第一章 难点突破专题 勾股定理与最值（作业课件）-【黄冈100分闯关】2023-2024学年八年级数学上册（北师大版 河南专用)

难点突破专题　勾股定理与最值 数学 八年级上册 北师版 100分闯关 难点突破一　平面上的最短路径——对称求最值 1．如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，问在何处饮水能使所走的总路程最短？最短路程是多少？ 解：如图，作点A关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于点M，则在点M处饮水能使所走的路程最短，最短路程为A′B的长，过点A′作A′H⊥BD交BD的延长线于点H.在Rt△A′HB中，A′H＝CD＝800米，BH＝BD＋DH＝BD＋AC＝200＋400＝600(米).在Rt△A′BH中，由勾股定理，得A′B2＝A′H2＋BH2＝8002＋6002＝1000000，故A′B＝1000米，所以最短路程为1000米 2．如图为8×8的网格，网格中每个正方形的顶点为格点，A，B，C，D，E，F均为格点，且△ABC与△DEF为轴对称图形． (1)利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴； (2)若网格中每个小正方形的边长为1，在(1)中的直线l上找一点P，使得PA＋PB最短，并求出这个最小值． 解：(1)对称轴l如图所示 (2)连接BD交直线l于点P，则PA＋PB最短，最小值为BD.BD2＝42＋32＝25，∴BD＝5，故PA＋PB的最小值为5 难点突破二　几何体表面的最短路径——利用展开图求最值 3．有一个如图所示的长方体的透明鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵． (1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短？请画出它的爬行路线，并用箭头标注； (2)试求小虫爬行的最短路程． 解：(1)作点A关于BC的对称点A′，连接A′G，交BC于点Q，则AQ→QG即为最短路线，图略 (2)因为AE＝40 cm，AA′＝120 cm，所以A′E＝120－40＝80(cm).因为EG＝60 cm，所以A′G2＝A′E2＋EG2＝802＋602＝10000，所以A′G＝100.所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝100 cm，所以小虫爬行的最短路程为100 cm 4．如图所示，一棱长为3 cm的正方体上有一些线段，把所有的面都分成3×3个小正方形，其边长都为1 cm.假设一只蚂蚁每秒爬行2 cm，则它从下底面点A沿表面爬行至右侧点B，最少要花几秒种？ 解：如图所示，分两种情况：(1)将正方体的正前、右侧两面展开，使点A，B在同一平面内，则点A到点B的最短路径是线段AB，如图①所示，AC＝4 cm，BC＝3 cm，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝42＋32＝52，∴AB＝5(cm)； (2)将正方体的正前、上底两面展开，使点A，B在同一平面内，则点A到点B的最短路径为线段AB，如图②所示，AC＝2 cm，BC＝5 cm.根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝22＋52＝29>25＝52.比较上述两种情况，图①爬行路径较短，5÷2＝2.5(秒)，答：它最少要花2.5秒 $$