第一章 难点突破专题 勾股定理与几何证明（作业课件）-【黄冈100分闯关】2023-2024学年八年级数学上册（北师大版 河南专用)

难点突破专题　勾股定理与几何证明 数学 八年级上册 北师版 100分闯关 难点突破一　勾股定理→等线段代换 1．如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，D是BC的中点，且DE⊥BC.垂足为点D，交AB于点E.求证：BE2－EA2＝AC2. 证明：连接EC，∵D是BC的中点，且DE⊥BC，∴BD＝CD，∠BDE＝∠CDE＝90°，又∵DE＝DE，∴△BED≌△CED(SAS)，∴EB＝EC，在Rt△EAC中，CE2－EA2＝AC2，∴BE2－EA2＝AC2 2．如图，AM是△ABC的中线，∠C＝90°，MN⊥AB于点N，求证：AN2－BN2＝AC2. 证明：∵MN⊥AB，∴在Rt△AMN和Rt△BMN中，AN2＝AM2－MN2，BN2＝BM2－MN2，∴AN2－BN2＝AM2－BM2，在Rt△ACM中，AM2－CM2＝AC2，∵AM是△ABC的中线，∴CM＝BM，∴AN2－BN2＝AM2－BM2＝AM2－CM2＝AC2 难点突破二　夹半角模型→构造旋转全等→勾股定理 3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E是直线BC上的点，∠DAE＝135°，求证：CD2＋BE2＝DE2. 证明：如图，在AD上方过点A作AF⊥AD，且AF＝AD，连接BF，则△ABF≌△ACD，∴BF＝CD，∠ABF＝∠ACD＝45°，∴BF⊥CD.连接EF，利用SAS可证△AEF≌△AED，∴EF＝DE，∵BF2＋BE2＝EF2，∴CD2＋BE2＝DE2 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，∠AED＝45°，求证：CE2＋DE2＝BD2. 证明：在DA右侧作∠DAD′＝120°，且AD′＝AD，连接CD′，D′E，易证△ABD≌△ACD′，△ADE≌△AD′E，∴∠DED′＝90°，BD＝CD′，DE＝D′E，∵CE2＋D′E2＝CD′2，∴CE2＋DE2＝BD2 $$