第一章勾股定理练习2025-2026学年北师大版（2012）数学八年级上册

第一章 勾股定理 练习 一、单选题 1．下列各组数中，不是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在下列以线段、、的长为边，能构成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示网格中，已知，两个格点，现要在网格中另取一格点，使得，则这样的格点共有（   ）个    A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，则点C到的距离是（   ） A．6 B．8 C． D． 6．将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，为边上的中线．若，则的面积为（    ） A．60 B．68 C．120 D．240 8．《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈尺）？设原处的竹子还有x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．如图，梯子斜靠在墙面上，，，当梯子的顶端 A 沿方向下滑时，梯足 B 沿方向滑动，则x 与y的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 10．晨光微洒，湖边钓者静心垂钓，如图，已知鱼线没入水中的长度为1.5米，在距离鱼线1.2米（米）的水下1米处（米）有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米／秒的速度向鱼饵游去，则这条鱼到达鱼饵处至少需要（   ） A．6秒 B．6.5秒 C．13秒 D．26秒 二、填空题 11．直角三角形两直角边分别为6和8，则斜边长为 ． 12．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于、两点，则的长为 ． 13．如图，在四边形中，，，四边形的面积是 ． 14．如图，在等腰直角三角形纸片中，是斜边的中点，是边上的一点，将沿翻折至，与边相交于点，若，则的周长为 ． 15．已知：中，，于．点为射线上一动点，若为等腰三角形，的值为 ． 三、解答题 16．如图所示，为修铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天凿，试计算需要几天才能把隧道凿通？ 17．小明遇到这样一个问题：已知，在中，三边的长分别为，，，求的面积. 下面是他解决问题的思路： 在图①中，先画一个的正方形网格（每个小正方形的边长均为）．再在网格中画一个格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格计算出了的面积，他把这种方法称为构图法． 请用小明的构图法，解决下列问题： (1)如图②是一个的正方形网格，请画出三边长分别为、、5的格点； (2)求的面积． 18．如图，和都是直角三角形，，，于点F． (1)求证：； (2)若点B是的中点，，求的长． 19．数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． (1)求旗杆的高度； (2)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 20．【探究发现】 （1）如图1，在四边形中，对角线，垂足是O，求证： 【拓展迁移】 （2）如图2，以三角形的边、为边向外作正方形和正方形，求证： （3）如图3，在（2）小题条件不变的情况下，连接，若，，，求 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 勾股定理 练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D D C D A C B B B 1．A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股数，根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能组成直角三角形，不是勾股数，故此选项符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：． 2．D 【分析】根据勾股定理的逆定理，判断三边是否满足（为最长边 ），若满足则能构成直角三角形．本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若三角形三边满足（为最长边 ），则该三角形为直角三角形是解题的关键． 【详解】解： ，． ，即 该选项不能构成直角三角形，A项错误． ，． ，即 该选项不能构成直角三角形，B项错误． ，． ，即 该选项不能构成直角三角形，C项错误． ，． ，即 该选项能构成直角三角形，D项正确． 故选：． 3．D 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，也考查了勾股定理，综合运用这些知识点是解题关键． 由勾股定理求解，由对折可得，设 则， 利用勾股定理求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解： 由折叠可得： 设 则 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理与网格问题，根据网格的特点，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，   设网格中每个小正方形的边长为，连接, 由图可知，, , , , , , ; 综上，共有个格点使得． 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求出，然后利用算得答案即可． 【详解】解：在中，，，， 那么 ， ， ． 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先理解题意，得，再结合勾股定理得，故，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】如图，连接． 依题意， ∵， ∵在中，， ∴， ∴． 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查勾股定理及三角形的中线，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据勾股定理可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴； 故选C． 8．B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．可根据题意画出示意图，设原处的竹子还有x尺，则尺，尺，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 设原处的竹子还有x尺，则尺，尺， 在中，由得． 故选：B． 9．B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设，利用梯子下滑过程中的长度保持不变，建立a，x，y的等式，然后进行判断即可． 【详解】解：设， 由勾股定理得： ， ∴， 化简得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10．B 【分析】过C点作于点，连接，根据勾股定理求出的长，再除以鱼的速度即可得解． 本题主要考查了勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图所示：过C点作于点，连接， 由题意可得：米，米， ∴米， ∴米， 秒． ∴这条鱼至少6.5秒后才能到达鱼饵处． 故选：B． 11．10 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵直角三角形两直角边分别为6和8， ∴斜边长为． 故答案为：10． 12． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理，数形结合、列出方程是解题的关键； 先根据勾股定理求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，设，然后在直角三角形中，根据勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， 设，则, 则在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：，即； 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理．连接，根据勾股定理可得的长，再利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，再根据四边形的面积等于，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴四边形的面积是． 故答案为： 14． 【分析】过点作于点，于点，于点，连接，，根据折叠的性质可得：，，，根据角平分线的性质可证，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，所以可得，利用勾股定理可以求出. 【详解】解：如下图所示，过点作于点，于点，于点，连接，， ，， ， 点是的中点， 平分， ，， 由折叠的性质可得：，，， ，， 平分， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找边之间的关系． 15．或或． 【分析】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解决问题的关键，一定不要忘记讨论某一种情况，围绕三个顶点、三条边分别讨论即可． 分三种情况讨论，分别为或或，应用等角对等边和勾股定理即可求解． 【详解】∵为等腰三角形， ∴分三种情况： ①若，则， ②若， 过点D作于点E，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴， ③若PD＝PB，如图2所示： ∵， ∴， ∵， ∴且， ∴ ∴， ∴ ∴， 综上所述：当为等腰三角形时，或或． 故答案为：或或． 16．天 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题关键是是运用勾股定理求边的长度，然后除以每天凿的隧道的长度，即可求出所需的天数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， （天）． 答：需要天才能把隧道凿通． 17．(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，利用网格计算三角形的面积，利用勾股定理及格点确定三个顶点的位置是解题的关键． （1）根据，，，利用格点作图即可； （2）利用割补法计算面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）由证明，再由全等三角形的性质即可求证； （2）由全等三角形的性质得到，，再由点是的中点解得，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ 19．(1)12米 (2)7米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米，根据勾股定理列方程求解即可； （2）先根据勾股定理求出，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长为米， 由题意知：米，， 在中， ， ， 解得：， 答：旗杆的高度12米； （2）解：由（1）知，米，则米， 米， 米， 答：珍珍应从A处向东走7米． 20．（1）见解析 （2）见解析 （3） 【分析】（1）由，根据勾股定理得，，，，则； （2）由四边形ABDE和四边形都是正方形，得，，，则，即可证明，得，而，则，即可证明； （3）由（2）得，则，由，，，得，由勾股定理求得，由，，得，由，，得，则，即可求得结论． 【详解】（1）证明： 于点O， ， ，，，， ，， （2）证明：四边形和四边形都是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， （3）解：如图3，连接， 由得， ， ，，， ，， ，， ， ，， ， ， 【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理的应用等知识，此题综合性强，难度较大，根据勾股定理证明是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $