第一章 中考素养提升专练(一)（作业课件）-【黄冈100分闯关】2023-2024学年八年级数学上册（北师大版 河南专用)

中考素养提升专练(一) 数学 八年级上册 北师版 100分闯关 A 8 20 60 1．(周口扶沟县期末)传说古人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为m的绳子，古人用这根绳子拉出了一个斜边长为n的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含m和n的式子可表示为( ) A． eq \f(m2－2mn,4) B． eq \f(m2＋2mn,4) C． eq \f(m2－2mn,2) D． eq \f(m2＋2mn,2) 2．如图AB，BC，CD，DE是四根长度均为5 cm的火柴棒，其中，BC⊥CD，点A，C，E共线．若AC＝6 cm，则线段CE的长度是________cm. 3．(林州期末)定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2＝________． 4．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图②是由图①放入矩形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则空白部分的面积为________． 5．(新定义问题)定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点． (1)已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长． 解：(1)点M，N是线段AB的勾股分割点．理由如下：因为AM2＋BN2＝2.52＋62＝42.25＝MN2，所以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，所以点M，N是线段AB的勾股分割点　 (2)设BN＝x，则MN＝14－AM－BN＝10－x.①当MN为最长线段时，依题意，得MN2＝AM2＋BN2，即(10－x)2＝x2＋42，解得x＝4.2；②当BN为最长线段时，依题意，得BN2＝AM2＋MN2，即x2＝42＋(10－x)2，解得x＝5.8，综上所述，BN的长为4.2或5.8 6．【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3，4，5这样为三边长能构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数. 【应用举例】 观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；… 可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾为3时，股4＝ eq \f(1,2) (9－1)，弦5＝ eq \f(1,2) (9＋1)；当勾为5时，股12＝ eq \f(1,2) (25－1)，弦13＝ eq \f(1,2) (25＋1)；当勾为7时，股24＝ eq \f(1,2) (49－1)，弦25＝ eq \f(1,2) (49＋1). 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： (1)如果勾用n(n≥3，且n为奇数)表示时，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝________________，弦＝________________； eq \f(1,2) (n2－1) eq \f(1,2) (n2+1) 【问题解决】 (2)哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：若a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1(m为大于1的整数)，则a，b，c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性； (3)毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中发现弦与股的差为1，若用2a2＋2a＋1(a为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数，请你找出另外两个数的表达式分别是多少？ 解：(2)∵a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1(m表示大于1的整数)，∴a2＋b2＝(2m)2＋(m2－1)2＝4m2＋m4－2m2＋1＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1)2＝c2，∴a2＋b2＝c2，∴a，b，c为勾股数　 (3)∵弦与股的差为1，2a2＋2a＋1(a为任意正整数)表示勾股数中最大的一个数，∴另外两个数的表达式分别是2a2＋2a；2a＋1 7．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶(如图)，已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会相互干扰，AC＝40米，AB＝30米． (1)出发3 秒钟时，遥控信号是否会相互干扰？ (2)当两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号是否会相互干扰？ 解：(1)如图，出发3秒钟时，CC1＝12米，BB1＝9米，因为AC＝40 米，AB＝30 米，所以AC1＝28 米，AB1＝21 米，所以B1C12＝AC12＋AB12＝282＋212＝1225，所以B1C1＝35 米>25 米，所以出发3秒钟时，遥控信号不会相互干扰 (2)如图，设出发t秒时，两赛车距点A的距离之和为35米，根据题意，得40－4t＋30－3t＝35，解得t＝5，所以AC2＝20 米，AB2＝15米，此时AC22＋AB22＝202＋152＝252，所以B2C2＝25米，所以当两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号会相互干扰 $$