精品解析：重庆市四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

重庆外国语学校2024-2025学年（上） 高2026届9月月考数学试题 命题人：王习建 审题人：张德兵 （满分150分，120分钟完成） 一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的运算法则求解. 【详解】解：， ， ， ， 故选：D 2. 关于百分位数，下列选项错误的是（ ） A. 一组数按照从小到大排列后为：，，…，，计算得：，则这组数80%分位数是 B. 一组数据的百分位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数 C. 一组数据的某些百分位数可能是同一个数 D. 第50百分位数就是中位数 【答案】A 【解析】 【分析】根据百分位数的定义分别判断各选项即可. 【详解】由百分位数的定义可知，若，则这组数的80%分位数是，故A错误； 由百分位数的定义可知，对分位数，若不为整数时，则分位数是这组数据中的数，若为整数时，则分位数是相邻两个数据的平均值，故可能不是这组数据中的数，故B正确； 当一组数据的分位数，分位数，满足是整数部分相同的非整数时，它们对应百分位数是同一个数，故C正确； 由百分位数的意义可知第50百分位数就是中位数，故D正确. 故选：A 3. 已知正方体中，点E为的中点，若，（x，）则x，y的值分别为（ ） A. 1，1 B. 1， C. ， D. ，1 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量线性计算再根据平面向量基本定理得出参数. 【详解】, 所以. 故选：C. 4. 已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ） A. ⊥ B. C. 与相交但不垂直 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据，所以，进而可以得到与的关系. 【详解】因为， 所以，所以或. 故选：D. 5. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答. 【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表： 乙 甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36个不同结果，它们等可能， 其中甲乙抽到相同结果有，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率. 故选：A 6. 将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，，，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出异面直线与所成角的大小. 【详解】 如图所示，建立空间直角坐标系. ，，，，， ， 设异面直线与所成角为， ， ， 异面直线与所成角的大小是. 故选：C. 7. 正三棱锥的侧面都是直角三角形，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为正三棱锥的侧面都是直角三角形， 所以可以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 设， 因为分别是的中点， 所以， ， 设平面的法向量为， 则有， 所以与平面所成角的正弦值为：， 故选：C 【点睛】 8. 在四棱柱中，底面是正方形，侧棱底面.已知，E为线段上一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件建立如图所示的空间直角坐标系，，则的最小值问题转化为求平面直角坐标系中的一个动点到两定点的距离之和的最小值的问题，即转化为求平面直角坐标系中的一个动点到两定点的距离之和的最小值的问题，由图可知当M，P，N三点共线时，到两定点的距离之和最小，从而可得答案 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则. ∵E为线段上一个动点， ∴设， 则，， 故问题转化为求的最小值问题，即转化为求平面直角坐标系中的一个动点到两定点的距离之和的最小值的问题，如图所示. 由此可知，当M，P，N三点共线时，， 故选：B. 【点睛】此题考查空间中两线段和最小问题，转化为平面问题解决，考查空间向量的应用，属于中档题 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是　　 A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设，，是空间中的一组基底，则，，也是空间的一组基底 D. 若，则，是钝角 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据共线向量的概念，可判定A是正确的；根据空间向量的基本定理，可判定B是正确的；根据空间基底的概念，可判定C正确；根据向量的夹角和数量积的意义，可判定D不正确. 【详解】对于A中，根据共线、共面向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的； 对于B中，若对空间中任意一点O，有，根据空间向量的共面定理的推论，可得P，A，B，C四点一定共面，所以是正确的； 对于C中，由是空间中的一组基底，则向量不共面，可得向量也不共面，所以也是空间的一组基底，所以是正确的； 对于D中，若，又由，所以，所以不正确， 故选∶ ABC. 10. 对于概率的基本性质，下列选项正确的是（ ） A. 如果事件A与事件B互斥，那么 B. 如果事件A与事件B互为对立事件，那么 C. 如果，则 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质逐项判断即得. 【详解】对于A，事件A与事件B互斥，则，而可以为1，A错误； 对于B，事件A与事件B互为对立事件，则，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：BD 11. 在棱长为的正方体中，已知为线段的中点，点和点分别满足，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 当时，四棱锥的外接球的表面积是 C. 的最小值为 D. 存在唯一的实数对，使得平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】由线面平行的判定可知平面，知三棱锥底面积和高均为定值，A正确； 根据正棱锥外接球的球法，可构造关于外接球半径的方程，求得后知B正确； 将C中问题转化为在平面内求解的最小值，作关于线段的对称点，将问题转化为长度的求解，根据角度和长度关系可确定C正确； 以为坐标原点建立空间直角坐标系，假设线面垂直可构造方程组求得，可知D正确. 【详解】对于A，当时，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面， 则当在线段上移动时，其到平面的距离不变， 三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，当时，取交点，连接，则四棱锥为正四棱锥， 平面， 设四棱锥的外接球的球心为，半径为，则在直线上， ，，，即， 解得：，四棱锥的外接球的表面积，B正确； 对于C，将问题转化为在平面内求解的最小值， 作关于线段的对称点，过作，交于，如下图所示， ，（当且仅当与重合时取等号）， ， ， ，， 即的最小值为，C错误； 对于D，以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 若平面，则， ， 解得：（舍）或， 存在唯一的实数对，使得平面，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率为________. 【答案】0.2 【解析】 【详解】从1,2,3,4,5中任意取两个不同的数共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)10种. 其中和为5的有(1,4),(2,3)2种. 由古典概型概率公式知所求概率为=. 13. 已知空间向量，，，则向量与的夹角为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据求得，利用夹角公式求得向量与的夹角. 【详解】解：依题意，所以， 所以，由于，所以向量与的夹角为. 故答案为： . 14. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=(0<<2)，则点G到平面D1EF的距离为____. 【答案】 【解析】 【分析】先证明A1B1∥平面D1EF，进而将问题转化为求点A1到平面D1EF距离，然后建立空间直角坐标系，通过空间向量的运算求得答案. 【详解】由题意得A1B1∥EF，A1B1⊄平面D1EF，EF⊂平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，则点G到平面D1EF的距离等于点A1到平面D1EF的距离. 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，A1(2，0，2)，所以，，. 设平面D1EF的法向量为，则， 令x=1，则y=0，z=2， 所以平面D1EF的一个法向量. 点A1到平面D1EF的距离==，即点G到平面D1EF的距离为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在空间直角坐标系中，，，，，点满足. （1）求点的坐标（用表示）； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用可得点的坐标； （2）利用的坐标表示可得答案. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为， 所以， 所以点的坐标为； 【小问2详解】 因为，，， 所以，即，解得. 16. 一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分．在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能得出正确答案的概率分别为、、，且每题答对与否相互独立． （1）当时，求考生填空题得满分的概率； （2）若考生填空题得10分与得15分概率相等，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）记事件A为考生填空题得满分，利用相互独立事件的概率公式，得出结果. （2）记事件B，C分别为考生填空题得10,15分，利用相互独立事件的概率公式，得出结果相等即可求出P. 【详解】设考生填空题得满分、15分、10分为事件A、B、C （1） （2）= = 因为 ， 所以=得 【点睛】本题考查相互独立事件的概率问题，属于基础题. 17. 某电视台为宣传安徽，随机对安徽15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“皖江城市带有哪几个城市？”统计结果如图表所示： 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 第1组 [15，25） a 0.5 第2组 [25，35） 18 x 第3组 [35，45） b 0.9 第4组 [45，55） 9 0.36 第5组 [55，65] 3 y （1）分别求出a，b，x，y的值； （2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组人数 【答案】（1）依次为5，27，0.9，0.2 （2）第2、3、4组人数依次为2人，3人，1人 【解析】 【分析】（1）由第4组的数据可求出第4组的总人数，再结合频率分布直方图可求出的值，然后根据频率分布直方图和表中的数据可求出a，b，x，y的值； （2）根据分层抽样的定义结合表中的数据求解即可. 【小问1详解】 由频率表中第4组数据知，第4组总人数为， 由频率分布直方图知， ∴， ， ， ． 【小问2详解】 第2，3，4组回答正确的共有人． 利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为： 第2组：人， 第3组：人， 第4组：人． 18. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点， （1）求异面直线与的夹角； （2）若，求平面与平面所成的二面角的夹角的正弦值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先证明在B处，AB、BC、BB1两两垂直，从而以B为原点，为正方向建立空间直角坐标系，用向量法求异面直线与的夹角和在时，平面与平面所成的二面角的夹角的正弦值. 【小问1详解】 因为为正方形，所以. 又，且，所以面.所以. 因为为直三棱柱，所以在B处，AB、BC、BB1两两垂直，可以以B为原点，为正方向建立空间直角坐标系，则、、、、、、、、. 所以,. 设异面直线与的夹角为，则, 所以，即异面直线与的夹角为. 【小问2详解】 在（1）建立的坐标系中，若，则，所以，. 设为平面的一个法向量，则, 即，不妨设y=-2，则有. 显然为面的一个法向量. 设平面与平面所成的二面角的平面角为，则， 所以， 即平面与平面所成的二面角的夹角的正弦值为. 19. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角的大小为60°，点M在线段AB上. （1）若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线平面EMC； （2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）；证明见解析； （2）存在点，使得直线与平面所成的角为；此时二面角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）根据中位线性质可求得，由，结合线面平行判定定理可证得结论； （2）由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则以为坐标原点建立空间直角坐标系；设，利用线面角的向量求法可求得；利用二面角的向量求法可求得结果. 【小问1详解】 分别为中点， ，且， 又为中点，且， 易得， 连接，交于点，连接， 由题设，易知四边形为平行四边形， 为中点， 是的中点， 为中点， ，又平面，平面， 平面； 小问2详解】 ， ，， 又平面，平面， 即为二面角的平面角， ； 取中点，连接，如图， ，， ， ， ， ， ，，又平面，， 平面， 平面， ， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示， 则，，，， 设，则，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，， 直线与平面所成的角为， ，解得或， 存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为； 设平面的法向量，又，， ， 令，则，，； 当时，，此时二面角为钝角，二面角的余弦值为； 当时，，，此时二面角为锐角，二面角的余弦值为； 综上所述：二面角的余弦值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆外国语学校2024-2025学年（上） 高2026届9月月考数学试题 命题人：王习建 审题人：张德兵 （满分150分，120分钟完成） 一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分.每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 关于百分位数，下列选项错误的是（ ） A. 一组数按照从小到大排列后为：，，…，，计算得：，则这组数80%分位数是 B. 一组数据的百分位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数 C. 一组数据的某些百分位数可能是同一个数 D. 第50百分位数就是中位数 3. 已知正方体中，点E为的中点，若，（x，）则x，y的值分别为（ ） A. 1，1 B. 1， C. ， D. ，1 4. 已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（ ） A. ⊥ B. C. 与相交但不垂直 D. 或 5. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A B. C. D. 6. 将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，，，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 正三棱锥的侧面都是直角三角形，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在四棱柱中，底面是正方形，侧棱底面.已知，E为线段上一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的是　　 A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设，，是空间中的一组基底，则，，也是空间的一组基底 D. 若，则，是钝角 10. 对于概率的基本性质，下列选项正确的是（ ） A. 如果事件A与事件B互斥，那么 B. 如果事件A与事件B互为对立事件，那么 C. 如果，则 D. 11. 在棱长为的正方体中，已知为线段的中点，点和点分别满足，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 当时，四棱锥的外接球的表面积是 C. 的最小值为 D. 存在唯一的实数对，使得平面 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率为________. 13. 已知空间向量，，，则向量与的夹角为__________． 14. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=(0<<2)，则点G到平面D1EF的距离为____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在空间直角坐标系中，，，，，点满足. （1）求点的坐标（用表示）； （2）若，求的值． 16. 一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分．在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能得出正确答案概率分别为、、，且每题答对与否相互独立． （1）当时，求考生填空题得满分的概率； （2）若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求的值． 17. 某电视台为宣传安徽，随机对安徽15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“皖江城市带有哪几个城市？”统计结果如图表所示： 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率 第1组 [15，25） a 05 第2组 [25，35） 18 x 第3组 [35，45） b 0.9 第4组 [45，55） 9 0.36 第5组 [55，65] 3 y （1）分别求出a，b，x，y的值； （2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组人数 18. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点， （1）求异面直线与夹角； （2）若，求平面与平面所成的二面角的夹角的正弦值 19. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角的大小为60°，点M在线段AB上. （1）若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线平面EMC； （2）是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $