正确答案. 【详解】依题意，过点，且垂直于轴的直线方程是 故答案为： 13. 设空间向量，，若，则＝______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据空间向量共线得，再利用空间向量的坐标运算和向量模的定义即可得到答案. 【详解】，则显然，，解得， 则，， 故答案为：3. 14. 已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先表示出直线的截距式，利用直线过点，得到，借助基本不等式，即可求得最小值. 【详解】直线与与x轴、y轴分别交于， 可设直线的截距式，直线过点，，且， ， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为：. 四、解答题：（本题共5题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分，解答时请写出必要的文字说明、演算过程、推理步骤） 15. 在空间直角坐标系中，已知向量，，． （1）求，； （2）求平面的一个法向量． 【答案】（1）， （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据向量减法运算直接写出结果； （2）根据题意，由平面法向量的计算公式，列出方程，计算即可得到结果. 【小问1详解】 ，，， ，. 【小问2详解】 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， ， 所以平面的一个法向量为. 16. 已知四边形的顶点. （1）求斜率与斜率； （2）求证：四边形为矩形. 【答案】（1） （2） 因为，所以. 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形， 又因为，所以， 所以四边形为矩形. 【解析】 【分析】（1）利用斜率公式求解即可； （2）利用直线平行与垂直的性质依次证得，，，从而得证. 【小问1详解】 因为， 所以，即. 【小问2详解】 略 17. 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． （1）求所在直线的方程； （2）求高所在直线的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. 【小问1详解】 因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， 【小问2详解】 因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即. 18. 如图，是边长为2的正三角形，是以AB为斜边的等腰直角三角形，且. （1）求证：平面ABC平面ABD； （2）求二面角A-BC-D的余弦值. 【答案】 （1）证明：取AB中点O，连OC､OD，因为是边长为2的正三角形，是以AB为斜边的等腰直角三角形， 所以，， 所以是二面角的平面角. 在中， 因为，，，所以 所以. 所以平面ABC平面ABD. （2）. 【解析】 【分析】（1）取AB中点O，连OC､OD，即可得到是二面角的平面角，再由勾股定理逆定理得到，即可得到二面角是直二面角，即可得证； （2）过O作OMBC交BC于M，连DM，即可证明BC平面DOM，从而得到为二面角A-BC-D的平面角，再利用锐角三角函数计算可得； 【详解】（1）略 （2）过O作OMBC交BC于M，连DM， 由（1）可知面，又面，所以，由，面 所以BC平面DOM 因为面，所以BCDM， 则为二面角A-BC-D的平面角. 在中，，，由勾股定理：， ∴二面角A-BC-D的余弦值为. 【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 19. 如图，边长为2的正方形中，点E是的中点，点F是的中点，将分别沿折起，使A､C两点重合于点A′，连接. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由图形性质可由线线垂直证明平面，然后证明即可； （2）方法一：建立合适的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解线面角的正弦值即可. 方法二：利用几何法构造线面角，通过求解三角形计算即可. 【小问1详解】 在正方形中，有， 则， 又，平面，∴平面， 而平面，∴； 【小问2详解】 方法一：∵正方形的边长为2，点E是的中点，点F是的中点， ∴， ∴， ∴， 由（1）得平面， ∴分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则, ∴， 设平面的一个法向量为， 则有，可取， 令直线与平面所成角为， ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为； 方法二：连接交于点，连接， ∵正方形中，点E是的中点，点F是的中点， ∴， ∴点G为的中点，则， 又，∴， 又平面，∴平面， 又面，所以面平面， 平面平面，∴在面的射影在上， 则为直线与平面所成角， 由（1）可得，∴为直角三角形， 在正方形中，，， 易得，， 又，∴， ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门市广雅中学2024-2025学年第一学期9月月考 高二年级数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的斜率及在轴上的截距分别为（    ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 若如图中的直线的斜率为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，已知等腰直角三角形ADE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，且，F是线段CD的中点，则BD与EF所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（ ）. A. B. 若，则 C. 点关于平面对称的点的坐标为 D. 10. 已知直线：，，，则下列结论错误的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，直线的倾斜角为 C. 当时，直线的斜率不存在 D. 当时，直线与直线平行 11. 如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与所成角的余弦值为 C. 平面的一个法向量是 D. 点到平面的距离为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 过点，且垂直于轴的直线方程是__________________. 13. 设空间向量，，若，则＝______． 14. 已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为______. 四、解答题：（本题共5题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分，解答时请写出必要的文字说明、演算过程、推理步骤） 15. 在空间直角坐标系中，已知向量，，． （1）求，； （2）求平面的一个法向量． 16. 已知四边形的顶点. （1）求斜率与斜率； （2）求证：四边形为矩形. 17. 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． （1）求所在直线的方程； （2）求高所在直线的方程. 18. 如图，是边长为2的正三角形，是以AB为斜边的等腰直角三角形，且. （1）求证：平面ABC平面ABD； （2）求二面角A-BC-D的余弦值. 19. 如图，边长为2的正方形中，点E是的中点，点F是的中点，将分别沿折起，使A､C两点重合于点A′，连接. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $