第十三章 单元专题复习--最短路线之将军饮马 课件 -2024-2025学年人教版八年级数学上册

+ 将军饮马 1 相传，古希腊有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，请教一个百思不得其解的问题： 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，怎样走才能使路程最短呢？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就回答了.从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今. 2 1 模型解析—将军饮马 A B P P 河 问题： 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸 同侧的军营B开会，怎样走才能使路程最短呢？ “两点之间，线段最短” PA+PB最小值。 PA+PB最小值为AB1 . P 1 模型解析—将军饮马 A B L 已知：直线L和直线L外同侧两点A,B. (1)请在L上作出一点P，使PA+PB值最小; (2)若点A，点B到直线L的距离分别为30米,20米。DE=120米,求PA+PB最小值。 P PA+PB=AP+P 。 两点之间，线段最短。 20米 30米 D E F 120米 1 已知：直线L和直线L外同侧两点A,B. (1)请在L上作出一点P，使PA+PB值最小; (2)若点A，点B到直线L的距离分别为30米,20米。DE=120米,求PA+PB最小值。 （2）解 由题知： E=BE=20米； 所以，PA+PB的最小值为130米。 P B L P 20米 30米 D E A 120米 F 所以，在Rt AF ，由勾股定理知： = EF=AD=30米；AF=DE=120米 所以， =120 +50 =1302 所以， A =130米 2 精例讲解—例题 如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=6，点Q为对角线AC上的动点。则BQ+QE的最小值为——。 A B C D E Q BQ+QE最小值=DQ+QE 关键 找对称 =DE= = = 10 关键 两点之间，线段最短。 3 例题—变式一 如图，一个牧童从家（A点）出发，去边界OM处的牧场给羊喂草，又带着羊去河边ON处饮水，最后回家（A点）。问：牧童怎样行进，才能使得他所走的路程最短呢？ A O M A1 C△ABC=AB+BC+AC N B C =A1B+BC+A2C =A1A2 所以，当牧童延A B C A时路程最短。 3 例题—变式二 M N O Q P 如图，在∠MON内有两点P，Q，在OM，ON上分别找两点A，B，使四边形PABQ的周长最小。 C四边形PABQ=AP+PQ+QB+AB =AP1+PQ+Q1B+AB =P1Q1+PQ 如图，点A，B即可使四边形PABQ的周长最小。 A B A B 3 例题—拓展 A，B与直线L的位置关系如图所示，在直线L上找到M，N两点，且MN=10，M在N的左边，使四边形ABMN的周长最短。 A B L N M B1 B2 N M (C四边形ABMN)最小值 =AB+BM+MN+NA + 将军饮马 课堂小结 以上例题及变式题中相应问题均为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到“两点之间，线段最短”解决。 10 对应练习1：如图，正方形ABCD的边长为2，点E为BC的中点，点F为对角线AC上一点，则DF＋EF的最小值为_____． 对应练习1 如图，正方形ABCD的边长为2，点E为BC的中点，点F为对角线AC上一点，则DF＋EF的最小值为_____． 对应练习2　如图，在菱形ABCD中，AB＝8，E是BC边的中点，P是菱形ABCD内一动点，若△PBE的面积是6，则PB＋PE的最小值是______． B’ 对应练习3 如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________此时PC+PD的最小值为_________. 感谢聆听！ 15 null, track 1 80770.68 $$