第13章 回归教材(五) 构造等边三角形（作业课件）-【黄冈100分闯关】2023-2024学年八年级数学上册（人教版 河南专用)

回归教材(五)　构造等边三角形 数学 八年级上册 人教版 100分闯关 4 6 教材母题►　(教材P80例4)如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形． 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.∴∠A＝∠ADE＝∠AED.∴△ADE是等边三角形 证明：作DG∥AB交BE于点G，则△CDG是等边三角形，证△BCD≌△EGD即可 一、作平行线构造等边三角形 【教材变式1】如图，△ABC是等边三角形，D为AC延长线上一点，E是BC延长线上一点，CE＝AD，求证：DB＝DE. 【教材变式2】如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AD⊥BC于点D，以AB为边作等边△ABE，连接CE，若BD＝7，AC＝10，求CE的长． 解：由∠AEB＝∠ACB＝60°，得∠CAE＝∠CBE，在AC上截取AM＝BC，证△BCE≌△AME，∴CE＝EM，∠AEM＝∠BEC，∴∠MEC＝60°，∴△CEM是等边三角形，∴CE＝10－7＝3 【教材变式3】如图，过边长为2的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC边于点D，求DE的长． 解：过点P作BC的平行线交AC于点F，易证△APF是等边三角形，∴AP＝PF，∵AP＝CQ，∴PF＝CQ，证△PFD≌△QCD(AAS)，∴FD＝CD，∵PE⊥AC于点E，△APF是等边三角形，∴AE＝EF，∴AE＋DF＝EF＋FD，∴ED＝ eq \f(1,2) AC，∵AC＝2，∴DE＝1 二、截长补短法构造等边三角形 【教材变式4】如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是线段BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.求证：CE＋CF＝CD. 证明：在CD上截取CH＝CE，连接EH，∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH＋∠HEF＝∠FEC＋∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE＝FE，,∠DEH＝∠FEC，,EH＝EC，)) ∴△DEH≌△FEC(SAS)，∴DH＝CF，∴CD＝CH＋DH＝CE＋CF，∴CE＋CF＝CD 【教材变式5】如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝∠ACD＝60°，求证：AB＝BD＋DC. 证明：延长BD至点M，使BM＝AB，连接AM，CM，则△AMB是等边三角形，∴AM＝AC＝AB＝BM，∠AMC＝∠ACM，∵∠ACD＝∠AMD＝60°，∴∠DCM＝∠DMC，∴CD＝DM，∵BM＝BD＋DM，∴AB＝BD＋DC $$