第十三章 轴对称（易错与压轴专练）-2023-2024学年八年级数学上册单元速记·巧练（人教版）

第十三章 轴对称（易错与压轴专练） 目录 易错专练 1 【易错一 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】 1 【易错二 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】 3 【易错三 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 5 【易错四 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】 7 压轴专练 11 【题型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 11 【题型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 18 【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 24 【题型四 共顶点的等边三角形问题】 29 【题型五 共顶点的等腰直角三角形问题】 34 【题型六 共顶点的一般等腰三角形问题】 40 易错专练 【易错一 求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】 例题：已知是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为和，则它的周长为 ． 【变式训练】 1．若的三边长分别为，7，6，当为等腰三角形时，则的值为__________． 2．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形一边长是另一边长的1.5倍，则它的底边长为______． 【易错二 当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】 例题：等腰三角形的一个角的度数是，则它的底角的度数是 ． 【变式训练】 1．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____． 2．在 中，，，点D在边上（不与B、C重合），连接，若是等腰三角形，则的度数为___________． 【易错三 求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 例题：已知中，，，若沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，若以点A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是 ． 【变式训练】 1．在中，，，，、分别是边、上的动点将沿直线翻折，使点的对应点恰好落在边上若是等腰三角形，则的长是 ． 【易错四 三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】 例题：等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为 和 两部分,则此三角形的底边长为 (    ) A． B． C．或 D．无法确定 【变式训练】 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个三角形的顶角为（   ） A． B． C． D．或 2．在中，，是边上的高，，则 ． 3．在中，，上的中线把三角形的周长分成和两部分，则底边的长为______． 压轴专练 【题型一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】 例题：已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，． (1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明． 【变式训练】 1．如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若． (1)求证：； (2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明； (3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由． 2．在中，，，点O为的中点． (1)若，两边分别交于E，F两点． ①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：； ②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则　　． (2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长． 【题型二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】 例题：如图，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE． (1)求证：BD＝CE； (2)若AD＝BD＝DE＝CE，求∠BAE的度数． 【变式训练】 1．如图，与△BCA均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）． 2．已知在中，，且=．作，使得． (1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)； (2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：； (3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数． 【题型三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 例题：如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于． 求证： (1)； (2)． 【变式训练】 1．如图： (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等