第13章 微专题 构造等腰三角形技巧(四)角平分线＋垂直（作业课件）-【黄冈100分闯关】2023-2024学年八年级数学上册（人教版 河南专用)

微专题　构造等腰三角形技巧(四)角平分线＋垂直 数学 八年级上册 人教版 100分闯关 等腰三角形 4 5 8 9 【方法技巧】由角平分线＋垂直联想等腰三角形，利用等腰三角形的性质来解决问题． 基本图形：如图，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则AB＝AC，BD＝CD. 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过C作CN⊥AD交AD于点H，交AB于点N. (1)△ANC的形状是__________________；(在“等边三角形”“等腰三角形”“直角三角形”“等腰直角三角形”中选一个填上去) (2)若AB＝10，AC＝6，则CD的长为_________． 2．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于点P，连接PC，若△ABC的面积为2 cm2，求△PBC的面积． 解：延长AP交BC于点E，∵∠ABP＝∠EBP，AP⊥BP，∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC＝ eq \f(1,2) S△ABC＝ eq \f(1,2) ×2＝1(cm2) 3．如图，在△ABC中，BC＝10，AC－AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，求S△BDC的最大值． 解：延长AB，CD交于点E，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD，∵CD⊥AD，∴AC＝AE，DE＝CD；∵AC－AB＝4，∴AE－AB＝4，即BE＝4；∵DE＝DC，∴S△BDC＝ eq \f(1,2) S△BEC，∴当BE⊥BC时，S△BDC最大，即S△BDC最大＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ×10×4＝10 4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一动点，CE⊥BD于点E. (1)如图①，若BD平分∠ABC时， ①求∠ECD的度数；②延长CE交BA的延长线于点F，补全图形，探究BD与EC的数量关系，并证明你的结论； (2)如图②，过点A作AF⊥BE于点F，猜想线段BE，CE，AF之间的数量关系，并证明你的猜想． 解：(1)①∠ECD＝22.5°　 ②BD＝2CE.证明：延长CE交BA的延长线于点F，如图①，∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，∴CE＝FE，证△ABD≌△ACF(AAS)，∴BD＝CF＝2CE (2)结论：BE－CE＝2AF.证明：过点A作AH⊥AE，交BE于点H，如图②，∵AH⊥AE，∴∠BAH＋∠HAC＝∠HAC＋∠CAE，∴∠BAH＝∠CAE，证△ABH≌△ACE(ASA)，∴CE＝BH，AH＝AE，∴△AEH是等腰直角三角形，∴AF＝EF＝HF，∴BE－CE＝2AF $$