第13章 专题(八) 与等腰三角形有关的基本图形（作业课件）-【黄冈100分闯关】2023-2024学年八年级数学上册（华东师大版 河南专用)

专题(八)　与等腰三角形有关的基本图形 数学 八年级上册 华师版 100分闯关 25° 小 2 解：(3)110°或80° 类型一　等腰见“三线”，对折有全等 当等腰三角形中出现底边上的中线(底边的中点)、底边上的高或顶角的平分线三者之一时，就会出现对折型全等三角形． 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE⊥BE于点E，且BE＝ eq \f(1,2)) BC.求证：AB平分∠EAD. 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴BD＝ eq \f(1,2) BC，AD⊥BC，又∵BE＝ eq \f(1,2) BC，∴BE＝BD，∵AE⊥BE，AD⊥BC，∴∠E＝∠ADB＝90°，∴△AEB和△ADB都是直角三角形，在Rt△AEB和Rt△ADB中，∵AB＝AB，BE＝BD，∴Rt△AEB≌Rt△ADB(H.L.)，∴∠EAB＝∠DAB，即AB平分∠EAD 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC边的中点，DE⊥AB于点E，连结AD. (1)求证：∠BAC＝2∠EDB； (2)若AC＝6，DE＝2，求△ABC的面积． 解：(1)∵AB＝AC，D为BC边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝ eq \f(1,2) ∠BAC，∴∠B＋∠BAD＝90°，∵DE⊥AB，∴∠B＋∠EDB＝90°，∴∠EDB＝∠BAD＝ eq \f(1,2) ∠BAC，∴∠BAC＝2∠EDB　(2)12 类型二　平分遇平行，等腰自会现 过角平分线上一点与角的一边平行的直线，和角的另一边相交能构成等腰三角形． 3．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F. (1)如图①，若AB＝AC，则图中的等腰三角形有________个；猜想：EF与BE，CF之间有怎样的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若AB≠AC，则图中的等腰三角形是________，(1)中的EF与BE，CF之间的数量关系还成立吗？ (3)如图③，若△ABC中AB≠AC，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACG的平分线交于点O，过点O作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F.图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们，写出EF与BE，CF之间的数量关系，并说明理由． 解：(1)图中的等腰三角形有△AEF，△OEB，△OFC，△OBC，△ABC，共5个．EF与BE，CF之间的数量关系是EF＝BE＋CF.理由如下：∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠EOB，∠ACO＝∠FOC，∴OE＝BE，OF＝CF，∵EF＝OE＋OF，∴EF＝BE＋CF　(2)△EOB，△FOC，(1)中的EF与BE，CF之间的数量关系仍然成立　(3)有．△OEB和△OFC是等腰三角形，EF＝BE－CF.理由：∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACG，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCG，∵OE∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCG，∴∠EBO＝∠EOB，∠FCO＝∠FOC，∴BE＝OE，OF＝CF，∴△OEB和△OFC是等腰三角形，∵EF＝OE－OF，∴EF＝BE－CF 类型三　一线三等角，全等在两边 等腰三角形中，顶点在底边并且与底角相等的角的两边与两腰相交时，在这个角的两边往往会出现全等三角形． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动(点D不与点B，C重合)，连结AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E. (1)当∠BDA＝115°时，∠BAD＝_________；当点D从点B向点C运动时，∠BDA逐渐变_______(填“大”或“小”)； (2)当DC＝_______时，△ABD≌△DCE； (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，求当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形． 类型四　手拉手，全等有 如果两个等腰三角形(含等边三角形)有公共的顶角顶点，我们把这样的图形叫做“手拉手”模型，这是一种重要的全等模型，其中必然包含通过旋转能够重合的两个三角形，此类问题一般都是用“S.A.S.”来证明它们全等的． 5．如图，B是AC上一点，△ABD和△DCE都是等边三角形．求证：AC＝BE. 证明：∵△ABD和△DCE都是等边三角形，∴∠ADB＝∠CDE＝60°，AD＝BD，CD＝ED，∴∠ADB＋∠BDC＝∠BDC＋∠CDE，即∠ADC＝∠BDE，在△ADC和△BDE中，∵AD＝BD，∠ADC＝∠BDE，CD＝ED，∴△ADC≌△BDE(S.A.S.)，∴AC＝BE 6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，D是AC的中点，将一块含45°角的三角尺ADE按图中所示的方式放置，使三角尺斜边的两个端点分别与点A，D重合，连结BE，CE.试猜想线段BE和CE的数量及位置关系，并证明你的猜想． 解：数量关系：BE＝CE；位置关系：BE⊥CE.证明：∵△ADE是一块含45°角的三角尺，AD为斜边，∴∠AED＝90°，∠EAD＝∠EDA＝45°，AE＝DE，∴∠EDC＝180°－∠EDA＝180°－45°＝135°，∵∠BAC＝90°， ∴∠EAB＝∠EAD＋∠BAC＝45°＋90°＝135°，∴∠EAB＝∠EDC，∵D是AC的中点，∴AC＝2DC，又∵AC＝2AB，∴AB＝DC，在△EAB和△EDC中，∵AE＝DE，∠EAB＝∠EDC，AB＝DC，∴△EAB≌△EDC(S.A.S.)，∴BE＝CE，∠AEB＝∠DEC，∴∠BEC＝∠BED＋∠DEC＝∠BED＋∠AEB＝∠AED＝90°，即BE⊥CE $$