第13章 回归教材(三) 巧用“三线合一”作辅助线（作业课件）-【黄冈100分闯关】2023-2024学年八年级数学上册（人教版 河南专用)

回归教材(三)　巧用“三线合一”作辅助线 数学 八年级上册 人教版 100分闯关 3 5 9 教材母题►　(教材P82习题T6)如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE. 证明：思路一：因△ABC和△ADE都是等腰三角形，且底边在同一直线上，故可运用“三线合一”作辅助线，过A作AM⊥BC于点M，证CM＝BM，DM＝EM即可． 思路二：用AAS证BD，CE所在的△ABD≌△ACE即可得证 一、遇底边中点连接底边上的中线 【教材变式1】如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点D，E分别在AC，BC上，且OD⊥OE.求证：CE＋CD＝AC. 证明：连接CO，∵∠ACB＝90°，O为AB的中点，∴OA＝OC＝ eq \f(1,2) AB，∵CA＝CB，O为AB的中点，∴∠BCO＝∠ACO＝ eq \f(1,2) ∠ACB＝45°，CO⊥AB，∴∠AOC＝90°，∵OD⊥OE，∴∠DOE＝90°，∴∠AOC－∠DOC＝∠DOE－∠DOC，即∠AOD＝∠COE，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝45°，∴∠A＝∠BCO，∴△ADO≌△CEO(ASA)，∴AD＝CE，∵CD＋AD＝AC，∴CD＋CE＝AC 【教材变式2】如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，点E，F分别在AC，BC上，∠EOF＝45°，求证：CE＋EF＝BF. 证明：连接OC，在BF上取一点M，使BM＝CE，连接OM，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴△ACB是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∵O为AB的中点，∴OC＝OA＝OB.∴∠OCE＝∠B＝45°，∴△ECO≌△MBO(SAS)，∴OM＝OE，∠COE＝∠BOM，∵∠COF＋∠BOF＝∠COB＝90°，∴∠COF＋∠BOM＋∠MOF＝90°，∴∠COF＋∠COE＋∠MOF＝90°，即∠EOF＋∠MOF＝90°，又∠EOF＝45°，∴∠MOF＝45°，∴∠EOF＝∠MOF，又∵OF＝OF，∴△EOF≌△MOF(SAS)，∴EF＝FM，∴CE＋EF＝BM＋FM＝BF，∴CE＋EF＝BF 二、遇到等腰常作高 【教材变式3】如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB. 证明：作EF⊥AC于点F，∵EA＝EC，∴AF＝FC＝ eq \f(1,2) AC，∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB 【教材变式4】如图，在等腰△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB上，AD＝AC，BE垂直直线CD于点E. (1)求∠BCD的度数； (2)求证：CD＝2BE. 解：(1)22.5° (2)过点A作AF⊥CD于点F，AC＝AD，∴CD＝2CF.又BE⊥CD于点E，∴∠BEC＝∠AFC＝90°.又∠BCE＋∠DCA＝∠FAC＋∠DCA＝90°，∴∠BCE＝∠CAF，又BC＝ AC，∴△CBE≌△ACF，∴CF＝BE，即CD＝2CF＝2BE $$